生物統(tǒng)計(jì)學(xué)-方差分析

.,第六章方差分析,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué),重慶大學(xué)生物工程學(xué)院,.,基本概念,方差分析：方差分析是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。例：為研究某種生物材料的生物學(xué)性能，將材料分成三組，分別與成骨細(xì)胞共培養(yǎng)1,7,11天后測(cè)試細(xì)胞活性。為避免誤差，每組測(cè)試5個(gè)樣品，試判斷材料的生物學(xué)性能。,.,基本概念,.,兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)比較,1、當(dāng)總體方差和已知，或總體方差和未知，但兩樣本均為大樣本,2、當(dāng)總體方差和未知，且兩樣本均為小樣本,.,例：生產(chǎn)某種紡織品，要求棉花纖維長(zhǎng)度平均在30mm以上?，F(xiàn)有一棉花品種，以n400進(jìn)行抽樣，測(cè)得纖維平均長(zhǎng)度為30.2mm,標(biāo)準(zhǔn)差為2.5mm，問(wèn)該棉花品種的纖維長(zhǎng)度是否合格？,分析：1）已知,u檢驗(yàn)2）由于只能大于30mm才能合格，故單尾檢驗(yàn),解：（1）假設(shè)，即該棉花品種纖維長(zhǎng)度不能達(dá)到紡織品生產(chǎn)要求含量。對(duì),（2）選取顯著水平,（3）檢驗(yàn)計(jì)算,（4）推斷,u0.05,顯著水平上接受H0，拒絕HA。即認(rèn)為該棉花品種纖維長(zhǎng)度不符合紡織品種生產(chǎn)要求,.,例為了探討不同窩的動(dòng)物的出生重是否存在差異，隨機(jī)選取4窩動(dòng)物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下：,表4窩動(dòng)物的出生重（克）,通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析，判斷不同窩別動(dòng)物出生重是否存在差異。,.,方差分析的意義,k個(gè)樣本均數(shù)的比較：如果仍用t檢驗(yàn)或u檢驗(yàn)，需比較次數(shù)為：,例如4個(gè)樣本均數(shù)需比較次數(shù)為6次。,假設(shè)每次比較所確定的檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05，則每次檢驗(yàn)拒絕H0不犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為1-0.05=0.95；那么6次檢驗(yàn)都不犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為(1-0.05)6=0.7351，而犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為0.2649,.,方差分析的意義,k個(gè)樣本均數(shù)的比較：如果仍用t檢驗(yàn)或u檢驗(yàn)，有以下問(wèn)題：,1、檢驗(yàn)過(guò)程繁瑣2、無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低3、推斷的可靠性降低，犯第1類(lèi)錯(cuò)誤的概率增加,.,方差分析:是一類(lèi)特定情況下的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，或者說(shuō)是平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的一種引伸。u檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的差異的顯著性，而方差分析則可以同時(shí)判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異的顯著性。當(dāng)然，在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時(shí)，可以在平均數(shù)的所有對(duì)之間做t檢驗(yàn)。但這樣做會(huì)提高犯型錯(cuò)誤的概率，因而是不可取的。,.,方差分析由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱(chēng)F檢驗(yàn)（F-test）。用于推斷多個(gè)總體均數(shù)有無(wú)差異,.,方差分析的定義,方差分析是對(duì)兩個(gè)或多個(gè)樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。它是將測(cè)量數(shù)據(jù)的總變異按照變異來(lái)源分解為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并做出其數(shù)量估計(jì)。,它將所有處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體，一次比較就對(duì)多有各組間樣本平均數(shù)是否有差異做出判斷。如果差異不顯著，則認(rèn)為它們都是相同的；如果差異顯著，再進(jìn)一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同。,.,方差分析的意義,方差分析基本思想：1、把k個(gè)總體當(dāng)作一個(gè)整體看待2、把觀察值的總變異的平方和及自由度分解為不同來(lái)源的平方和及自由度3、計(jì)算不同方差估計(jì)值的比值4、檢驗(yàn)各樣本所屬的平均數(shù)是否相等實(shí)際上是觀察值變異原因的數(shù)量分析,.,方差分析的應(yīng)用條件和用途,方差分析應(yīng)用條件：1、各樣本須是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本2、各樣本來(lái)自正態(tài)分布總體3、各總體方差相等，即方差齊,方差分析基本用途：1、多個(gè)樣本平均數(shù)的比較2、多個(gè)因素間的交互作用3、回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)4、方差的同質(zhì)性檢驗(yàn),.,第一節(jié)方差分析的基本原理,.,試驗(yàn)指標(biāo)(Experimentalindex)：試驗(yàn)測(cè)定的項(xiàng)目或者性狀。