1998考研數(shù)學三真題和詳解

精選文庫1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點為,則 .(2) .(3) 差分方程的通解為 .(4) 設(shè)矩陣滿足,其中,為單位矩陣,為的伴隨矩陣,則 .(5) 設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本,.則當 , 時,統(tǒng)計量服從分布,其自由度為 .二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 設(shè)周期函數(shù)在內(nèi)可導,周期為4.又則曲線在點處的切線的斜率為 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 設(shè)函數(shù)討論函數(shù)的間斷點,其結(jié)論為 ( )(A) 不存在間斷點 (B) 存在間斷點(C) 存在間斷點 (D) 存在間斷點(3) 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為.若存在三階矩陣使得,則 ( )(A) 且 (B) 且(C) 且 (D) 且 (4) 設(shè)階矩陣,若矩陣的秩為,則必為 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)與分別為隨機變量與的分布函數(shù).為使 是某一變量的分布函數(shù),在下列給定的各組數(shù)值中應取 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分5分)設(shè),求與.四、(本題滿分5分)設(shè),求.五、(本題滿分6分)設(shè)某酒廠有一批新釀的好酒,如果現(xiàn)在(假定)就售出,總收入為.如果窖藏起來待來日按陳酒價格出售,年末總收入為假定銀行的年利率為,并以連續(xù)復利計息,試求窖藏多少年售出可使總收入的現(xiàn)值最大.并求時的值.六、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且試證存在使得七、(本題滿分6分)設(shè)有兩條拋物線和,記它們交點的橫坐標的絕對值為(1) 求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積；(2) 求級數(shù)的和.八、(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù).若由曲線直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積為試求所滿足的微分方程,并求該微分方程滿足條件的解.九、(本題滿分9分)設(shè)向量都是非零向量,且滿足條件記矩陣求： (1) ；(2) 矩陣的特征值和特征向量.十、(本題滿分7分)設(shè)矩陣矩陣其中為實數(shù),為單位矩陣.求對角矩陣,使與相似,并求為何值時,為正定矩陣.十一、(本題滿分10分)一商店經(jīng)銷某種商品,每周進貨的數(shù)量與顧客對該種商品的需求量是相互獨立的隨機變量,且都服從區(qū)間10,20上的均勻分布.商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了進貨量,商店可從其他商店調(diào)劑供應,這時每單位商品獲利潤為500元.試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值.十二、(本題滿分9分)設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表,其中女生的報名表分別為3份、7份和5份.隨機地取一個地區(qū)的報名表,從中先后抽出兩份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】【解析】曲線在點處的切線斜率,根據(jù)點斜式,切線方程為：令,代入,則,即在軸上的截距為,.(2)【答案】【解析】由分部積分公式, .【相關(guān)知識點】分部積分公式：假定與均具有連續(xù)的導函數(shù),則或者(3)【答案】【解析】首先把差分方程改寫成標準形式,其齊次方程對應的特征方程及特征根分別為故齊次方程的通解為為常數(shù).將方程右邊的改寫成,此處“1”不是特征根,故令非齊次方程的一個特解為從而代入原方程,得故 .于是通解為 (4)【答案】【解析】由題設(shè) ,由于,所以可逆.上式兩邊左乘,右乘,得 (利用公式：) (移項)(矩陣乘法的運算法則)將代入上式,整理得.由矩陣可逆的定義,知均可逆,且.(5)【答案】【解析】由于相互獨立,均服從,所以由數(shù)學期望和方差的性質(zhì),得,所以,同理.又因為與相互獨立,且；,由分布的定義,當時,.即當時,服從分布,其自由度為.嚴格地說,當時,；當時,也是正確的.【相關(guān)知識點】1、對于隨機變量與均服從正態(tài)分布,則與的線性組合亦服從正態(tài)分布.若與相互獨立,由數(shù)學期望和方差的性質(zhì),有,其中為常數(shù).2、定理：若,則.3、分布的定義：若相互獨立,且都服從標準正態(tài)分布,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)【答案】(D)【解析】根據(jù)導數(shù)定義：所以 因為周期為4,的周期亦是4,即,所以.所以曲線在點處的切線的斜率為.選(D).(2)【答案】(B)【分析】討論由極限表示的函數(shù)的性質(zhì),應分兩步走.先求出該的(分段)表達式,然后再討論的性質(zhì).不能隔著極限號去討論.【解析】現(xiàn)求的(分段)表達式：當時,；當時, ；當時, ；當時, .由此, 即再討論函數(shù)的性質(zhì)：在處,所以,函數(shù)在處連續(xù),不是間斷點.在處,；所以,函數(shù)在處不連續(xù),是第一類間斷點.