債券組合信用VaR度量分析

第18章債券組合信用VaR度量,計算單只債券的信用風(fēng)險,信用評級轉(zhuǎn)移概率債券信用風(fēng)險指由于信用質(zhì)量改變而引起的價值變動的風(fēng)險。每個債券信用質(zhì)量用8種評級之一來表示(AAAAAABBBBBBCCCDefault)。不僅違約會導(dǎo)致風(fēng)險，而且升降級引起的價值變化也會導(dǎo)致風(fēng)險。所以需要估計風(fēng)險期內(nèi)信用評級轉(zhuǎn)移到其他任何可能信用狀態(tài)的概率。債券發(fā)行者的信用級別決定了債券在風(fēng)險期內(nèi)違約或者轉(zhuǎn)移到任何可能信用評級的概率。,A級,AAA級和BBB級債券一年后的信用評級轉(zhuǎn)移概率,圖18.1信用等級轉(zhuǎn)移實例（1年風(fēng)險期）,通過觀測大量公司的信用評級歷史數(shù)據(jù)來得到轉(zhuǎn)移概率。這隱含兩個假設(shè)：(1)假設(shè)所有公司的信用評級是正確的；(2)假設(shè)具有相同信用級別的所有公司將來表現(xiàn)行為一致轉(zhuǎn)移到其他信用級別的概率均相同。下頁表中用矩陣表示所有級別債券的轉(zhuǎn)移概率。,表18.1年期轉(zhuǎn)移概率矩陣,表18.1最左邊一列是債券當(dāng)前的信用評級，沿著那行的各列是風(fēng)險期末的評級。例如，左下角的數(shù)字0.22說明了一個信用評級為CCC的債券在1年末轉(zhuǎn)移到AAA信用級別的概率是0.22。,債券定價,確定了單只債券在風(fēng)險期末轉(zhuǎn)移到任何可能信用狀態(tài)的概率后，就可以確定風(fēng)險期末相應(yīng)信用狀態(tài)上債券的價值。每個轉(zhuǎn)移狀態(tài)計算一次價值，因而每只債券有8個新定價。這8個定價可分為兩類。第一類，在違約情況下，需要基于債券的優(yōu)先級估計恢復(fù)率。第二類，在升降級的情況下，需要估計由于信用評級變化導(dǎo)致的信用價差的變化，即通過計算債券在新的收益率下，剩余現(xiàn)金流的現(xiàn)值來估計它的新價值。,違約狀態(tài)下的定價,如果債券信用評級轉(zhuǎn)移到違約，則恢復(fù)后殘留凈值將依賴于債券的優(yōu)先級。表2提供了違約狀態(tài)下的恢復(fù)率和恢復(fù)率的標(biāo)準(zhǔn)差。表18.2恢復(fù)率（面值）,表18.2給出了恢復(fù)率均值（中間列）和恢復(fù)率的標(biāo)準(zhǔn)差（最后一列）。例如，有一個BBB級的債券是優(yōu)先無擔(dān)保的（面值100美元），則它違約時的均值為面值的51.13，恢復(fù)率的標(biāo)準(zhǔn)差是25.45。如果該債券發(fā)生違約，則它的價值為：V=100*51.13=51.13美元。,升降級狀態(tài)下的定價,(1)得到每一個評級類別的一年期遠期利率曲線。遠期利率從風(fēng)險期末開始到債券到期。(2)利用這些遠期利率數(shù)據(jù)，對各個級別債券的剩余現(xiàn)金流進行定價。假設(shè)有一個BBB級債券，面值為100美元，5年到期，息票率為6%。假定各個級別債券1年后的遠期利率由表3給出。表31年后的遠期利率曲線（）,假定1年末該BBB級債券升級到A，價值用下面的公式來表示：上式計算了1年末該BBB級債券升級到A級時的價值。對轉(zhuǎn)移到所有級別債券完成相似計算，可得表4。表4BBB級債券轉(zhuǎn)移到相應(yīng)級別的年末價值,估計信用風(fēng)險,根據(jù)前面的數(shù)據(jù)和計算公式，得到BBB債券的年末價值和信用評級轉(zhuǎn)移概率如表18.5所示。表5BBB級債券的年末價值和信用評級轉(zhuǎn)移概率,標(biāo)準(zhǔn)差作為信用風(fēng)險的度量指標(biāo),設(shè)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，為相應(yīng)狀態(tài)下的價值（表5的第2，3列）。計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差：,由信用級別變化而引起的價值變化的標(biāo)準(zhǔn)差為$2.99，此值為一種信用風(fēng)險值，如果進一步假設(shè)價值服從正態(tài)分布，可得置信水平為99%的信用風(fēng)險值為$6.96（=2.99*2.33,其中，SAS函數(shù)probit(.0.01)=-2.33，99%置信水平對應(yīng)的分位數(shù)為1%）。