日增重、產(chǎn)仔數(shù)、瘦肉率試驗(yàn)因素(Experimentalfactor)：影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素，也稱(chēng)：處理因素，簡(jiǎn)稱(chēng)因素或因子。1、可控因素（固定因素）：人為可控2、非控因素（隨機(jī)因素）：不能人為控制試驗(yàn)因素的表示：大寫(xiě)字母A,B,C,等來(lái)表示,一、相關(guān)術(shù)語(yǔ),.,因素水平(Leveloffactor)：試驗(yàn)因素所處的特定狀態(tài)或者數(shù)量等級(jí)。簡(jiǎn)稱(chēng)水平水平的表示方法：用代表該因素的字母添加下標(biāo)表示，如A1，A2，B1，B2試驗(yàn)處理(Treatment)：實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目,簡(jiǎn)稱(chēng)處理。單因素：試驗(yàn)因素的一個(gè)水平多因素：試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合,一、相關(guān)術(shù)語(yǔ),.,試驗(yàn)單位(Experimentalunit)：試驗(yàn)載體，即根據(jù)研究目的而確定的觀測(cè)總體重復(fù)(Repetition)：一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或者兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱(chēng)為處理有重復(fù)。試驗(yàn)單位數(shù)稱(chēng)為處理的重復(fù)數(shù),一、相關(guān)術(shù)語(yǔ),.,方差分析是關(guān)于k(k3)個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)方法，是將總變異按照來(lái)源分為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并做出其數(shù)量估計(jì)。發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對(duì)重要程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。,二、方差分析的基本原理,.,總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異。組內(nèi)變異是個(gè)體差異所致，是抽樣誤差。組間變異可能由兩種原因所致，一是抽樣誤差；二是處理不同。在抽樣研究中抽樣誤差是不可避免的，故導(dǎo)致組間變異的第一種原因肯定存在；第二種原因是否存在，需通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)作出推斷,二、方差分析的基本原理,.,三、數(shù)學(xué)模型,每組具有n個(gè)觀測(cè)值的k組樣本數(shù)據(jù)資料,.,例2.1調(diào)查了5個(gè)不同小麥品系的株高，結(jié)果列于表21。在這個(gè)例子中，只出現(xiàn)“品系”這樣一個(gè)因素(factor)，故稱(chēng)單因素。共有5個(gè)不同的品系，我們稱(chēng)品系這一因素共有5個(gè)水平(level)。5個(gè)品系可以認(rèn)為是5個(gè)總體，表21的數(shù)據(jù)是從5個(gè)總體中抽出的5個(gè)樣本，通過(guò)比較這5個(gè)樣本，判斷這5個(gè)總體是否存在差異。,表215個(gè)小麥品系株高調(diào)查結(jié)果,.,例2.2為了探討不同窩的動(dòng)物的出生重是否存在差異，隨機(jī)選取4窩動(dòng)物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下：,表224窩動(dòng)物的出生重（克）,通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析，判斷不同窩別動(dòng)物出生重是否存在差異。,.,以上兩個(gè)例子的共同點(diǎn)是：每個(gè)實(shí)驗(yàn)都只有一個(gè)因素，該因素有a個(gè)水平或稱(chēng)為有a個(gè)處理(treatment)，這樣的實(shí)驗(yàn)稱(chēng)為單因素實(shí)驗(yàn)。從單因素實(shí)驗(yàn)的每一處理所得到的結(jié)果都是一隨機(jī)變量Xi。對(duì)于a個(gè)處理，各重復(fù)n次（或者說(shuō)做n次觀察）的單因素方差分析的一般化表示方法見(jiàn)表23。,表23單因素方差分析的典型數(shù)據(jù),.,每一個(gè)觀察值可以通過(guò)如下常用的所謂線性統(tǒng)計(jì)模型(linearstatisticalmodel)描述：,其中：xij是在第i水平（處理）下的第j次觀察值。是對(duì)所有觀察值的一個(gè)參量，稱(chēng)為總平均數(shù)(overallmean)。i是僅限于對(duì)第i次處理的一個(gè)參量，稱(chēng)為第i次處理效應(yīng)(treatmenteffect)。方差分析的目的，就是要檢驗(yàn)處理效應(yīng)的大小或有無(wú)。eij是隨機(jī)誤差成份。,.,上述模型中，包括兩類(lèi)不同的處理效應(yīng)。第一類(lèi)處理效應(yīng)稱(chēng)為固定效應(yīng)(fixedeffect)，它是由固定因素(fixedfactor)所引起的效應(yīng)。若因素的a個(gè)水平是經(jīng)過(guò)特意選擇的，則該因素稱(chēng)為固定因素。例如，幾個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)溫度，幾個(gè)不同的化學(xué)藥物或一種藥物的幾種不同濃度，幾個(gè)作物品種以及幾個(gè)不同的治療方案和治療效果等。,.,在這些情況中，因素的水平是特意選擇的，所檢驗(yàn)的是關(guān)于ai的假設(shè)，得到的結(jié)論只適合與方差分析中所考慮的那幾個(gè)水平，并不能將其結(jié)論擴(kuò)展到未加考慮的其它類(lèi)似水平上。所以上述的那些因素：溫度、藥物、品種等，稱(chēng)為固定因素。