全等三角形輔助線的作法

全等三角形輔助線的作法知識(shí)精講一中點(diǎn)類輔助線作法見(jiàn)到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線或者是與中點(diǎn)有關(guān)的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線的應(yīng)用更是較為常見(jiàn)，常見(jiàn)添加方法如下圖（ 是底邊的中線)二角平分線類輔助線作法 有下列三種作輔助線的方式：1由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線；2過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；3，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍 三截長(zhǎng)補(bǔ)短類輔助線作法截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段的關(guān)系有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解三點(diǎn)剖析一考點(diǎn)：全等三角形輔助線的作法二重難點(diǎn)：中點(diǎn)類、角平分線類、截長(zhǎng)補(bǔ)短類輔助線作法三易錯(cuò)點(diǎn)：1輔助線只是一個(gè)指導(dǎo)方法，出現(xiàn)相關(guān)條件或結(jié)論時(shí)不一定要作輔助線或者是按照模型作輔助線，關(guān)鍵是如何分析題目；2輔助線不是隨便都可以作的，比如“作一條線段等于另外一條線段且與某條線段夾角是多少度”這種輔助線就不一定能作出來(lái)題模精講題模一：中點(diǎn)類例1.1.1 已知：ABC中，AD是BC邊上的中線，試求AD的取值范圍【答案】 【解析】 該題考查了三角形三邊關(guān)系和三角形的全等ABCDE延長(zhǎng)AD至E，使得，連結(jié)CE在ABD和ECD中1.ABDECD（SAS）AE的取值范圍為例1.1.2 如圖所示，在中，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接、，求證：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 解法一：如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接BF容易證明，從而，而，故注意到，故，而公用，故，因此解法二：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，故是的中位線，從而，由可得，故，從而，題模二：角平分線類例1.2.1 如圖，平分，平分，點(diǎn)在上探討線段、和之間的等量關(guān)系探討線段與之間的位置關(guān)系【答案】 見(jiàn)解析【解析】 ；證明如下：在線段上取點(diǎn)，使，連結(jié)在和中，而在和中，例1.2.2 如圖，已知，BD為ABC的平分線，CEBE，求證：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FBD為ABC的平分線，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，例1.2.3 已知，AC平分MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上（1）如圖1，若，請(qǐng)你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 見(jiàn)解析【解析】 （1）關(guān)系是：證明：AC平分MAN，又，則（直角三角形一銳角為30，則它所對(duì)直角邊為斜邊一半）；（2）仍成立證明：過(guò)點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、FAC平分MAN（角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，題模三：截長(zhǎng)補(bǔ)短類例1.3.1 如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng)【答案】 見(jiàn)解析【解析】 如圖所示，延長(zhǎng)到使在與中，因?yàn)?，所以，故因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以在與中，所以，則，所以的周長(zhǎng)為例1.3.2 閱讀下列材料：如圖1，在四邊形ABCD中，已知ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求證：CD=AB.小剛是這樣思考的：由已知可得，CAB=30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180，由求證及特殊角度數(shù)可聯(lián)想到構(gòu)造特殊三角形.即過(guò)點(diǎn)A作AEAB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AB=AE，E=D.在ADC與CEA中，ADCCEA，得CD=AE=AB.請(qǐng)你參考小剛同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下面問(wèn)題：如圖2，在四邊形ABCD中，若ACB+CAD=180，B=D，請(qǐng)問(wèn)：CD與AB是否相等？若相等，請(qǐng)你給出證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】 見(jiàn)解析【解析】 該題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)CD與AB相等證明如下：作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在DAC和ECA中DACECA .