機械動力學演示文稿（四）.ppt

五.模態(tài)分析,n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的一般性質(zhì)：,主振型之間有聯(lián)系，主要反映在主振型的正交性（重要性質(zhì)）,（一）主振型的正交性：,正交性的證明：任選取兩個不同主振型,由特征值問題方程：,(1),(2),（sr）,(1)式兩端前乘,(2)式兩端前乘得：,（3）,（4）,將（4）式兩邊轉置：,（5）,（3）-（5）式得：,（6）式代入（3）式得：,4-1,（6）和（7）說明不同的兩個主振型（r階與s階）存在著對質(zhì)量矩陣（6）式和剛度矩陣（7）式的正交性。統(tǒng)稱主振型的正交性。若對（1）式兩邊前乘得：,因，因此二齊次函數(shù)（二次型）：,稱第r階主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量,稱第r階主剛度或模態(tài)剛度,（r=1,2,n）,(8)兩邊除得,上式說明，第r階固有頻率平方等于第r階主剛度與第r階主質(zhì)量的比值（與單自由度公式類似）,歸納如下：,4-2,主振型正交性:數(shù)學上“線性獨立”,（二）主振型正交性的物理意義：,“主振型”數(shù)學上是一個向量，當為單位矩陣時，是向量的正交性。當向量表示空間有向線段時，是幾何上線段“相互垂直”，當向量大于三維時，是相互線性獨立性（任一向量不能用其它向量線性表示）,如圖車床刀架簡化模型，當?shù)都茏魑⒎駝訒r，認為這兩彈簧彼此獨立，經(jīng)計算系統(tǒng)主振型為：,第一階主振型，沿坐標原點斜率為的直線作振動。,第二階主振型，沿坐標原點斜率為的直線作振動。,通過證明（兩條線段相互垂直）,單質(zhì)點的平面（二自由度）振動和空間（三自由度）振動，主振型的正交性同幾何上方向垂直概念相同。多自由度多質(zhì)點系的振動，主振型正交性無法用幾何上方向垂直說明。其正交性只能從能量的觀點說明。,主振型正交性：物理意義,4-3,說明每一個主振動，動能和勢能之和永遠是常數(shù)。,多自由度系統(tǒng)動能T，勢能U表達式：,則：,某一r階主振動的動能和勢能之和為常數(shù)：,系統(tǒng)振動過程中，每一主振動內(nèi)部動能和勢能可相互轉化，象一獨立單自由度系統(tǒng)一樣。從能量觀點：各階主振動之間相互獨立，之間不會發(fā)生能量傳遞。,4-4,將系統(tǒng)n個主振型（主模態(tài)）每一個作為一列按階次排列在一個矩陣，便組成n階方陣。,（三）模態(tài)矩陣（振型矩陣）,稱模態(tài)矩陣（振型矩陣）前面已證,因此:,根據(jù)正交性：上式=,模態(tài)質(zhì)量矩陣（主質(zhì)量矩陣）,=,4-5,同樣：,可得,模態(tài)剛度矩陣（主剛度矩陣）,例：前面求出,模態(tài)矩陣,4-6,求模態(tài)質(zhì)量矩陣：,求模態(tài)剛度矩陣：,4-7,（四）主坐標與模態(tài)分析,用可使都變成對角矩陣，自然會用作為變換矩陣，對一般物理坐標系進行坐標變換：,坐標變換,并在方程兩邊前乘得：,展開,(25),方程（25）是以新的廣義坐標表達，是模態(tài)剛度矩陣，是模態(tài)質(zhì)量矩陣（都是對角矩陣）。因此用廣義坐標表達的運動方程組是一個互不耦合，相互獨立的。這正是坐標變換的目的。,模態(tài)分析定義：用由系統(tǒng)各主振型組成的模態(tài)矩陣為變換矩陣，對原方程進行坐標變換，可使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都同時對角線化；得到一組互不耦合的模態(tài)方程，其中每一個方程的結構都和一個單自由系統(tǒng)的運動方程相同，可用解單自由度系統(tǒng)的方法分別求解，得多自由度系統(tǒng)的響應。這樣一個過程，通常稱為模態(tài)分析。用這種方法求得的解是各主振型的線性疊加，故又稱為振型疊加法。,4-8,坐標變換物理意義：展開形式：,原廣義坐標是系統(tǒng)各階主振型的線性組合。