處理這樣的因素所用的模型稱(chēng)為固定效應(yīng)模型（fixedeffectmodel）。例2.1中的5個(gè)小麥品系是特意選擇的，目的是從這5個(gè)品系中，選出最優(yōu)者，因而“品系”這個(gè)因素屬于固定因素，所用的模型是固定效應(yīng)模型。,.,第二類(lèi)處理效應(yīng)稱(chēng)為隨機(jī)效應(yīng)（ran-domeffect），它是由隨機(jī)因素（randomfactor）所引起的效應(yīng)。若因素的a個(gè)水平，是從該因素全部水平的總體中隨機(jī)抽出的樣本，則該因素稱(chēng)為隨機(jī)因素。從隨機(jī)因素的a個(gè)水平所得到的結(jié)論，可以推廣到這個(gè)因素的所有水平上。處理隨機(jī)因素所用的模型稱(chēng)為隨機(jī)效應(yīng)模型（randomeffectmo-del）。例2.2的動(dòng)物窩別，是從動(dòng)物所有可能的窩別中隨機(jī)選出來(lái)的，實(shí)驗(yàn)的目的是考查在窩別之間，出生重是否存在差異，因而“窩別”是隨機(jī)因素。,.,有時(shí)固定因素和隨機(jī)因素很難區(qū)分，除上述所講的原則外，還可以從另一角度鑒別。固定因素是指因素水平，可以嚴(yán)格地人為控制。在水平固定之后，它的效應(yīng)值也是固定的。例如，研究三種溫度對(duì)胰蛋白酶水解產(chǎn)物的影響。因?yàn)闇囟人绞强梢試?yán)格控制的，即每一溫度水平，在各個(gè)重復(fù)之間都可以準(zhǔn)確地控制在一個(gè)固定值上，所以在重復(fù)該實(shí)驗(yàn)時(shí)，水解產(chǎn)物的產(chǎn)量也是固定的。簡(jiǎn)單地說(shuō)，在水平（不同溫度）固定以后，其效應(yīng)值（產(chǎn)量）也是固定的。因此，溫度是固定因素。,.,隨機(jī)因素的水平是不能?chē)?yán)格地人為控制的，在水平確定之后，它的效應(yīng)值并不固定。例如，在研究不同農(nóng)家肥施用量對(duì)作物產(chǎn)量的影響試驗(yàn)中，農(nóng)家肥是因素，不同施用量是該因素的不同水平，作物的產(chǎn)量是它的效應(yīng)值。由于農(nóng)家肥的有效成份很復(fù)雜，不能像控制溫度那樣，將農(nóng)家肥的有效成份嚴(yán)格地控制在某一個(gè)固定值上。在重復(fù)試驗(yàn)時(shí)即使施以相同數(shù)量的肥料，也得不到一個(gè)固定的效應(yīng)值。即在因素的水平（施肥量）固定之后，它的效應(yīng)值（產(chǎn)量）并不固定，因而農(nóng)家肥是一隨機(jī)因素。,.,三、數(shù)學(xué)模型,.,三、數(shù)學(xué)模型,.,三、數(shù)學(xué)模型,.,四、平方和與自由度的分解,全部觀測(cè)值的總變異可以用總體方差來(lái)度量。方差即均方是離均差平方和除以自由度。把一個(gè)實(shí)驗(yàn)資料的總變異按變異來(lái)源分解為相應(yīng)的變異，首先要將總平方和與總自由度分解為各個(gè)變異來(lái)源的相應(yīng)部分。則考察總方差可以考察處理間方差和處理內(nèi)的方差,.,四、平方和與自由度的分解,平方和的分解：,總平方和=處理間平方和處理內(nèi)平方和,.,四、平方和與自由度的分解,自由度的分解：,總自由度=處理間自由度處理內(nèi)自由度,.,四、平方和與自由度的分解,計(jì)算方差：,.,五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)F檢驗(yàn),F檢驗(yàn)的目的：推斷處理間的差異是否存在,.,五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)F檢驗(yàn),注意：方差分析中的F檢驗(yàn)總是單尾檢驗(yàn),而且為右尾檢驗(yàn),.,F越大，越說(shuō)明組間方差是主要方差來(lái)源，因子影響越顯著；F越小，越說(shuō)明隨機(jī)方差是主要的方差來(lái)源，因子的影響越不顯著,五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)F檢驗(yàn),.,eg.某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚(yú)的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚(yú)20尾，隨機(jī)分成4組，投喂不同飼料，經(jīng)1個(gè)月以后，各組魚(yú)的增重（g）資料如下表，試進(jìn)行方差分析,分析：1個(gè)因素，4個(gè)水平，5個(gè)重復(fù)的方差分析,.,解：,.,.,不同飼料飼喂魚(yú)增重的方差分析表,.,二、固定效應(yīng)模型在固定效應(yīng)模型中，ai是處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離差，且是個(gè)常量，因而,要檢驗(yàn)a個(gè)處理效應(yīng)的相等性，就要ai判斷各是否等于0。若各ai都等于0，則各處理效應(yīng)之間無(wú)差異。因此，零假設(shè)為：,備擇假設(shè)為：HA：ai0（至少有1個(gè)i）。若接受H0，則不存在處理效應(yīng)，每個(gè)觀察值都是由平均數(shù)加上隨機(jī)誤差所構(gòu)成。若拒絕H0，則存在處理效應(yīng)，每個(gè)觀察值是由總平均數(shù)、處理效應(yīng)和誤差三部分構(gòu)成。,.,例2.1調(diào)查了5個(gè)不同小麥品系的株高，結(jié)果列于表21。在這個(gè)例子中，只出現(xiàn)“品系”這樣一個(gè)因素(factor)，故稱(chēng)單因素。共有5個(gè)不同的品系，我們稱(chēng)品系這一因素共有5個(gè)水平(level)。5個(gè)品系可以認(rèn)為是5個(gè)總體，表24的數(shù)據(jù)是從5個(gè)總體中抽出的5個(gè)樣本，通過(guò)比較這5個(gè)樣本，判斷這5個(gè)總體是否存在差異。,表215個(gè)小麥品系株高調(diào)查結(jié)果,.,解：在方差分析中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算可以用編碼法。方差分析的編碼，必須將全部數(shù)據(jù)均減去同一個(gè)共同的數(shù)。