非線性方程求解算法的程序設(shè)計(jì)及比對

1、非線性方程求解算法的程序設(shè)計(jì)及比對 題 目：非線性方程求解算法的程序設(shè)計(jì)及比對 摘要 由于五次及其以上代數(shù)方程式大多不能用代數(shù)公式求解非線性方程的解.或者求解非常復(fù)雜。而在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問題常常歸結(jié)為求解非線性方程式問題.所以需要研究非線性方程的數(shù)值解法的問題是非常重要.來適應(yīng)我們社會的需要. 本課題主要介紹非線性方程的數(shù)值解法是直接從方程出發(fā)，逐步縮小根的存在區(qū)間，或逐步將根的近似值精確化，直到滿足問題對精度的要求，主要的方法有二分法，迭代法，牛頓法，弦截法等。并寫出這幾種非線性方程的數(shù)值解法的算法和程序及其優(yōu)缺點(diǎn)和計(jì)算條件. 關(guān)鍵詞 二分法;牛頓迭代法;弦截法法;程序框架圖;c語言編

2、程 目錄 引言 . 1 第一章 非線性方程求解算法 . 2 1.1 二分法 . 2 1.1.1 二分法的簡介 . 2 1.1.2 二分法的原理 . 2 1.1.3 二分法的算法 . 3 1.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代法 . 4 1.2.1不動(dòng)點(diǎn)迭代法的簡介 . 4 1.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何意義 . 4 1.2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法的算法 . 5 1.3 牛頓迭代法 . 6 1.3.1牛頓迭代法的簡介 . 6 1.3.2牛頓迭代法的原理 . 6 1.3.3牛頓迭代法的算法 . 7 1.4 弦截法 . 8 1.4.1弦截法的簡介 . 8 1.4.2弦截法的原理 . 8 1.4.3弦截法的算法 . 9 第二章 非

3、線性方程求解的c語言算法對比 . 11 2.1 c語言求解非線性方程的根 . 11 2.1.1構(gòu)造非線性方程迭代公式 . 11 2.1.2計(jì)算迭代公式 . 11 2.2 c語言算法比較分析 . 14 參考文獻(xiàn) . 16 附錄a . 17 附錄b . 18 引言 代數(shù)方程求根問題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題,早在16世紀(jì)就得到了三次、四次方程的求根公式.一般(五次及其以上)代數(shù)方程式不能用代數(shù)公式求解.在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問題常常歸結(jié)為求解非線性方程式問題.因此,需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解. f(x)?0根的數(shù)值方法,其中f(x)是連續(xù)的稱為非線性方程,此類方程除少 數(shù)情形

4、外,只能求近似解. ?b?b2?4ac例如,ax?bx?c?0,其根為x1,2? 像這種方程是可以直 2a2接的方法求出解析解.但對于對于多項(xiàng)式方程 a0xn?a1xn?1?an?1x?an?0 當(dāng)n?5時(shí),就不能得到解析解.對于更一般的情況（如超越方程） e?x?sin(?x2) 就更難求得解析解了,更就不存在根的解析表達(dá)式,在科學(xué)研究和科學(xué)計(jì)算中常常碰到非線性方程求解問題.非線性方程的解一般不能解析求出.所以數(shù)值解法顯得非常重要,而數(shù)值解法在實(shí)際中的實(shí)現(xiàn)則更為重要. 本課題主要是應(yīng)用數(shù)值解法結(jié)合計(jì)算機(jī)語言來求解非線性方程的解,其中包括的數(shù)值解法有二分法、迭代法、牛頓法、弦截法等.主要用的計(jì)

5、算機(jī)語言c語言、等.正好符合用計(jì)算機(jī)語言來處理復(fù)雜計(jì)算量的數(shù)學(xué)問題,以此來分析幾種非線性數(shù)值解法的優(yōu)缺點(diǎn),計(jì)算量的大小.來選出更加適合的計(jì)算方法. 1 第一章 非線性方程求解的算法 1.1 二分法 1.1.1 二分法的簡介 二分法又稱二分區(qū)間法,是求解方程的近似根的一種常用的簡單方法. 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù),且f(a)?f(b)?0,根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)?0在(a,b)內(nèi)必有實(shí)根,稱區(qū)間?a,b?為有根區(qū)間.為明確起見,假定方程 f(x)?0在區(qū)間?a,b?內(nèi)有惟一實(shí)根x.二分法的基本思想是: 首先確定有根區(qū)間, *將區(qū)間二等分, 通過判斷f(x)的符號, 逐步將

6、有根區(qū)間縮小, 直至有根區(qū)間足夠地小, 便可求出滿足精度要求的近似根. 1.1.2二分法的原理 設(shè)方程f(x)?0在區(qū)間?a,b?內(nèi)有根,二分法就是逐步收縮有根區(qū)間,最后得出 f(b) y 中點(diǎn)x1,f(x1) x a x1 b f(a) f(x) 新ax1 b 尋找新的根區(qū)間 圖 1.1 二分法原理圖 所求的根,如上圖所示,我們可以寫出一下內(nèi)容. (1) 輸入有根區(qū)間的端點(diǎn)a,b及預(yù)先給定的精度?； (2) 計(jì)算x?(a?b)/2 ； (3) 若f(a)*f(b)?0,則b?x;否則a?x； (4) 若b?a?,則輸出方程滿足精度要求的根x,計(jì)算結(jié)束；否則轉(zhuǎn)(2).繼續(xù)執(zhí)行前面的步驟. 2 始 開開始輸 入a,b,? (a+b)/2?x y n f(a)?f(b)?0? x?b x? a n |b-a|1.1.3 二分法的算法 給定區(qū)間?a,b?,求f(x)?0在該區(qū)間上的根x. 輸入: a和b; 容許誤差 eps;對分次數(shù) k 輸出: 近似根x. step 1 set k = 0 ; step 2 判斷 f(a)?f(b)?0繼續(xù).否則,stop輸出錯(cuò)誤; step 3 do ； 開始steps 4-6 step 4 x?f(a?b)/2); step 5 k+ ； if x*f(