,均值與百分位數(shù)的差作為信用風(fēng)險的度量指標(biāo),表18.5顯示了BBB級債券在風(fēng)險期末任何給定信用級別的概率和價值。假設(shè)要計算BBB級債券年末價值的1%分位數(shù)，計算過程如下。從表18.5的底部違約狀態(tài)開始，然后逐漸升級到AAA級狀態(tài)。向上移動的同時，計算概率和。當(dāng)這個概率和第一次達到或超過1%時，所對應(yīng)的值就是該債券年末價值的1%分位數(shù)。具體過程：違約狀態(tài)時概率是0.18，該值小于1%，向上移動到CCC狀態(tài)；違約和CCC的概率和是0.30（0.18+0.12），仍然小于1%，繼續(xù)向上移動；違約，CCC，B三者概率和等于1.47（0.30+1.17），該值超過了1%，因而，停止移動。這時，相應(yīng)的年末價值等于98.10美元，這就是債券年末價值的1%分位數(shù)，它與均值的差為8.97美元（$107.07-$98.10=$8.97）。BBB級債券的信用風(fēng)險為：$107.07-$98.10=$8.97.,計算債券組合的信用風(fēng)險,聯(lián)合概率這里只考慮包括兩個特定債券的組合。兩個債券在可能的轉(zhuǎn)移期限內(nèi)，有88=64個可能的狀態(tài)。獲得聯(lián)合概率的最簡單方法是假設(shè)兩個債券信用級別變化是獨立的，這時，聯(lián)合概率是單個概率的乘積。如下表18.6中所示，兩個債券（BBB級和A級）保持他們原先的級別的聯(lián)合概率就是79.15。等于86.93（BBB級期末仍舊保持在BBB級的概率）與91.05（A級債券期末仍保持在A級的概率）的乘積：79.1586.9391.05。,表18.6兩獨立債券（BBB級和A級）的聯(lián)合轉(zhuǎn)移概率（）,資產(chǎn)收益率模型,假設(shè)兩個債券信用級別的變化相互獨立是不現(xiàn)實的，因為他們信用評級的變化至少受同樣的宏觀經(jīng)濟變量的影響。因此其信用評級或違約率的變化將具有某種程度的相關(guān)性但由于是實際違約資料的稀缺性，導(dǎo)致很難觀察或估計信用等級的聯(lián)合轉(zhuǎn)移狀況。下面給出了一種解決方案，即引入公司資產(chǎn)收益率模型，該模型將公司資產(chǎn)收益率與信用級別聯(lián)系起來。令Z表示資產(chǎn)收益率。將債券的信用等級變動與發(fā)行公司的權(quán)益價值變動相聯(lián)結(jié)，將信用評級的變化轉(zhuǎn)換為由一些相對應(yīng)的資產(chǎn)收益率門檻值來表示。,圖18.2未來一年可能的資產(chǎn)收益率門檻值與相應(yīng)的信用評級變化（以BB級債券為例）,圖18.2中橫軸的不同Z值表示BB級債券的資產(chǎn)收益率門檻值，例如，表示債務(wù)人發(fā)生違約；表示發(fā)債公司的等級被降為CCC級。,這樣，知道公司的資產(chǎn)收益率門檻值，就可以得出信用評級的變化。所以，這里只需要對公司的資產(chǎn)收益率門檻值變化建模就可以了。假設(shè)公司資產(chǎn)收益率的變化是正態(tài)分布，均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為。下面以BB級債券為例，說明由債券評級轉(zhuǎn)移概率計算資產(chǎn)收益率門檻值的方法。,表18.7中第一列為BB級債券未來一年的轉(zhuǎn)移概率。由于假設(shè)資產(chǎn)收益率Z服從正態(tài)分布，則通過下面評級轉(zhuǎn)移概率與資產(chǎn)收益率門檻值之間的關(guān)系，,依次可求得各等級的收益率門檻值，如表18.7中第4列。上式中代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。,表18.7BB級債券評級轉(zhuǎn)移概率與收益率門檻值,這里沒有給出的值，因為任何高于的收益率意味著升級到AAA。,現(xiàn)在考慮另一個A級債券。同樣假設(shè)A級債券資產(chǎn)收益率的變化是正態(tài)分布，均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為。由表示其對應(yīng)的資產(chǎn)收益率，它的資產(chǎn)收益率門檻值由等表示。A級債券的轉(zhuǎn)移概率和資產(chǎn)收益率門檻值如表18.8所示。