在例2.1中，每一個(gè)xij都減去65，列成下表，,.,先計(jì)算校正項(xiàng)C,再計(jì)算,.,將以上結(jié)果列成方差分析表(見(jiàn)表25)：,表25不同小麥品系株高方差分析表,*a0.01,當(dāng)分子自由度為4，分母自由度為20時(shí)，F(xiàn)4，20，0.052.87，F(xiàn)4，20，0.014.43，F(xiàn)F0.01。因此，不同小麥品系的株高差異極顯著。習(xí)慣上用“*”表示在0.05水平上差異顯著，用“*”表示在0.01水平上差異顯著，常常稱(chēng)為差異“極顯著”（highlysignificant）。,.,三、隨機(jī)效應(yīng)模型在實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)?；赜龅侥硞€(gè)因素有許多可能的水平，若參加實(shí)驗(yàn)的a個(gè)水平，是從該因素的水平總體中隨機(jī)選出的，那么這一因素稱(chēng)為隨機(jī)因素。其方差分析是通過(guò)隨機(jī)選取的a個(gè)水平對(duì)該因素的水平總體做推斷。要求水平的總體是無(wú)暇總體，即使不是無(wú)限總體，也應(yīng)相當(dāng)大，以至于可以認(rèn)為是無(wú)限總體。例2.2中動(dòng)物的“窩”是隨機(jī)因素，每一窩是一個(gè)水平，這種動(dòng)物所有的窩構(gòu)成一水平總體。從該總體中隨機(jī)選擇4個(gè)水平（4窩）做實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的目的是希望由這4窩動(dòng)物去推斷該種動(dòng)物所有不同的窩別之間幼仔出生重是否存在差異。,.,固定效應(yīng)模型中ai0的假設(shè)在這里不再適用。在隨機(jī)模型中，對(duì)單個(gè)處理效應(yīng)的檢驗(yàn)是無(wú)意義的，所要檢驗(yàn)的是關(guān)于ai的變異性的假設(shè)，因而，H0：sa20HA：sa20如果接受H0：sa20，則表示處理之間沒(méi)有差異；若拒絕H0而接受HA：sa20，則表示處理之間存在差異，方差分析的做法仍然是將總平方和分解，,.,自由度做同樣分解,由此可得出MSt和MSe。然后用F單側(cè)檢驗(yàn)（具dft，dfe自由度），,方差分析的程序與固定效應(yīng)模型的方差分析程序完全一樣，但是結(jié)論不同。隨機(jī)效應(yīng)模型適用于全部水平的總體，而固定效應(yīng)模型只適用于所選水平的總體。下面計(jì)算例2.2，并對(duì)結(jié)果加以解釋。,.,例2.2為了探討不同窩的動(dòng)物的出生重是否存在差異，隨機(jī)選取4窩動(dòng)物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下：,表224窩動(dòng)物的出生重（克）,.,解：將表22中的每一個(gè)數(shù)值都減去30，列成下表，,.,.,將上述結(jié)果列成方差分析表：,表26動(dòng)物出生重方差分析,查表得知，F(xiàn)3，12，0.053.49，因FF0.05，所以差異不顯著。通過(guò)對(duì)4窩動(dòng)物出生重的調(diào)查，可以推斷不同窩別動(dòng)物的出生重沒(méi)有顯著差異。,.,Excel方差分析,Office的默認(rèn)安裝中沒(méi)有“數(shù)據(jù)分析”要指定才會(huì)安裝。一旦安裝，“工具”菜單下出現(xiàn)“數(shù)據(jù)分析”條，可以用它來(lái)方便的做方差分析等統(tǒng)計(jì)推斷分析。可通過(guò)運(yùn)行Analysis中的模板文件ANALYS32.XLL調(diào)入此宏,.,加載數(shù)據(jù)分析,如“工具”菜單下沒(méi)有“數(shù)據(jù)分析”單擊“加載宏”,.,Excel解方差分析,選一批單元格輸入原始數(shù)據(jù);,.,Excel解方差分析,選“工具”“數(shù)據(jù)分析”;,.,Excel解方差分析,選“工具”“數(shù)據(jù)分析”“單因素方差分析”,.,Excel解方差分析,“單因素方差分析”對(duì)話(huà)框中：輸入?yún)^(qū)域，分組方式，輸出選項(xiàng),.,Excel解方差分析,“單因素方差分析”對(duì)話(huà)框中：填入信息后單擊“確定”按鈕,.,Excel解方差分析,分析結(jié)果,.,Excel解方差分析,方差分析結(jié)果表中各項(xiàng)目的含義,SS平方和df自由度MS均方F及FcritF值及F臨界值，F(xiàn)crit=FINV(a,df1,df2)P-valueF分布概率P-value=FDIST(F,df1,df2),.,F檢驗(yàn)如果否定了H0，接受了HA，表明試驗(yàn)的總變異主要來(lái)源于處理間的變異,六、多重比較,多重比較：假設(shè)對(duì)一個(gè)固定效應(yīng)模型經(jīng)過(guò)方差分析之后，結(jié)論是拒絕H0，處理之間存在差異。但這并不說(shuō)在每對(duì)處理之間多存在差異。為了弄清究竟在哪些對(duì)之間存在顯著差異，哪些對(duì)之間無(wú)顯著差異，必須在個(gè)處理平均數(shù)之間一對(duì)一對(duì)地做比較，這就是多重比較。即：多個(gè)平均數(shù)的相互比較,.,六、多重比較,常用的：1、最小顯著差數(shù)法（LSD法）2、最小顯著極差法（LSR法）新復(fù)極差檢驗(yàn)（SSR法）q檢驗(yàn),LSD稱(chēng)為最小顯著差數(shù)（leastsignificantdifference）它的計(jì)算方法簡(jiǎn)述如下：,.,對(duì)于任意兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，差數(shù)（x1x2）的差異顯著性檢驗(yàn)，可以用成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)，,當(dāng)n1n2時(shí),最小顯著差數(shù)法（LSD法）,樣本平均數(shù)的差數(shù),樣本平均數(shù)差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤,.,其中MSe為誤差方差，即處理內(nèi)方差，n為每一處理的觀察次數(shù)，于是,具k(n1)自由度，當(dāng)tt0.05時(shí)差異顯著，當(dāng)tt0.01時(shí)差異極顯著。因此，當(dāng)差異顯著時(shí),最小顯著差數(shù)法（LSD法）,.,并可得到，當(dāng),時(shí)差異顯著。