六年級暑假第八講 比和比例關系

第八講比和比例關系比和比例，是小學數學中的最后一個內容，也是學習更多數學知識的重要基礎.有了“比”這個概念和表達方式，處理倍數、分數等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學同學學完這一講，對“除法、分數、比例實質上是一回事，但各有用處”有所理解.這一講分三個內容：一、比和比的分配；二、倍數的變化；三、有比例關系的其他問題.8.1 比和比的分配最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數量關系，求出新的比.例1 甲、乙兩個長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是32，乙的長與寬之比是75.求甲與乙的面積之比.解：設甲的周長是2. 甲與乙的面積之比是答：甲與乙的面積之比是864875.作為答數，求出的比最好都寫成整數.例2 如右圖，ABCD是一個梯形，E是AD的中點，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是107.求上底AB與下底CD的長度之比.解：因為E是中點，三角形CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADC與三角形ABC高相等，它們的底邊的比ABCD=三角形ABC的面積三角形ADC的面積=（10-7）（72）= 314.答：ABCD=314.兩數之比，可以看作一個分數，處理時與分數計算幾乎一樣.三數之比，卻與分數不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點.例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當于5中杯，3中杯相當于4小杯.如果記號表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.解：大杯與中杯容量之比是52=104，中杯與小杯容量之比是43，大杯、中杯與小杯容量之比是1043.=（102+43+34）（105+44+33）=4475.答：兩者容量之比是4475.把52與43這兩個比合在一起，成為三樣東西之比1043，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3757=2135，74=7545=3520，甲乙丙=213520.花了多少錢？解：根據比例與乘法的關系，連比后是甲乙丙=21631632=324863.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙，而它們留在墻外的部分一樣長.問：甲、乙、丙的長度之比是多少？解：設甲的長度是6份.x=54.乙與丙的長度之比是而甲與乙的長度之比是 65=3025.甲乙丙=302526.答：甲、乙、丙的長度之比是302526.于利用已知條件65，使大部分計算都整數化.這是解比例和分數問題的常用手段.例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價是多少元？解一：設每種糖果所花錢數為1，因此平均價是答：這些糖果每千克平均價是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但計算卻使人感到不易.最好的計算方法是，用22，30，33的最小公倍數330，乘這個繁分數的分子與分母，就有：事實上，有稍簡捷的解題思路.解二：先求出這三種糖果所買數量之比.不妨設，所花錢數是330，立即可求出，所買數量之比是甲乙丙=151110.平均數是（15+11+10）3=12.單價33元的可買10份，要買12份，單價是下面我們轉向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當一個數量被分成若干個數量，如果知道這些數量之比，我們就能求出這些數量.例7 一個分數，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分數，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比23.因此例8 加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現有1825個零件要加工，為盡早完成任務，甲、乙、丙應各加工多少個？所需時間是多少？解：三人同時加工，并且同一時間完成任務，所用時間最少，要同時完成，應根據工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他們分別需要完成的工作量是所需時間是7003=2100分鐘）=35小時 .答：甲、乙、丙分別完成700個，600個，525個零件，需要35小時.這是三個數量按比例分配的典型例題.例9 某團體有100名會員，男會員與女會員的人數之比是1411，會員分成三個組，甲組人數與乙、丙兩組人數之和一樣多.各組男會員與女會員人數之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男會員？解：甲組的人數是1002=50（人）.乙、丙兩組男會員人數是 56-24=32 （人）.答：丙組有12名男會員.上面解題的最后一段，實質上與“雞兔同籠”解法一致，可以設想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是123.小龍走各段路程所用時間之比依次是456.已知他上坡時速度為每小時3千米，路程全長50千米.問小龍走完全程用了多少時間？解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用時間答：小龍走完全程用了10小時25分.上面是通常思路下解題.123計算中用了兩次，似乎重復計算，最后算式也頗費事.事實上，靈活運用比例有簡捷解法.解二：全程長是上坡這一段長的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時設小龍走完全程用x小時.可列出比例式8.2 比的變化已知兩個數量的比，當這兩個數量發(fā)生增減變化后，當然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數量呢？這就是這一節(jié)的內容.例11 甲、乙兩同學的分數比是54.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分數比是57.甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分數之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關鍵.9與12的最小公倍數是36，我們讓變化前后都按36份來算.54=（54）（44）=2016.57=（53）（73）=1521.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當于20-15=5份.因此原來甲得22.5520=90（分），乙得 22.5516=72（分）.答：原來甲得90分，乙得72分.我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.解二：設原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據得分變化，可列出比例式.（5x-22.5）（4x+22.5）=57即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=1222.5x=18.甲原先得分185=90（分），乙得184=72（分）.解：其他球的數量沒有改變.增加8個紅球后，紅球與其他球數量之比是5（14-5）=59.在沒有球增加時，紅球與其他球數量之比是1（3-1）=12=4.59.因此8個紅球是5-4.5=0.5（份）.現在總球數是答：現在共有球224個.本題的特點是兩個數量中，有一個數量沒有變.把12寫成4.59，就是充分利用這一特點.本題也可以列出如下方程求解：（x+8）2x=59.例13 張家與李家的收入錢數之比是85，開支的錢數之比是83，結果張家結余240元，李家結余270元.問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設”方法求解.如果他們開支的錢數之比也是85，那么結余的錢數之比也應是85.張家結余240元，李家應結余x元.有240x=85，x=150（元）.實際上李家結余270元，比150元多120元.這就是85中5份與83中3份的差，每份是120（5-3）=60.