故選(B).(3)【答案】(C)【解析】方法1:由知,又,于是,故,即,得應選(C).方法2:由知,又,于是,故.顯然,時,有故應選(C).作為選擇題,只需在與中選擇一個,因而可以用特殊值代入法.評注：對于條件應當有兩個思路：一是的列向量是齊次方程組的解；二是秩的信息,即,要有這兩種思考問題的意識.(4)【答案】(B)【解析】其中變換：將1行乘以(-1)再分別加到其余各行；變換：將其余各列分別加到第1列.由階梯形矩陣知,當,即時,有,故應選(B).(5)【答案】(A)【解析】根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì),即.在所給的四個選項中只有(A)滿足,故應選(A).【相關(guān)知識點】分布函數(shù)的性質(zhì)： (1) 單調(diào)不減；(2) (3) 是右連續(xù)的.三、(本題滿分5分)【解析】 由全微分與偏微分的關(guān)系可知,其中的系數(shù)就是,即.再對求偏導數(shù),得四、(本題滿分5分)yxO【解析】表示圓心為,半徑為的圓及其內(nèi)部,畫出區(qū)域,如右圖.方法1: 所以, ,令,則,所以上式.方法2:引入極坐標系,于是,其中倒數(shù)第二步用了華里士公式：,其中為大于1的正奇數(shù).五、(本題滿分6分)【分析】根據(jù)連續(xù)復利公式,在年利率為的情況下,現(xiàn)時的(元)在時的總收入為,反之,時總收入為的現(xiàn)值為,將代入即得到總收入的現(xiàn)值與窖藏時間之間的關(guān)系式,從而可用微分法求其最大值.【解析】由連續(xù)復利公式知,這批酒在窖藏年末售出總收入的現(xiàn)值為,而由題設(shè),年末的總收入,據(jù)此可列出：,令 ,得惟一駐點 .根據(jù)極值的第二充分條件,知：是的極大值點,又因駐點惟一,所以也是最大值點.故窖藏年出售,總收入的現(xiàn)值最大.當時, (年).【相關(guān)知識點】極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處具有二階導數(shù)且,當時,函數(shù)在處取得極大值；當時,函數(shù)在處取得極小值.六、(本題滿分6分)【分析】本題要證的結(jié)論中出現(xiàn)兩個中值點和,這種問題一般應將含有和的項分別移到等式兩邊后再用微分中值定理,為此本題只要證.【解析】方法1: 函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,滿足拉格朗日中值定理的條件,對函數(shù)在上用拉格朗日中值定理,有又函數(shù)與滿足柯西中值定理的條件,將函數(shù)與在上用柯西中值定理,有 ,即.從而有 ,即.方法2：題中沒有限制,因此取,即成為要去證存在使在上對函數(shù)用拉格朗日中值定理,存在使再取,則,原題得證.【相關(guān)知識點】1.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,那么在內(nèi)至少有一點,使等式成立.2. 柯西中值定理：如果函數(shù)及滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導；(3) 對任一,那么在內(nèi)至少有一點,使等式成立.七、(本題滿分6分)【解析】(1)由與得因圖形關(guān)于軸對稱,所以,所求圖形的面積為(2)由(1)的結(jié)果知,根據(jù)級數(shù)和的定義,八、(本題滿分7分)【分析】本題是微分方程的幾何應用問題.在題目中給出了由曲線等圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積與包含函數(shù)的一個恒等式,這正是列方程的依據(jù).【解析】由繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積公式得,于是,依題意得,即.兩邊對求導,化成微分方程,其中為未知函數(shù).按通常以表示自變量,表示未知函數(shù),于是上述方程可寫為即 這是一階齊次微分方程.令,有,則上式化為即 (*)若,則不滿足初始條件,舍棄；若,則也不滿足初始條件,舍棄；所以,且.由(*)式分離變量得兩邊積分得.從而方程(*)的通解為為任意常數(shù).再代入初值,由,得,從而所求的解為【相關(guān)知識點】1. 對積分上限的函數(shù)的求導公式：若,均一階可導,則 .九、(本題滿分9分)【解析】(1)對等式兩邊取轉(zhuǎn)置,有,即.利用及矩陣乘法的運算法則,有,即是階零矩陣.(2)設(shè)是的任一特征值,是屬于特征值的特征向量,即.對上式兩邊左乘得,由(1)的結(jié)果,得,因,故(重根),即矩陣的全部特征值為零.下面求的特征向量：先將寫成矩陣形式.不妨設(shè),則有于是得方程組同解方程組,這樣基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為.選為自由未知量,將它們的組值代入,可解得基礎(chǔ)解系為則的屬于的全部特征向量為,其中為不全為零的任意常數(shù).十、(本題滿分7分)【分析】由于是實對稱矩陣,必可相似對角化,而對角矩陣即的特征值,只要求出的特征值即知,又因正定的充分必要條件是特征值全大于零,的取值亦可求出.【解析】方法1：由,可得的特征值是那么,的特征值是,而的特征值是又由題設(shè)知是實對稱矩陣,則故,即也是實對稱矩陣,故必可相似對角化,且.當時,的全部特征值大于零,這時為正定矩陣.方法2：由,可得的特征值是因為是實對稱矩陣,故存在可逆矩陣使,即.那么 即.故.當時,的全部特征值大于零,這時為正定矩陣.【相關(guān)知識點】1.特征值的性質(zhì)：若有特征值,則的特征多項式有特征值.2.矩陣正定的充要條件是特征值全大于零.O10 20 xy1020十一、(本題滿分10分)【解析】設(shè)表示商店每周所得的利潤,當時,賣得利潤為(元)；當時,調(diào)劑了,總共得到利潤(元).所以,由題設(shè)與