t0.052MSen稱(chēng)為最小顯著差數(shù)，記為L(zhǎng)SD。每一對(duì)平均數(shù)的差與LSD比較，當(dāng)x1x2LSD時(shí)，差異顯著；否則差異不顯著。LSD是一種很有用的檢驗(yàn)方法，計(jì)算起來(lái)很方便，也容易比較。但是它有難以克服的缺點(diǎn)，即這種比較方法將會(huì)加大型錯(cuò)誤的概率。,最小顯著差數(shù)法（LSD法）,.,LSD法的步驟：,最小顯著差數(shù)法（LSD法）,1、計(jì)算平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤,2、由t逆函數(shù)(TINV)和平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算出達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)，記為L(zhǎng)SD,3、將全部平均數(shù)從大到小依次排列，并比較若即為在給定的水平上差異顯著，反之亦然,.,說(shuō)明實(shí)質(zhì)上是t檢驗(yàn)，但統(tǒng)一了標(biāo)準(zhǔn)誤簡(jiǎn)單、靈敏（降低了檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)、夸大了差異的顯著性）I類(lèi)錯(cuò)誤概率增大,控制單次比較的I類(lèi)錯(cuò)誤時(shí)應(yīng)用無(wú)法控制所有比較的總體I類(lèi)錯(cuò)誤,最小顯著差數(shù)法（LSD法）,.,2、求解達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)(LSD)臨界值：t0.05(16)=2.120,t0.01(16)=2.921LSD0.05(16)=2.120*14.622=31.0LSD0.01(16)=2.921*14.622=42.7,3、將全部平均數(shù)從大到小依次排列，并比較,.,excel數(shù)據(jù)的排序,工具,數(shù)據(jù)分析,排序與百分比,.,excel數(shù)據(jù)的排序,.,四種飼料飼喂魚(yú)增重差異顯著性(LSD檢驗(yàn)，梯形法),4、分析結(jié)果：A1飼料對(duì)魚(yú)增重效果極顯著高于A3和A2，顯著高于A4；A4飼料對(duì)魚(yú)增重效果顯著高于A3；A4和A2，A2和A3飼料對(duì)魚(yú)增重效果沒(méi)有顯著差異,.,四種飼料飼喂魚(yú)增重差異顯著性(LSD檢驗(yàn)，字母標(biāo)記法),(1)在最大的平均數(shù)上標(biāo)字母aA1行標(biāo)注a,a,(2)將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的(LSD0.05,則A4標(biāo)b,b,(3)再以標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個(gè)比它大的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母的右邊加標(biāo)字母b，然后再以標(biāo)b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以下未標(biāo)字母的平均數(shù)相比，凡相差不顯著的都標(biāo)上字母b，直到某個(gè)與相差顯著的則標(biāo)字母c往上：(A4-A1)是已經(jīng)比較了；往下(A4-A2)=17.0,標(biāo)b,(A4-A3)=32.4,標(biāo)c,b,c,(4)以此重復(fù)，直到最小的平均數(shù)標(biāo)記字母以A3為標(biāo)準(zhǔn)，往上：A3與A2相比無(wú)顯著差異，故在A2行b右邊標(biāo)注c，A3與A4已比較了,c,A,A,B,B,B,總結(jié)：差異不顯著標(biāo)同一字母，差異顯著標(biāo)不同字母,.,四種飼料飼喂魚(yú)增重差異顯著性(LSD檢驗(yàn)，字母標(biāo)記法),判斷：凡有一個(gè)相同標(biāo)記字母的即為差異不顯著，凡具有不同標(biāo)記字母的即為差異顯著,分析結(jié)果：A1飼料對(duì)魚(yú)增重效果極顯著高于A3和A2，顯著高于A4；A4飼料對(duì)魚(yú)增重效果顯著高于A3；A4和A2，A2和A3飼料對(duì)魚(yú)增重效果沒(méi)有顯著差異,.,把平均數(shù)的差異看成是平均數(shù)的極差(range)根據(jù)極差范圍內(nèi)所包括的處理數(shù)（稱(chēng)為秩次距）k的不同，而采用不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差LSR秩次距是指當(dāng)平均數(shù)由大到小排序后，相比較的兩個(gè)平均數(shù)之間（含這兩個(gè)平均數(shù)）包含的平均數(shù)個(gè)數(shù)I類(lèi)錯(cuò)誤下降、工作量加大,最小顯著極差法（LSR法）,.,為了克服LSD法的缺點(diǎn)，Duncan（1955）提出了Duncan多范圍檢驗(yàn)（Duncanmultipletest）。檢驗(yàn)方法如下：首先，將需要比較的a個(gè)平均數(shù)依次排列好，使之,并將每一對(duì)x之間的差（范圍）列成下表,注：表中的x均為x,新復(fù)極差法,.,Duncan檢驗(yàn)與LSD的一個(gè)明顯不同是Duncan檢驗(yàn)中，不同對(duì)平均數(shù)的差有不同的臨界值Rk。,其中,.,rara（k，df）的值可以從附表“多重比較中的Duncan表”中查出：表的最左邊一列是誤差自由度dfa（n1），最上一列為k值，表體為ra(k,df)。表中的k值是相比較的兩個(gè)平均數(shù)之間所包含的平均數(shù)的個(gè)數(shù)。如兩個(gè)要比較的平均數(shù)相鄰時(shí)k2，兩個(gè)要比較的平均數(shù)中間隔一個(gè)平均數(shù)時(shí)k3，依此類(lèi)椎。因?yàn)槠骄鶖?shù)共有a個(gè)，所以需查出a一1個(gè)ra，分別乘以S，得：,.,先從表的第一行最左邊的一個(gè)差x1xa開(kāi)始比較。若x1xaRa，則x1與xa的差異顯著；否則差異不顯著，然后比較下一個(gè)。若x1xa1Ra一1，則x1與xa1差異顯著，否則差異不顯著，。第一行比較完之后用同樣的方法比較第二行。