旋轉(zhuǎn)變換中的全等與相似

旋轉(zhuǎn)變換中的全等與相似旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，旋轉(zhuǎn)變換與全等緊密相連，但有些相似問題也可以在旋轉(zhuǎn)變換的背景中加以研究。僅舉幾例以作說明：例1.（旋轉(zhuǎn)中的全等） 如圖一，在ABC中，分別以AB，AC為直徑在ABC外作半圓和半圓，其中和分別為兩個(gè)半圓的圓心. F是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn). 過點(diǎn)A分別作半圓和半圓的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，若ACB=90,DB=5，CE=3，求線段PQ的長;例2（旋轉(zhuǎn)中的相似）含30角的直角三角板ABC中，A=30.將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（且 90），得到Rt，邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn) D作DE交邊于點(diǎn)E，連接BE. （1）如圖1，當(dāng)邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，= ； （2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，若CBD的度數(shù)是CBE度數(shù)的m倍，猜想m的值并證明你的結(jié)論；（3） 設(shè) BC=1，AD=x，BDE的面積為S，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作E，當(dāng)S= 時(shí)，求AD的長，并判斷此時(shí)直線與E的位置關(guān)系. 例3（旋轉(zhuǎn)中的相似）已知：在ABC中，ACB=90，CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)G，EFBE交AB于點(diǎn)F如圖甲，當(dāng)AC=BC，且CE=EA時(shí)，則有EF=EG；（1）如圖乙，當(dāng)AC=2BC，且CE=EA時(shí)，則線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是：EF EG；（2）如圖乙，當(dāng)AC=2BC，且CE=2EA時(shí)，請?zhí)骄烤€段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；圖乙圖乙圖甲（第25題）（3）當(dāng)AC=mBC，且CE=nEA時(shí)，請?zhí)骄烤€段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不必證明）例4.（旋轉(zhuǎn)中的全等與相似） 操作：在ABC中，ACBC2，C90，將一塊等腰三角形板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)。圖，是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況。研究：（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖加以證明。（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，是否能居為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出PBE為等腰三角形時(shí)CE的長）；若不能，請說明理由。（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM：MB1：3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖加以證明。例5.（旋轉(zhuǎn)中的全等）ABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F .（1）如圖1，觀察旋轉(zhuǎn)過程，猜想線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不需證明）；圖1圖2圖3（3）如圖3，若將“AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)”改為：“B=30，ADBC于點(diǎn)D”，其余條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值. 例6.（旋轉(zhuǎn)中的全等）已知：ABC為直角三角形，BAC=900，D為BC邊的中點(diǎn)，有一塊直角三角板PMN，其中MPN=900，將它放在ABC上，使得其頂點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，旋轉(zhuǎn)三角板PMN，在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的兩條直角邊DM、DN分別于AB、BC邊所在的直線交于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF。（1）當(dāng)E、F分別在邊AB、AC上（如圖1）求證：