2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（天津卷含解析）

絕密啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理天津卷本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第卷1至2頁，第卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 如果事件 A，B 相互獨(dú)立，那么P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B)棱柱的體積公式V=Sh. 球的體積公式. 其中S表示棱柱的底面面積， 其中表示球的半徑h表示棱柱的高一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）設(shè)集合，則（A） （B）（C）（D）【答案】 【解析】 ,選B.（2）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A） （B）1（C） （D）3【答案】 【解析】目標(biāo)函數(shù)為四邊形ABCD及其內(nèi)部，其中，所以直線過點B時取最大值3，選D. （3）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為（A）0 （B）1（C）2（D）3【答案】 【解析】依次為 ,，輸出 ，選C.（4）設(shè)，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】 （5）已知雙曲線的左焦點為，離心率為.若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（A） （B）（C）（D）【答案】【解析】由題意得 ，選B.（6）已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）【答案】 （7）設(shè)函數(shù)，其中，.若，且的最小正周期大于，則（A），（B），（C），（D），【答案】 【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，由得，故選A（8）已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】所以，綜上故選A 第卷注意事項：1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2本卷共12小題，共110分。二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9）已知，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為 .【答案】 【解析】為實數(shù)，則.（10）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 .【答案】 【解析】設(shè)正方體邊長為 ，則 ，外接球直徑為 （11）在極坐標(biāo)系中，直線與圓的公共點的個數(shù)為_.【答案】2【解析】直線為 ，圓為 ，因為 ，所以有兩個交點（12）若，則的最小值為_.【答案】 【解析】 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號（13）在中，.若，且，則的值為_.【答案】 （14）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個.（用數(shù)字作答）【答案】 【解析】 三. 解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（）求和的值；（）求的值.【答案】 (1) .(2) 16.（本小題滿分13分）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.【答案】 (1) (2) 【解析】（）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（）設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.（17）（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2.（）求證：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.【答案】 （1）證明見解析（2） （3） 或 （）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.所以，線段AH的長為或.18.（本小題滿分13分）已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（）求和的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和.【答案】 （1）.（2）.【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由，有，故，上述兩式相減，得 得.所以，數(shù)列的前項和為.（19）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，解得，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.所以，直線的方程為，或.（20）（本小題滿分14分）設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，為的導(dǎo)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，函數(shù)，求證：；（）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足.【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）（3）證明見解析【解析】（）由，可得，進(jìn)而可