高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)5數(shù)學(xué)方法之特殊解法精品教學(xué)案

【專題五】數(shù)學(xué)方法之特殊解法【考情分析】近年高考題盡量減少繁煩的運(yùn)算，著力考查學(xué)生的邏輯思維與直覺思維能力，以及觀察、分析、比較、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法和推理技巧，突出了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查。試題運(yùn)算量不大，以認(rèn)識(shí)型和思維型的題目為主，許多題目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊”方法求解。其中，配方法、待定系數(shù)法、換元法、參數(shù)法是幾種常用的數(shù)學(xué)解題方法。這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，是解決問題的手段，它們不僅有明確的內(nèi)涵，而且具有可操作性，有實(shí)施的步驟和作法，事半功倍是它們共同的效果。縱觀近幾年高考命題的趨勢(shì)，在題目上還是很注意特殊解法應(yīng)用，應(yīng)為他起到避繁就簡(jiǎn)、避免分類討論、避免轉(zhuǎn)化等作用。預(yù)測(cè)2013年的高考命題趨勢(shì)為：（1）部分涉及函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)變形及求值、方程不等式的參數(shù)最值、解析幾何求值等知識(shí)點(diǎn)的題目會(huì)用到這幾種特殊解法；（2）這些解題方法都對(duì)應(yīng)更一般的解法，它們的規(guī)律不太容易把握，但它們?cè)趯?shí)際的考試中會(huì)節(jié)省大量的時(shí)間，為后面的題目奠定基礎(chǔ)；【知識(shí)歸納】1換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyr（r0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t0和0,。2待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。3參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。4配方（湊）法（1）配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題。（2）配湊法：從整體考察，通過恰當(dāng)?shù)呐錅悾箚栴}明了化、簡(jiǎn)單化從而達(dá)到比較容易解決問題的方法。常見的配湊方法有：裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減法，常量代換法等。【考點(diǎn)例析】1配方（湊）法典例解析例1（1）（2012高考重慶）設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的值為（ ）（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3【答案】A；【解析】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，所以，選A.（2）已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為（ ）(A)(B)(C)5(D)6分析：設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為x、y、z，則依條件得： 2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的對(duì)角線長(zhǎng)為，因此需將對(duì)稱式寫成基本對(duì)稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式，完成這種組合的常用手段是配方法，故=6211=25。 ，應(yīng)選C。點(diǎn)評(píng)：本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2（1）設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF2=90，則F1PF2的面積是（ ）(A)1(B)(C)2(D)分析：欲求(1)，而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90，得(2)，又根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4(3)，那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方，即可找到三個(gè)式子之間的關(guān)系.即，故 ， 選(A)。點(diǎn)評(píng)：配方法實(shí)現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化。（2）設(shè)方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解析：方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：pqk，pq2，()+()7，解得k或k。又 p、q為方程xkx2=0的兩實(shí)根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k。點(diǎn)評(píng)：關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對(duì)“”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。2待定系數(shù)法典例解析例3（2012高考浙江）(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；() 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。【答案】()由題：； (1)左焦點(diǎn)(c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為： (2)由(1) (2)可解得：所求橢圓C的方程為：()易得直線OP的方程：yx，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在橢圓上，設(shè)直線AB的方程為l：y(m0)，代入橢圓：顯然m且m0由上又有：m，|AB|點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離表示為：SABPd|AB|m2|，當(dāng)|m2|，即m3 或m0(舍去)時(shí)，(SABP)max此時(shí)直線l的方程y例4（2012高考新課標(biāo)）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ） 【答案】C；【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為，拋物線的準(zhǔn)線為，由,則,把坐標(biāo)代入雙曲線方程得，所以雙曲線方程為，即，所以，所以實(shí)軸長(zhǎng)，選C.3換元法典例解析例5（1）（2012年高考重慶）設(shè)函數(shù)集合 則為（）AB(0,1)C(-1,1)D【答案】：D；【解析】由得則或即或 所以或;由得即所以故 【考點(diǎn)定位】本題考查了利用整體代換，直接代入法求解函數(shù)的解析式以及指數(shù)不等式的解法.本題以函數(shù)為載體,考查復(fù)合函數(shù),關(guān)鍵是函數(shù)解析式的確定. （2）設(shè)a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。解析：設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx，f(x)g(t)(t2a)（a0），t-,，t-時(shí)，取最小值：2a2a，當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a；當(dāng)01），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，aaaa，則數(shù)列通項(xiàng)a_。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) log(22)2的解集是_。7設(shè)2351，則2x、3y、5z從小到大排列是_。8若k0時(shí)，f(x)0的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 15(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 20716函數(shù)yabcos3x (b0)的最大值為，最小值為，則y4asin3bx的最小正周期是_。17與直線L：2x3y50平行且過點(diǎn)A(1,-4)的直線L的方程是_。18與雙曲線x1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是_。【參考答案】1小題：設(shè)sinx+cosxt,，則yt，對(duì)稱軸t1，當(dāng)t，y；2小題：設(shè)x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域?yàn)?,log4；3小題：已知變形為1,設(shè)b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設(shè)xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設(shè)3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設(shè)log(21)y，則y(y1)2，解得2y1，所以x(log,log3)。7小題：設(shè)235t，分別取2、3、5為底的對(duì)數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y2x5z；8已知曲線為橢圓，a1，c，所以e；9小題：設(shè)zb，則C1b2，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于x軸向右的射線；10小題：設(shè)三條側(cè)棱x、y、z，則xy6、yz4、xz3,所以xyz24,體積為4。11小題：f(0)0，f(0)f(x)f(-x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減；12小題：設(shè)x4sin、y2cos，再求d的最大值，選C。13小