先從第二行最左邊的一個(gè)差x2xa開(kāi)始，在x2到xa這個(gè)范圍內(nèi)共包含a1個(gè)平均數(shù)，因此x2xa應(yīng)與Ra1比較，若x2xaRa1，則差異顯著，否則不顯著，。第二行比較完再比較第三行，第四行，。直到所有平均數(shù)的差均與其相應(yīng)的Rk比較完為止。對(duì)于顯著的標(biāo)上“*”，極顯著的標(biāo)上“*”。,.,新復(fù)極差法,此法是以統(tǒng)計(jì)量SSR的概率分布為基礎(chǔ)的。SSR值由下式求得,.,SSR檢驗(yàn)步驟,計(jì)算出平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤；由自由度dfe、秩次距M(所含平均數(shù)的個(gè)數(shù))查臨界SSR值（附表6），計(jì)算最小顯著極差LSR0.05,M，LSR0.01,M；將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,M,LSR0.01,M比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷,.,有關(guān)采用excel自定義函數(shù)來(lái)生成SSR值可參見(jiàn)文獻(xiàn),.,q檢驗(yàn)法,此法是以統(tǒng)計(jì)量q的概率分布為基礎(chǔ)的。q值由下式求得,q值分布表附表7,其余與SSR檢驗(yàn)法一樣,.,例6.2:測(cè)定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個(gè)地區(qū)黃鼬冬季針毛的長(zhǎng)度(mm)，每個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取4個(gè)樣本，測(cè)定結(jié)果于下表，試比較各個(gè)地區(qū)黃鼬針毛長(zhǎng)度的差異顯著性,分析：1個(gè)因素，5個(gè)水平，4個(gè)重復(fù)的方差分析,.,解：“excel”“工具”“數(shù)據(jù)分析”“單因素方差分析”,由分析結(jié)果知：P0.01，說(shuō)明5個(gè)地區(qū)黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度差異顯著,.,q檢驗(yàn),1、計(jì)算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤,2、查附表7，當(dāng)dfe=15,M=2,q0.05=3.01,q0.01=4.17,則,當(dāng)M=3,M=4,M=5時(shí)按同理計(jì)算，結(jié)果列表,.,不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度的LSR值（q檢驗(yàn)）,a,b,b,c,A,B,B,C,3、不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度的差異顯著（q檢驗(yàn)）,d,C,c,C,.,4、結(jié)果表明：東北與其他地區(qū)；內(nèi)蒙古和安徽、貴州黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度差異均達(dá)極顯著水平。河北和貴州，安徽和貴州差異達(dá)顯著水平。內(nèi)蒙古和河北，河北和安徽差異不顯著。,LSD檢驗(yàn)的分析結(jié)果：東北與其他地區(qū)；內(nèi)蒙古和安徽、貴州；以及河北和貴州黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度差異均達(dá)極顯著水平。安徽和貴州差異達(dá)顯著水平。內(nèi)蒙古和河北，河北和安徽差異不顯著。,.,多重比較有多種方法，不同方法用途不同、比較的結(jié)果不同,總結(jié)：多重比較,尺度大小：LSD法SSR法q檢驗(yàn)法,（原因：SSR和q檢驗(yàn)是針對(duì)不同秩次距的平均數(shù)極差采用不同的顯著尺度，充分考慮到同一總體抽樣時(shí)，平均數(shù)的極差將隨秩次距的增大而增大這一現(xiàn)象）,對(duì)試驗(yàn)要求嚴(yán)格時(shí)，用q檢驗(yàn)法較為妥當(dāng),生物試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)誤差較大，常采用新復(fù)極差法（SSR法）,應(yīng)該注明利用的是何種多重比較方法,.,1、多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組均數(shù)間兩兩比較若目的是減小第II類(lèi)錯(cuò)誤，最好選用最小顯著差法LSD；若目的是減小第I類(lèi)錯(cuò)誤，最好選用SSR法。,總結(jié)：多重比較,2、多個(gè)樣本均數(shù)間兩兩比較常用q檢驗(yàn)的方法,.,第二節(jié)單因素方差分析,.,單因素方差分析,分析目的：判斷某試驗(yàn)因素各水平的相對(duì)效果,分類(lèi)：根據(jù)組內(nèi)觀測(cè)數(shù)目（重復(fù)數(shù)）是否相同1、組內(nèi)觀測(cè)次數(shù)相等的方差分析2、組內(nèi)觀測(cè)次數(shù)不等的方差分析,.,各處理重復(fù)次數(shù)不等的方差分析,Excel中對(duì)應(yīng)函數(shù)：,求和：SUM（）求冪：POWER（x，power）求平方和：SUMSQ（）,.,例題6.3.用某種小麥種子進(jìn)行切胚乳試驗(yàn)，試驗(yàn)分為3種處理：整粒小麥（I），切去一半胚乳（II），切去全部胚乳（III），同期播種于條件比較一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選留2株，成熟后進(jìn)行單株考種，每株粒重（g）結(jié)果如下表，試進(jìn)行方差分析,分析：1個(gè)因素，10個(gè)水平，3個(gè)重復(fù)的方差分析,.,解：“excel”“工具”“數(shù)據(jù)分析”“單因素方差分析”,結(jié)果分析：3種處理的單株粒重?zé)o顯著差異,.,第三節(jié)二因素方差分析,.,兩因素試驗(yàn)資料的方差分析是指對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)同時(shí)受到兩個(gè)試驗(yàn)因素作用的試驗(yàn)資料的方差分析,兩因素方差分析,主效應(yīng)：各試驗(yàn)因素的相對(duì)獨(dú)立作用，簡(jiǎn)稱(chēng)主效或效應(yīng),互作：某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，則二因素間存在交互作用，簡(jiǎn)稱(chēng)互作?