中考數(shù)學(xué)專練總復(fù)習(xí) 三角形的內(nèi)角和（提高）知識(shí)講解

三角形的內(nèi)角和（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；2掌握三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)；3能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，證明問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和為180要點(diǎn)詮釋應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問(wèn)題在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系要點(diǎn)二、三角形的外角1定義三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角如圖，ACD是ABC的一個(gè)外角要點(diǎn)詮釋1外角的特征頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；一條邊是三角形的一邊；另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說(shuō)三角形有三個(gè)外角2性質(zhì)（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角要點(diǎn)詮釋三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)3三角形的外角和三角形的外角和等于360要點(diǎn)詮釋因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180，可推出三角形的三個(gè)外角和是360【典型例題】類型一、三角形的內(nèi)角和1在ABC中，若A12B3C，試判斷該三角形的形狀【思路點(diǎn)撥】由A12B3C，以及ABC180，可求出A、B和C的度數(shù)，從而判斷三角形的形狀【答案與解析】解設(shè)AX，則B2X，C3X由于ABC180，即有X2X3X180解得X30故A30B60，C90故ABC是直角三角形【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，解法較為巧妙舉一反三【變式1】三角形中至少有一個(gè)角不小于_度【答案】60【高清課堂與三角形有關(guān)的角練習(xí)（3）】【變式2】如圖，ACBC,CDAB,圖中有對(duì)互余的角有對(duì)相等的銳角【答案】3,22在ABC中，ABCC，BD是AC邊上的高，ABD30，則C的度數(shù)是多少【思路點(diǎn)撥】按ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論【答案與解析】解分兩種情況討論（1）當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在ABD中，BD是AC邊上的高已知，ADB90垂直定義又ABD30已知，A180ADBABD180903060又AABCC180三角形內(nèi)角和定理，ABCC120，又ABCC，C602當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖所示在直角ABD中，ABD30已知，所以BAD60BAC120又BACABCC180三角形內(nèi)角和定理，ABCC60C30綜上，C的度數(shù)為60或30【總結(jié)升華】在解決無(wú)圖的幾何題的過(guò)程中，只有正確作出圖形才能解決問(wèn)題這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問(wèn)題也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)類型二、三角形的外角【高清課堂與三角形有關(guān)的角例4、】3如圖，在ABC中，AEBC于E，AD為BAC的平分線，B50，C70，求DAE【答案與解析】解A180BC180507060又AD為BAC的平分線所以BAD12BAC30ADEBBAD503080又AEBC于E所以DAE90ADE908010舉一反三【變式】如圖，在ABC中，ABAC，AEBC于E，AD為BAC的平分線，則DAE與CB的數(shù)量關(guān)系【答案】2CBDAE4如圖所示，已知CE是ABC外角ACD的平分線，CE交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E求證BACB【答案與解析】證明在ACE中，BAC1（三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角）同理在BCE中，2B，因?yàn)?2，所以BACB【總結(jié)升華】涉及角的不等關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到三角形外角性質(zhì)“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”舉一反三【變式】如圖所示，用“”把1、2、A聯(lián)系起來(lái)_【答案】A21類型三、三角形的內(nèi)角外角綜合5如圖所示，試求ABCDE的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】本題中A、B、C、D、E不能單個(gè)地求出因此，需進(jìn)行整體求值【答案與解析】解連BC，由三角形的內(nèi)角和為180不難得到ED12AABDACE12180，AABDACEDE180【總結(jié)升華】解多個(gè)角的度數(shù)和問(wèn)題可以結(jié)合三角形的內(nèi)角和與三角形的外角，將所求角轉(zhuǎn)化到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，從而求得多個(gè)角的和舉一反三【變式1】如圖所示，五角星ABCDE中，試說(shuō)明ABCDE180【答案】解因?yàn)锳GF是GCE的外角，所以AGFCE同理