,表18.8A級債券轉(zhuǎn)移概率和資產(chǎn)收益率門檻值,為了描述兩個債券信用評級的聯(lián)合變化，假設(shè)這兩個資產(chǎn)收益率服從相關(guān)系數(shù)為的二元正態(tài)分布。這樣，就可以利用資產(chǎn)收益率門檻值來計算兩個債券的信用評級聯(lián)合轉(zhuǎn)移概率。例如，希望計算兩個債券均保持當(dāng)前信用評級不變的概率。即BB級對應(yīng)的資產(chǎn)收益率在到之間，A級對應(yīng)的資產(chǎn)收益率在到之間。如果兩個資產(chǎn)收益率是獨立的（），則這個聯(lián)合概率是80.53（BB保持在BB的概率）與91.05（A保持在A的概率）的乘積。如果不等于0，則聯(lián)合概率為：,其中，是相關(guān)系數(shù)為的二元正態(tài)分布的密度函數(shù)。即，,此處可以令（資產(chǎn)收益率門檻值標(biāo)準(zhǔn)化）。,表18.9BB級和A級債券的聯(lián)合評級轉(zhuǎn)移概（）,相同的方法可以計算兩個債券的64個聯(lián)合評級轉(zhuǎn)移概率，假設(shè)，利用SAS編程求得概率如表18.9所示。,組合信用風(fēng)險,用標(biāo)準(zhǔn)差作為信用風(fēng)險測量指標(biāo)時的相關(guān)公式：,兩項資產(chǎn)：,更一般的，當(dāng)組合資產(chǎn)為n項（），各項均值為，方差為。令，則組合的方差為：,三項資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差：,實際應(yīng)用時，使用下面的向量形式方便計算。,計算兩債券組合信用風(fēng)險值的sas程序：以18.2.2中的兩只債券組合為例，一只為BB級債券，另一只為A級債券。prociml;recovery=53.80,51.13,38.52,32.74,17.09;/*創(chuàng)建恢復(fù)率矩陣*/recovery=recovery/100;forward=3.604.174.735.12,3.654.224.785.17,3.724.324.935.32,4.104.675.255.63,5.556.026.787.27,6.057.028.038.52,15.0515.0214.0313.52;/*一年期遠期利率矩陣*/forward=forward/100;par=100;coupon=0.06;tran=90.818.330.680.060.12000,0.7090.657.790.640.060.140.020,0.092.2791.055.520.740.260.010.06,0.020.335.9586.935.301.170.120.18,0.030.140.677.7380.538.841.001.06,00.110.240.436.4883.464.075.20,0.2200.221.302.3811.2464.8619.79;/*一年期等級轉(zhuǎn)移概率矩陣*/tran=tran/100;rating=53;/*對應(yīng)等級BB,A*/prob=t(tranrating,);v=80;,doi=1to7;vi=coupon*par*(1+1/(1+forwardi,1)+1/(1+forwardi,2)#2+1/(1+forwardi,3)#3+1/(1+forwardi,4)#4)+par/(1+forwardi,4)#4;end;/*一年后的價值*/v8=par*recovery2;z=J(9,2,0);/*創(chuàng)建9行2列元素全為0矩陣*/z9,=-40;z1,=8;z8,=probit(prob8,);doi=7to2by-1;zi,=probit(probi,+probnorm(zi+1,);end;btran=J(8,8,0);value=J(8,8,0);doi=1to8;doj=1to8;btrani,j=probbnrm(zi,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi+1,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi,1,zj+1,2,0.2)+probbnrm(zi+1,1,zj+1,2,0.2);valuei,j=vi+vj;end;end;mean=sum(btran#value);var=sum(btran#value#value)-mean#2;std=sqrt(var);printprob,z,btran,value,mean,std;run;,MEANSTD209.901166.1698569,要計算第二種信用風(fēng)險測度指標(biāo)，即計算均值與組合價值1%分位數(shù)的差，首先要確定資產(chǎn)價值的1%分位數(shù)，即找出組合中的一個值，這個值以下的所有概率和小于1%。