2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案.doc

1、精品文檔 2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案6.2不等式的證明（一） 知識(shí)梳理 1.均值定理：a+b2； ab（）2（a、bR+）， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 2.比較法：ab0ab，ab0ab. 3.作商法：a0，b0，1ab. 特別提示 1.比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號(hào)，作差變形的方向常常是因式分解后，把差寫(xiě)成積的形式或配成完全平方式. 2.比商法要注意使用條件，若1不能推出ab.這里要注意a、b兩數(shù)的符號(hào). 點(diǎn)擊雙基 1.若a、b是正數(shù)，則、這四個(gè)數(shù)的大小順序是 A.B. c.D. 解析：可設(shè)a=1，b=2，則=，=， =，=. 答案：

2、c 2.設(shè)0x1，則a=x，b=1+x，c=中最大的一個(gè)是 A.aB.bc.cD.不能確定 解析：0x1，1+x2=.只需比較1+x與的大小. 1+x=0，1+x. 答案：c 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常數(shù)，則“a0且b24ac0”是“對(duì)任意xR，有ax2+bx+c0”的 A.充分不必要條件B.必要不充分條件 c.充要條件必要條件 解析：當(dāng)a0，b24ac0時(shí)，ax2+bx+c0. 反之，ax2+bx+c0對(duì)xR成立不能推出a0，b24ac0. 反例：a=b=0，c=2.故選A. 答案：A 4.（理）已知|a+b|c（a、b、cR），給出下列不等式： abc；ab+c；ab

3、c；|a|b|c；|a|b|c. 其中一定成立的不等式是_.（把成立的不等式的序號(hào)都填上） 解析：|a+b|c，ca+bc.b+cabc.故成立，不成立. |a+b|c，|a+b|a|b|，|a|b|c.|a|b|c. 故成立，不成立. 答案： （文）若a、bR，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+2.其中一定成立的是_. 解析：a2+32a=（a1）2+20，a2+32a； a2+b22a+2b+2=（a1）2+（b+1）20，a2+b22（ab1）； a5+b5a3b2a2b3=a3（a2b2）+b3（b2a2） =（a2b2）（a3b3）

4、=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）. （ab）20，a2+ab+b20，但a+b符號(hào)不確定，a5+b5a3b2+a2b3不正確； aR時(shí)，a+2不正確. 答案： 5.船在流水中在甲地和乙地間來(lái)回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關(guān)系為_(kāi). 解析：設(shè)甲地至乙地的距離為s，船在靜水中的速度為v2，水流速度為v（v2v0），則船在流水中在甲乙間來(lái)回行駛一次的時(shí)間t=+=， 平均速度v1=. v1v2=v2=0，v1v2. 答案：v1v2 典例剖析 【例1】設(shè)a0，b0，求證：（）（）a+b. 剖析：不等式兩端都是多項(xiàng)式的形式，故可用比差法證明或比商法證明. 證法一：左邊右邊（）

5、 0. 原不等式成立. 證法二：左邊0，右邊0， 1. 原不等式成立. 評(píng)述：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差（或商）、變形、判斷三個(gè)步驟.變形的主要手段是通分、因式分解或配方.在變形過(guò)程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二.下面的例3則是公式法與配方法的綜合應(yīng)用. 【例2】已知a、b、x、yR+且，xy. 求證：. 剖析：觀察待證不等式的特征，用比較法或分析法較適合. 證法一：（作差比較法） =， 又且a、bR+，ba0.又xy0，bxay. 0，即. 證法二：（分析法） x、y、a、bR+，要證， 只需證明x（y+b）y（x+a），即證xbya. 而由0，ba0.又xy0， 知xbya顯然

6、成立.故原不等式成立. 思考討論 該例若用函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)如何構(gòu)造函數(shù)? 解法一：令f（x）=，易證f（x）在（0，+）上為增函數(shù)，從而. 再令g（x）=，易證g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減. ，a、bR+.ab. g（a）g（b），即，命題得證. 解法二：原不等式即為， 為此構(gòu)造函數(shù)f（x）=，x（0，+）. 易證f（x）在（0，+）上為單調(diào)增函數(shù)，而， ，即. 【例3】某食品廠定期購(gòu)買面粉.已知該廠每天需用面粉6t，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元. （1）求該廠多少天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少? （2）若提

7、供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購(gòu)買面粉不少于210t時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠（即原價(jià)的90%），問(wèn)該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：（1）設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購(gòu)買一次面粉，其購(gòu)買量為6xt，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x+6（x1）+62+61=9x（x+1）. 設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y1=9x（x+1）+900+61800 =+9x+108092+10809=10989. 當(dāng)且僅當(dāng)9x=，即x=10時(shí)取等號(hào)， 即該廠應(yīng)每隔10天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少. （2）若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天，購(gòu)買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則

