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中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略 線段和差最值的存在性問題解題策略 2015年 9月 13日星期日 專題攻略 兩條動線段的和的最小值問題,常見的是典型的“牛喝水”問題,關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”(如圖 1) 三條動線段的和的最小值問題,常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題,關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”(如圖 2) 兩條線段差的最大值問題,一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),兩條線段差的最大值就是第三邊的長如圖 3, B,此時(shí)點(diǎn) 即 P 解決線段和差的最值問題,有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便,本講不涉及函數(shù)最值問題 圖 1 圖 2 圖 3 例題解析 例 如圖 1物線 y 2x 3與 、 ,點(diǎn) 果 點(diǎn) 圖 1解析】如圖 1拋物線的對稱軸當(dāng)作河流,點(diǎn) 對稱,連結(jié) 么在 圖 1點(diǎn) 此 由 y 2x 3,可知 3, 1所以 2,因此 P(1, 2) 圖 1 圖 1 如圖,拋物線21 442y x x 與 , 個動點(diǎn) 經(jīng)過 ,再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點(diǎn) N,然后返回到點(diǎn) A如果動點(diǎn)找出點(diǎn) M、 求最短路程 圖 2解析】如圖 2照“臺 球兩次碰壁”的模型,作點(diǎn) 線的對稱軸對稱的點(diǎn) A,作點(diǎn) ,連結(jié) AB與 ,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn) N 在 中, 8, 6,所以 AB 10,即點(diǎn) 0根據(jù)相似比可以計(jì)算得到 83, 43, 1所以 M(83, 0), N(4, 1) 圖 2 如圖 3物線248 293y x x 與 ,頂點(diǎn)為 B點(diǎn) P是 線段 求出相應(yīng)的點(diǎn) 圖 3解析】題目讀起來像繞口令,其實(shí)就是求 |最小值與最大值 由拋物線的解析式可以得到 A(0, 2), B(3, 6)設(shè) P(x, 0) 絕對值 |最小值當(dāng)然是 0 了,此時(shí) 圖 3解方程 22 (x 3)2 62,得 416x此時(shí) P 41( ,0)6 在 據(jù)兩邊之差小于第三邊,那么 |是小于 如圖 3點(diǎn) |得最大值,最大值 5此時(shí) P 3( ,0)2 圖 3 圖 3 如圖 4菱形 2, A 120,點(diǎn) P、 Q、 C、 意一點(diǎn),求 圖 4解析】如 圖 4 ,在 , 于 如圖 4點(diǎn) Q上時(shí), Q如圖 4最小值為 QH, QQH 3 這道題目應(yīng)用了兩個典型的最值結(jié)論:兩點(diǎn)之間,線段最短;垂線段最短 圖 4 圖 4 圖 4 如圖 5形 A 60, 3, A、 和 1,P、 E、 D、 圖 5解析】 E、 F、 么辦? 1, 2是確定的,那么我們可以求 3的最小值,先求 最 小值(如圖 5 如圖 5最小值為 6所以 圖 5 圖 5 如圖 6已知 A(0, 2)、 B(6, 4)、 E(a, 0)、 F(a 1, 0),求 時(shí),四邊形 說明理由 圖 6解析】在 四邊形 把這兩條線段經(jīng)過平移,使得兩條線段有公共端點(diǎn) 如圖 6線段 到線段 如圖 6點(diǎn) , ,滿足 由 A B 解方程 6 ( 2)24,得 43a 圖 6 圖 6 如圖 7 , 90, 2, 1點(diǎn) A、 點(diǎn) A在 在整個運(yùn)動過程中,求點(diǎn) 圖 7解析】如果把 個三角形的另外兩條邊的大小是確定的,那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊,可知第三邊 顯然 為 如圖 7果選 ,那么 1, 2 在 是有 如圖 7點(diǎn) 大值為 21 圖 7 圖 7例 如圖 8已知 A( 2,0)、 B(4, 0)、 ( 5,3 3)D 設(shè) 含端點(diǎn)),連結(jié) 動點(diǎn) 出發(fā),沿線段 個單位 的速度 運(yùn)動到 F,再沿線段 個單位的速度運(yùn)動到 點(diǎn) 用時(shí)最少? 圖 8解析】點(diǎn) B(4, 0)、 ( 5,3 3)D 的坐標(biāo)隱含了 30,不由得讓我們聯(lián)想到 30角所對的直角邊等于斜邊的一半 如果把動點(diǎn) 題就轉(zhuǎn)化了 如圖 8 2果點(diǎn) 段 個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn) 么點(diǎn) 個單位的速度正好運(yùn)動到點(diǎn) E因此當(dāng) 如圖 8 時(shí) F( 2,2 3) 圖 8 圖 8 如圖 9在 C 90, 6, 8點(diǎn) 結(jié) 點(diǎn) ,求 圖 9解析】如圖 9 ,那么 以 如圖 9 m,此時(shí) 53m 由 5 103解得 154m此時(shí) 1522m 圖 9 圖 9 如圖 10知點(diǎn) 14的一個點(diǎn),點(diǎn) D、 0, 1)、(1, 2),連結(jié) 圖 10解析】點(diǎn) 有辦法套用“牛喝水”的模型 設(shè) P 21( , )4么 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44x x x 所以 21 14x 如圖 1021 14x 的幾何意義可以理解為拋物線上的動點(diǎn) y 1的距離以 此 H 如圖
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