（元）.因此可求出答：張家收入720元，李家收入450元.解二：設張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多.我們畫出一個示意圖：張家開支的3倍是（8份-240）3.李家開支的8倍是（5份-270）8.從圖上可以看出58-83=16份，相當于2708-2403=1440（元）.因此每份是144016=90（元）.張家收入是908=720（元），李家收入是905=450（元）.本題也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.然后求出x.事實上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術味道，而且一些數量關系也直觀些.例14 A和B兩個數的比是85，每一數都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數.解：減少相同的數34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數之差并沒有變，解題時要充分利用這一點.85，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是21，兩者相差1.將前項與后項都乘以3，即21=63，使兩者也相差3份.現在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是342=17.A數是178=136，B數是175=85.答：A，B兩數分別是136與85.本題也可以用例13解一“假設”方法求解，不過要把減少后的21，改寫成84.例15 小明和小強原有的圖畫紙之比是43，小明又買來15張.小強用掉了8張，現有的圖畫紙之比是52.問原來兩人各有多少張圖畫紙？解一：充分利用已知數據的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來總數分成7份，變化后總數仍分成7份，總數多了7張，因此，新的1份=原來1份+1原來4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-14=11（張）.小明原有圖畫紙115-15=40（張），小強原有圖畫紙112+8=30（張）.答：原來小明有40張，小強有30張圖畫紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設”方法.先要將兩個比中的前項化成同一個數（實際上就是通分）43=201552=208.但現在是208，因此這個比的每一份是當然，也可以采用實質上與解方程完全相同的圖解法.解三：設原來小明有4“份”，小強有3“份”圖畫紙.把小明現有的圖畫紙張數乘2，小強現有的圖畫紙張數乘5，所得到的兩個結果相等.我們可以畫出如下示意圖：從圖上可以看出，35-42=7（份）相當于圖畫紙152+85=70（張）.因此每份是10張，原來小明有40張，小強有30張.例11至15這五個例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術方法，卻可以充分利用已知數據的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機應變的解題思路.另外，解方程的代數運算，對小學生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應啟發(fā)小同學善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數據的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進思維.例16 粗蠟燭和細蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點5小時，細蠟燭可以點4小時.同時點燃這兩支蠟燭，點了一段時間后，粗蠟燭長是細蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點了多少時間？我們把問題改變一下：設細蠟燭長度是2，每小時點等需要時間是答：這兩支蠟燭點了3小時20分.把細蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請看一個稍復雜的例子.例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數是白球數的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數比白球數多多少只？解：因為紅球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最后應剩51只.因為白球每次取7只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7321只，最后應剩 33 9只.因此.共取了（51- 33）（73-15） 7（次）.紅球有 157 53 158（只）.白球有 77352（只）.原來紅球比白球多 158-52106（只）.答：箱子里原有紅球數比白球數多106只.8.3 比例的其他問題 ，這里必須用分數來說，而不能用比.實際上它還是隱含著比例關系：（甲-7）乙= 23.因此，有些分數問題，就是比例問題.加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？答：這些畫片有261張.解：設最初的水量是1，因此最后剩下的水是樣重，就有因此原有水的重量是答：容器中原來有8.4千克水.例18和例19，通常在小學數學中，叫做分數應用題.“比”有前項和后項，當兩項合在一起寫成一個分數后，才便于與其他數進行加、減運算.這就是把比（或除法）寫成分數的好處.下面一個例題卻是要把分數寫成比，計算就方便些.例20 有兩堆棋子， A堆有黑子 350個和白子500個， B堆有黑子 堆中拿到 A堆黑子、白子各多少個？子100個，使余下黑子與白子之比是（40-100）10031.再要從 B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數目也要保持31的比.現在 A堆已有黑子 350 100 450個），與已有白子500個，相差從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個，又要符合31這個比，要拿出白子數是50（3-1）25（個）.再要拿出黑子數是 253 75（個）.答：從B堆拿出黑子 175個，白子25個.人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？解一：先畫出如下示意圖：6-51，相當于圖中相差 17-125（份），初中總人數是 5630份，因此，每份人數是520（30-17）= 40（人）.因此，高、初中畢業(yè)生共有40（1712） 1160（人）.答：高、初中畢業(yè)生共1160人.計算出每份是例21與例14是完全一樣的問題，解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現？）解二是通常分數應用題的解法，顯然計算不如解一簡便.例18，19，20，21四個例題說明分數與比例各有好處，你是否從中有所心得？當然關鍵還是在于靈活運用.下的錢共有多少元？解：設鋼筆的價格是1.這樣就可以求出，鋼筆價格是張剩下的錢數是李剩下的錢數答：張、李兩人剩下的錢共28元.題中有三個分數，但它們比的基準是不一樣的.為了統(tǒng)一計算單位，設定鋼筆的價格為1.每個人原有的錢和剩下的錢都可以通過“1”統(tǒng)一地折算.解分數應用題中，設定統(tǒng)一的計算單位是常用的解題技巧.作為這一講最后的內容，我們通過兩個例題，介紹一下“混合比”.用100個銀幣買了100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？這是十八世紀瑞士大數學家歐拉（17071783）提出的問題.們設1頭豬和5頭綿羊為A組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數，B表示B組的數，要使（1 5） A（3 2） B100，或簡寫成 6A5B100.就恰好符合均價是1.類似于第三講雞兔同籠中例17，很明顯，A必定是5的整數倍.A5， B 4， 65 5450，50是 100的約數，符合要求.A5，豬 5頭，綿羊 25頭，B=4，山羊12頭，綿羊8頭.豬山羊綿羊=512（258）.現在已把15和32兩種比，組合在一起通常稱為混合比.要