,振動系統(tǒng)的任何可能的運動都是各階主振型按一定比例疊加起來的。這n個比例因子，就是n個新的廣義坐標的值。稱新的廣義坐標為主坐標或模態(tài)坐標。,主坐標的含義：（以某一r階主坐標說明）,表示第r階主振型對運動的貢獻，也可以說，主坐標相當于r階主振型的參與因子。,總之，每一個主坐標的值，等于其對應各階主振型分量在系統(tǒng)原坐標值中占有成份的大小。,4-9,六動力響應多自由度系統(tǒng)在動態(tài)力作用下，激起受迫振動方程是：,（1）,用模態(tài)分析法對方程求解，先從無阻尼討論，再討論有阻尼情況,（一）無阻尼情況,（2）,（1）一般解題步驟：a).求系統(tǒng)各階固有頻率各階主振型并組成模態(tài)矩陣,b).作坐標變換：,（3）,將方程變換為模態(tài)方程：,或：,（4）,4-10,（5）,或,c).按單自由度系統(tǒng)的方法分別求解方程中各方程（4），得：,d).把求得的回代到式（3）最后得系統(tǒng)原廣義坐標上的響應,分不同激振形式：簡諧激勵初始激勵討論：,（2）簡諧激勵：當系統(tǒng)受到同頻率的簡諧激勵：有方程：,（a）,設系統(tǒng)的響應為,按上述解題步驟：,4-11,a.求自由振動時各階,b.坐標變換：,得模態(tài)方程：,c.用單自由度系統(tǒng)的方法求解模態(tài)方程：,設解為：,代入模態(tài)方程：,4-12,d.將（6）回代,受迫振動的振幅列陣為,（3）初始激振：,設：t=0時節(jié),系統(tǒng)對初始激勵的響應，是系統(tǒng)在給定初始條件下的自由振動。n自由度系統(tǒng)，給出2n個初始條件，能確定方程一組特解，此特解就是對初始激勵的響應。（數(shù)學上稱微分方程組的初值問題）。此類問題仍可用模態(tài)分析法求解，步驟與前面一樣。,a.求自由振動時各階,b.坐標變換：得自由振動的方程（模態(tài)方程）,4-13,（8）,c).按求單自由度系統(tǒng)自由振動解一樣，求各模態(tài)坐標的通解：,其待定常數(shù)可由初始條件（t=0時）：,表示,與單自由度系統(tǒng)中初始條件決定待定常數(shù)情況一樣，有：,問題：需要初始條件是而不是因此必需,4-14,解決辦法：由公式反變換,因此在模態(tài)坐標系下的初始值：,求出，后代入（8）式，得模態(tài)坐標對初始激勵響應,實際工程計算中由于求很難，通常不直接求能夠，而用以下公式求：,求,因為兩邊前乘,與（9）式比較得,求容易，為（對角矩陣），矩陣轉置很方便。因此用式（11）求容易得多。,因此（10）式：,4-15,d).將求得的,回代到坐標變換式，可求出原坐標所表達的響應：,例：上例，如圖系統(tǒng)對初始條件t=0時,求系統(tǒng)響應。,解：求自由振動時各階,（a）,4-16,坐標變換,模態(tài)方程式,按求解單自由度系統(tǒng)自由振動，求各模態(tài)坐標的通解,（b）,由公式求模態(tài)坐標的初始值。,4-17,代入（b）式得。將求得回代公式得原坐標系表示的響應：,4-18,結果表明：給定初始條件，系統(tǒng)自由振動同時包含三種振動分量（三種頻率振動）,4-19,（二）有阻尼情況：,模態(tài)分析法關鍵是用模態(tài)矩陣為坐標變換矩陣解除方程耦合。無阻尼系統(tǒng)，特征值與特征向量是實數(shù)，是實模態(tài)矩陣，求解方便。有阻尼系統(tǒng)，特征值與特征向量是復數(shù)，是復模態(tài)矩陣，求解困難得多。一定條件下，有阻尼系統(tǒng)仍可用無阻尼實模態(tài)矩陣求解（不介紹有關復模態(tài)問題).,有阻尼多自由度系統(tǒng)受迫振動方程：以實模態(tài)矩陣作坐標變換得：,因此方程（15）并未完全解除耦合（通過速度項相互耦合）。,對小阻尼系統(tǒng)（一般0.2）,各固有頻率彼此又不相等，且不太接近，系統(tǒng)響應主要受主對角元素影響，非對角元素影響很小?？山谱鲗蔷仃囂幚?。（誤差不大）。這樣模態(tài)分析法有效推廣到有阻尼的多自由度系統(tǒng)的振動問題上。,上式為對角矩陣。,（14）,（15）,4-20,（對角矩陣）,其中：（16）,（