；プ餍?yīng)實(shí)際是由于兩個(gè)或多個(gè)試驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng),.,互作分類(lèi)：1、正的交互作用2、負(fù)的交互作用3、無(wú)交互作用：即互作效應(yīng)為零。沒(méi)有交互作用的因素是相互獨(dú)立的因素，此時(shí)，不論在某個(gè)因素哪個(gè)水平，另一因素的效應(yīng)都是相等的,互作效應(yīng),.,互作與主效應(yīng)的關(guān)系:因素間的交互作用顯著與否關(guān)系到主效應(yīng)的利用價(jià)值1、若交互作用不顯著：各因素的效應(yīng)可以累加，各因素的最優(yōu)水平組合起來(lái)，即為最優(yōu)的處理組合2、若交互作用顯著：各因素的效應(yīng)就不能累加，最優(yōu)處理組合的選定應(yīng)根據(jù)各處理組合的直接表現(xiàn)選定3、有時(shí)候交互作用相當(dāng)大，甚至可以忽略主效應(yīng),互作效應(yīng),.,二因素方差分析,分析目的：判斷對(duì)因素主效應(yīng)和交互作用,分類(lèi)：1、無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析2、具有重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析,.,前提二因素?zé)o互作，每個(gè)處理可不設(shè)重復(fù)數(shù)據(jù)假定A因素有a個(gè)水平、B因素有b個(gè)水平，每個(gè)水平組合只有一個(gè)觀測(cè)值，全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀測(cè)值,無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析,.,無(wú)重復(fù)觀測(cè)值的二因素?cái)?shù)據(jù)資料,A因素每個(gè)水平看作b個(gè)重復(fù)B因素每個(gè)水平看作a個(gè)重復(fù),.,模型假定,每個(gè)觀察值為一個(gè)從平均值等于ij的群體隨機(jī)、獨(dú)立的抽樣。共有ab個(gè)樣本。處理效應(yīng)和區(qū)組效應(yīng)是加性的。處理和區(qū)組沒(méi)有互作數(shù)據(jù)的方差相等eij為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，2),.,數(shù)學(xué)模型,=總體平均ai=第i個(gè)處理效應(yīng)，i.bj=第j個(gè)區(qū)組的效應(yīng)，.jeij=隨機(jī)誤差項(xiàng)，xijij,.,方差剖分,無(wú)重復(fù)觀測(cè)值二因素的試驗(yàn)A因素的每個(gè)水平有b次重復(fù)，B因素的每個(gè)水平有a次重復(fù)，每個(gè)觀測(cè)值同時(shí)受到A、B兩因素及隨機(jī)誤差的作用。因此全部ab個(gè)觀測(cè)值的總變異可以剖分為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗(yàn)誤差三部分自由度也相應(yīng)剖分,.,平方和計(jì)算,.,各項(xiàng)方差計(jì)算,.,ANOVA表,.,例題6.4:將一種生長(zhǎng)激素配成M1，M2，M3，M4，M5五種濃度，并用H1，H2，H3三種時(shí)間浸漬某大豆品種的種子，出苗45天后得到各處理每一植株的平均干物重(g),結(jié)果如下表，試作方差分析。,分析：2個(gè)因素，無(wú)重復(fù)的方差分析,.,解：“excel”“工具”“數(shù)據(jù)分析”“無(wú)重復(fù)雙因素方差分析”,.,F檢驗(yàn)結(jié)果表明：激素處理濃度之間的F值大于F0.01，達(dá)到極顯著水平；激素處理時(shí)間之間的F值未達(dá)到顯著水平，說(shuō)明不同激素濃度對(duì)大豆干物重有極顯著的影響。,多重比較（用SSR檢驗(yàn)）：激素處理濃度之間的效應(yīng)達(dá)到極顯著水平，而激素處理時(shí)間之間的F值未達(dá)到顯著水平，所以只對(duì)5種浸漬濃度進(jìn)行多重比較。,.,計(jì)算濃度之間的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤：,查SSR值表（附表6），得到在dfe8時(shí)，不同秩次距下的SSR值和LSR值,.,不同激素濃度大豆干物重多重比較的LSR值（SSR檢驗(yàn)）,a,a,b,c,A,A,B,C,不同激素濃度大豆干物重平均數(shù)的差異顯著（SSR檢驗(yàn)）,c,C,.,多重比較結(jié)果表明：5種生長(zhǎng)激素濃度度對(duì)大豆干物重有極顯著的影響。M1與M2，M5與M3之間差異不顯著；除此之外，其他激素濃度之間的大豆干物重均達(dá)到極顯著差異。5種激素濃度中，M1和M2的處理效果較好,.,如果兩個(gè)因素存在互作將互作項(xiàng)和誤差項(xiàng)的平方和自由度分解有互作試驗(yàn)設(shè)計(jì)設(shè)重復(fù),有重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析,.,上面講過(guò)，因素可分作固定因素和隨機(jī)因素。在兩因素實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)兩個(gè)因素都是固定因素時(shí)，稱(chēng)為固定模型（fixedmodel）；兩個(gè)因素均為隨機(jī)因素時(shí)，稱(chēng)為隨機(jī)模型（randommodel）；一個(gè)因素是固定因素，另一個(gè)因素是隨機(jī)因素時(shí)，稱(chēng)為混合模型（mixedmodel）。這三種模型雖然在計(jì)算方法上沒(méi)有多大不同，但在檢驗(yàn)以及對(duì)結(jié)果解釋上卻截然不同。尤其是在兩因素之間存在交互作用時(shí)，不同類(lèi)型模型的區(qū)別就更明顯。