在組合中的資產(chǎn)不超過2個的條件下，可以簡單地利用轉(zhuǎn)移概率表中的值計算出1%水平下的信用風(fēng)險值。但是對于更大的組合，用解析的方法來計算百分位數(shù)是行不通的必須采用模擬的方法。,蒙特卡羅模擬,前面使用的是解析方法估計信用風(fēng)險值。這種方法有兩個有優(yōu)點：一是速度快，二是精確程度高。但也存在著兩個缺點：一是對于數(shù)量很大的組合，速度就會變得很慢；二很多有用的統(tǒng)計量也沒有解析的估計形式。為了更好地描述組合的分布，下面使用蒙特卡羅模擬方法?？紤]一個包括三個債券的組合：BBB級債券；A級債券；CCC級債券，相對應(yīng)的公司分別是firm1，firm2，firm3。簡單起見，假設(shè)這三只債券的面值均為100美元，5年到期，息票率為6%。,生成情景,基于資產(chǎn)收益率模型，生成情景的步驟如下：建立組合中每個債券的資產(chǎn)收益率門檻值；由正態(tài)分布模擬資產(chǎn)收益率情景；由資產(chǎn)收益率情景影射出信用評級情景。,確定資產(chǎn)收益率門檻值,表18.10三個債券（BBB,A和CCC）的信用評級轉(zhuǎn)移概率,根據(jù)資產(chǎn)收益率模型，利用表18.10中的轉(zhuǎn)移概率可以確定出3個公司的資產(chǎn)收益率門檻值，如表18.11所示。,表18.11三公司資產(chǎn)收益率門檻值,模擬資產(chǎn)收益率情景,表18.12三公司資產(chǎn)收益率的相關(guān)系數(shù),表18.13模擬資產(chǎn)收益率的10個情景,每個情景中的3個數(shù)代表了3個公司的標(biāo)準(zhǔn)化后的資產(chǎn)收益率.,Prociml;corr=1.00.30.1,0.31.00.2,0.10.21.0;/*相關(guān)系數(shù)矩陣*/rv0=rannor(repeat(0,100,3);/*種子為0，產(chǎn)生10個隨機數(shù)，3個變量*/rv0=t(rv0);rv=root(corr)*rv0;rv=t(rv);Printrv;createscenariofromrv;appendfromrv;closescenario;run;quit;,由資產(chǎn)收益率情景映射到信用評級情景,表18.14由資產(chǎn)收益率情景到評級情景的映射,資產(chǎn)收益率情景到評級情景的映射的SAS程序：prociml;usescenario;readallintorv;usez;readallintoz;ratingmap=J(100,3,0);dom=1toncol(rv);doi=1tonrow(rv);doj=8to1by-1;ifrvi,mz1,mthenratingmapi,m=1;ifrvi,mzj,mthendo;ratingmapi,m=j;j=0;end;end;end;end;printz,rv,ratingmap;createratingmapfromratingmap;appendfromratingmap;closeratingmap;run;quit;,由資產(chǎn)收益率情景到評級情景的映射(RATINGMAP)43643843743743733753743743736,組合定價,對于前面給出的債券組合，利用蒙特卡羅模擬方法計算一年后這個組合的信用風(fēng)險值。組合情況：三個債券構(gòu)成的組合，BBB級債券；A級債券；CCC級債券，相對應(yīng)的公司分別是firm1，firm2，firm3。假設(shè)這三只債券的面值均為為100美元，5年到期，息票率為6%。,對于非違約情景，可以采用解析法中的算法。對于每一個情景，新的評級影射到一個新的價值。一種情景下的組合價值計算：例如若1年末組合中BBB級債券升級到A，A級債券降級到BBB，CCC級債券的級別未發(fā)生變化，則1年末的債券價值分別是：,組合價值為：,對于違約的情景，情況有點不同。因為恢復(fù)率是一個不確定的量，有較大的波動性?？梢愿鶕?jù)情景中資產(chǎn)頭寸的優(yōu)先級獲得他們恢復(fù)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。對每一個違約情景，用這些參數(shù)和beta分布產(chǎn)生隨