隨堂練習(xí)隨練1.1 如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，利用證明，又，平分，隨練1.2 已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【答案】 見(jiàn)解析【解析】 ，理由是：在上截取，連結(jié)，利用證得，利用證得，隨練1.3 如圖，在ABC中，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是BAC、ABC的角平分線求證：（1）；（2）【答案】 見(jiàn)解析【解析】 該題考察的是全等三角形（1）BQ是的角平分線，且，；（2）延長(zhǎng)AB至M，使得，連結(jié)MP，ABC中，BQ平分，AP平分，在AMP和ACP中，AMPACP，隨練1.4 五邊形ABCDE中，求證：AD平分CDE【答案】 見(jiàn)解析【解析】 延長(zhǎng)DE至F，使得，連接AC.，ABCAEF，ADCADF，即AD平分CDE隨練1.5 如圖，ABC中，AD是BC邊上的高，如果，我們就稱ABC為“高和三角形”請(qǐng)你依據(jù)這一定義回答問(wèn)題：（1）若，則ABC_ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果ABC是“高和三角形”，則與之間的關(guān)系是_，并證明你的結(jié)論【答案】 （1）是（2）；見(jiàn)解析【解析】 該題考察的是全等三角形（1）如圖，RtABC中，在BC上截取，則ABE為等邊三角形，且ABE為等邊三角形是高和三角形E（2）如上圖，在ABC中，在DC上截取AD是BC邊上的高且ABDAED（SAS）隨練1.6 如圖所示，是的中點(diǎn)，求證【答案】 見(jiàn)解析【解析】 如圖所示，設(shè)交于，要證明，實(shí)際上就是證明，而條件不好運(yùn)用，我們可以倍長(zhǎng)中線到，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)容易證明則，從而，而，故從而，故而故，亦即隨練1.7 已知：如圖，在ABC中，BEAE求證：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 延長(zhǎng)BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，自我總結(jié) 課后作業(yè)作業(yè)1 已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且求證：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 延長(zhǎng)DE到F，使，連接BF，E是BC的中點(diǎn)，在BEF和CED中BEFCED，又，作業(yè)2 如圖，在中，D為BC邊上的中點(diǎn)，AE平分交BC于E，交AC于F，求CF的長(zhǎng)【答案】 【解析】 解：延長(zhǎng)DF交BA延長(zhǎng)線與點(diǎn)G，延長(zhǎng)FD到H使得，連接BH平分，又，易得，則，設(shè)，則，解得，作業(yè)3 如圖，在ABC中，AD平分BAC，求證：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 在AB上截取點(diǎn)E，使得AD平分BAC，ADEADC（SAS），作業(yè)4 已知：，OM是AOB的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D（1）PC和PD的數(shù)量關(guān)系是_（2）請(qǐng)你證明（1）得出的結(jié)論【答案】 見(jiàn)解析【解析】 （1）（2）過(guò)P分別作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分線，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，作業(yè)5 已知：如圖，ABC中，BD平分ABC，BC上有動(dòng)點(diǎn)P（1）DPBC時(shí)（如圖1），求證：；（2）DP平分BDC時(shí)（如圖2），BD、CD、CP三者有何數(shù)量關(guān)系？【答案】 （1）見(jiàn)解析（2）【解析】 （1）證明：在BP上截取，連接DM，DPBC，BD平分ABC，（2）解：，理由是：在BD上截取，連接PM，DP平分BDC，在MDP和CDP中MDPCDP（SAS），作業(yè)6 已知等腰，的平分線交于，則【答案】 見(jiàn)解析【解析】 如圖，在上截取，連接，過(guò)作，交于，于是，又，故顯然是等腰梯形，又，作業(yè)7 如圖，在ABC中，D是三角形外一點(diǎn)，且，求證：【答案】 見(jiàn)解析【解析】 延長(zhǎng)BD至E，使，連接AE，AD，ABE是等邊三角形，在ACD和ADE中，ACDADE（SSS），作業(yè)8 如圖1，在ABC中，BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作直線lAO于H，分別交直線AB、AC、BC于點(diǎn)N、E、M（1）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)（如圖2），證明：；（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫(xiě)出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系【答案】 （1）見(jiàn)解析（2）（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，【解析】 該題考查的是等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)（1）證明：連接N