,.,兩因素實(shí)驗(yàn)的典型設(shè)計(jì)是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復(fù)都包括ab次實(shí)驗(yàn)，并設(shè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n次，ijk表示A因素的第i水平，B因素第j水平和第k次重復(fù)的觀察值。數(shù)據(jù)將以下表的形式出現(xiàn)。表2-7中A和B可以是固定因素，也可以是隨機(jī)因素，因而引出三種不同的統(tǒng)計(jì)模型。,.,表27兩因素交互分組實(shí)驗(yàn)的一般格式,.,表27中的各種符號(hào)做如下說(shuō)明：ci表示A因素第i水平的所有觀察值的和；cj表示B因素第j水平的所有觀察值的和；cij表示A的第i水平和B的第j水平的所有觀察值的和；c表示所有觀察值的綜合。,.,數(shù)學(xué)模型,.,平方和的計(jì)算,.,自由度計(jì)算,.,各項(xiàng)方差計(jì)算,.,F檢驗(yàn),.,固定模型,.,兩因素固定模型方差分析表如下：,表28固定模型方差分析表（因素A、B固定型）,.,例2.3為了從三種不同原料和三種不同發(fā)酵溫度中，選出最適的條件，設(shè)計(jì)了一個(gè)兩因素試驗(yàn)。并得到以下結(jié)果（表29）：,.,在這個(gè)試驗(yàn)中，溫度和原料均為固定因素。每一處理有4次重復(fù)。因此可按上面敘述過(guò)的方法分析。將表中的每一數(shù)字均減去30，列成表210.1，由表210.1中，可以計(jì)算出,及,.,表210.1發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析計(jì)算表,.,利用ij列列成表210.2。,表210.2發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析表,.,由表210.2中可以計(jì)算出,.,列成方差分析表：,表211發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析表,*a0.01*a0.05,原料和溫度在0.01水平上拒絕H0；交互作用在0.05水平上拒絕H0。因此酒精的產(chǎn)量不僅與原料與溫度有關(guān)，而且與兩者的交互作用也有關(guān)。,.,隨機(jī)模型,.,表214隨機(jī)效應(yīng)模型方差分析表（因素A、B隨機(jī)型）,隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析表如下：,.,例2.6為了研究不同地塊中施用不同數(shù)量農(nóng)家肥對(duì)作物產(chǎn)量的影響，設(shè)計(jì)了一個(gè)兩因素試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果列在下表中。,解前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，這是一隨機(jī)模型。隨機(jī)模型的各項(xiàng)平方和的計(jì)算與固定模型是一樣的。將上表中的cijk每一個(gè)均減去9.5列成下表：,.,表215.1作物產(chǎn)量方差分析計(jì)算表,.,利用ijk列，列成下表：,表215.2作物產(chǎn)量方差分析計(jì)算表,由表215.1計(jì)算出,.,由表215.2計(jì)算出,.,列成方差分析表:,*a0.01,從以上方差分析表中，可以看出所選擇的不同地塊對(duì)產(chǎn)量沒(méi)有顯著影響。但不同施肥兩對(duì)產(chǎn)量的影響極為顯著。,.,混合模型,.,混合模型方差分析表如下：,表216混合模型方差分析表（A固定，B隨機(jī)）,.,例27表217所列出的數(shù)據(jù)是四個(gè)受試者在四種速度下工作，即正常速度的60、80、100、120所得到的能量消耗的比值，試驗(yàn)共有16種處理，每一處理重復(fù)觀察2次，共做32次觀察。,表217四個(gè)受試者在四種速度下工作的能量消耗,.,解首先，看因素的類(lèi)型。因素A是從60120這個(gè)范圍內(nèi)，人為地選出的四個(gè)水平，這四個(gè)水平是可以嚴(yán)格控制的，所以因素A為固定型；因素B的四個(gè)水平，是從受試者人群中隨機(jī)抽取的，所以因素B為隨機(jī)型。本試驗(yàn)屬于混合效應(yīng)模型。具體計(jì)算過(guò)程不再重復(fù)，下面給出方差分析表,表218能量消耗實(shí)驗(yàn)方差分析表,.,首先，檢驗(yàn)假設(shè),因?yàn)镕F9，16，0.05，所以A、B之間存在交互作用。檢驗(yàn),FF3，16，0.05，所以實(shí)驗(yàn)對(duì)象個(gè)體之間的差異不顯著。,.,最后，檢驗(yàn),FF3，16，0.01，接受H01。因素A是不顯著的。在這四種速度下，工作的能量消耗沒(méi)有顯著不同。要提醒大家的是，在混合模型的方差分析時(shí)，正確區(qū)分因素的類(lèi)型，正確地使用檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是非常重要的。,.,ANOVA表,.,例題6.5:為了研究某種昆蟲(chóng)滯育期長(zhǎng)短和環(huán)境的關(guān)系，在給定的溫度和光照條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室培養(yǎng)，每一處理記錄4只昆蟲(chóng)的滯育天數(shù)，結(jié)果列于下表，試對(duì)該資料進(jìn)行方差分析,分析：2個(gè)因素，有重復(fù)的，固定模型的方差分析,.,解：“excel”“工具”“數(shù)據(jù)分析”“可重復(fù)雙因素方差分析”,.,F檢驗(yàn)結(jié)果表明：不同光照和溫度對(duì)該昆蟲(chóng)的滯育有極顯著影響，即昆蟲(chóng)滯育期長(zhǎng)短主要決定光照和溫度；光照和溫度兩者之間的互作關(guān)系不大需要對(duì)光照和溫度分別作多重分析,.,采用Excel計(jì)算重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析,注意事項(xiàng)：1、數(shù)據(jù)輸入?yún)^(qū)域必須有標(biāo)題2、直接分析結(jié)果僅適用用固定模型,.,例題：用兩種不同的飼料A和B，以不同的配比方式飼養(yǎng)大白鼠，每一種飼料均取4個(gè)水平，各配比處理的食量相同，每一個(gè)