8、 y2=9x（x+1）+900+618000.90=+9x+9729（x35）. 令f（x）=x+（x35）， x2x135，則f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+） = x2x135，x2x10，x1x20，100x1x20. f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2）， 即f（x）=x+，當(dāng)x35時(shí)為增函數(shù). 當(dāng)x=35時(shí)，f（x）有最小值，此時(shí)y210989.該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件. 闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.設(shè)x0，y0，且xy（x+y）=1，則 A.x+y2+2B.x+y2+2 c.x+y（+1）2D.x+y（+1）2 解析：x0，y0，xy（）2. 由xy（x+y）=1得（）2

9、（x+y）1. x+y2+2. 答案：B 2.已知x、yR，=x2+y2+1，N=x+y+xy，則與N的大小關(guān)系是 A.NB.Nc.=ND.不能確定 解析：N=x2+y2+1（x+y+xy） =（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1） =（xy）2+（x1）2+（y1）20. 答案：A 3.設(shè)a0，b0，a2+=1，則a的最大值是_. 解析：a2+=1a2+=. a=a=. 答案： 4.若記號(hào)“”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即ab=，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“”和“+”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c都能成立的一個(gè)等式可以是_. 解析：ab=，ba=， ab+c=ba+c

10、. 答案：ab+c=ba+c. 思考：對(duì)于運(yùn)算“”分配律成立嗎? 即a（b+c）=ab+ac. 答案：不成立 5.當(dāng)n時(shí)，求證：32n3n222n6n2n3 證明：（32n3n2）（22n6n2n3）332n3n2n3（n）3， 又n，n0.（n）30， 即（32n3n2）（22n6n2n3）0. 故32n3n222n6n2n3 6.已知a1，0，求證：loga（a+）loga+（a+2）. 證明：loga（a+）log（a+）（a+2） = = a1，0，lga0，lg（a+2）0，且lgalg（a+2）. lgalg（a+2）（）2 =22=lg2（a+）. 0. loga（a+）log（

11、a+）（a+2）. 培養(yǎng)能力 7.已知x0，y0，若不等式+恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值. 分析：+恒成立，恒成立. 的最小值就是的最大值. 解：+恒成立，恒成立. x0，y0，=. =. 的最小值為. 評(píng)述：分離參數(shù)法是求參數(shù)的范圍問(wèn)題常用的方法，化歸是解這類問(wèn)題常用的手段. 8.有點(diǎn)難度喲！ 求證：在非RtABc中，若ab，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+hab+hb. 證明：設(shè)S表示ABc的面積，則S=aha=bhb=absinc. ha=bsinc，hb=asinc. （a+ha）（b+hb）=a+bsincbasinc =（ab）（1sinc）. c，1sinc0. （ab）（

12、1sinc）0. a+hab+hb. 探究創(chuàng)新 9.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的兩根x1、x2滿足1x1x2. （1）當(dāng)x（0，x1）時(shí)，證明xf（x）x1； （2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，求證x0. 證明：（1）令F（x）=f（x）x， x1、x2是方程f（x）x=0的根，F(xiàn)（x）=a（xx1）（xx2）. 當(dāng)x（0，x1）時(shí)，由于x1x2，（xx1）（xx2）0. 又a0，得F（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）. 又x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2）， 0xx1x2，

13、x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20， x1f（x）0，即f（x）x1. 綜上，可知xf（x）x1. （2）由題意知x0=. x1、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=0的根， x1+x2=.x0=. 又ax21，x0=. 思悟小結(jié) 1.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商.用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法.它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì). 2.步驟是：作差（商）變形判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關(guān)系，為了便于判斷，往往把形式變?yōu)榉e或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關(guān)系. 3.有時(shí)要先對(duì)

14、不等式作等價(jià)變形再進(jìn)行證明，有時(shí)幾種證明方法綜合使用. 4.在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”.若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來(lái)證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握. 2.對(duì)于公式a+b2，ab（）2要講清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系. 拓展題例 【例1】設(shè)a、bR，關(guān)于x的方程x2axb0的實(shí)根為、.若ab1，求證：1，1. 證法一：a，b， ab1. 1，（1）（1）0. 1.同理，1. 證法二：設(shè)f（x）=x2axb，則有 f（1）1ab1（ab）110， f（1）1ab1（ab）0. 0a1，1a1. . 方程f（x）0的兩實(shí)根在（1，1）內(nèi)，即1，1. 評(píng)述：證法一先利用韋達(dá)定理，再用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)恰好能分解因式；證法二考慮根的分布，證兩根在（1，1）內(nèi). 【例2】