面積法在平面幾何問(wèn)題求解中的巧妙應(yīng)用

1、平面幾何問(wèn)題的證明面積法（教案）教學(xué)目的：掌握面積法在平面幾何解題中的巧妙應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)：1、三角形、凸四邊形面積公式的推導(dǎo) 2、面積法在平面幾何解題中的巧妙應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容： 2002年，張景中院士推出新概念幾何，其中對(duì)三角學(xué)作了全新的處理，他把邊長(zhǎng)為1、夾角為的菱形的面積定義為，由此研究正弦的性質(zhì)，到處理余弦，用面積的方法證明大量的平面幾何問(wèn)題，把三角學(xué)和幾何學(xué)打成一片，別具一格，極有新意。張?jiān)菏恐赋觯鹤プ∶娣e，不但能把平面幾何課程變得更容易學(xué)，而且使幾何問(wèn)題求解變得更有趣味。在求解平面幾何問(wèn)題的時(shí)候，根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或面積比表示有關(guān)的幾何量或其比，從

2、而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系，并通過(guò)圖形面積的等積變換對(duì)所論問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解的方法，這就是面積法。一、為運(yùn)用面積法解題，我們需要一些面積公式：1、 設(shè)中，角所對(duì)的邊依次為，又為邊上的高，為其外接圓半徑，為其內(nèi)切圓半徑，則（1） ； （2）; （3）; (4); (5)； (6)。（海倫公式） 2、在凸四邊形中，邊長(zhǎng)分別為，兩對(duì)角線長(zhǎng)為兩對(duì)角線夾角，且，則：（1） (2) (3) （當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)） (4) ，或引理1：圓內(nèi)接四邊形的四邊是則四邊形的面積 ，。事實(shí)上，以E為一組對(duì)邊的交點(diǎn)，設(shè)。由得 ，而 ，同理 ，由海倫公式得對(duì)于一般情況的凸四邊形，不滿足四個(gè)頂點(diǎn)共圓，就沒(méi)有

3、如上的相似三角形，所以面積公式有所不同。定理：一般地，任意凸四邊形的四邊是則四邊形的面積為其中，.證明：設(shè)對(duì)角線， 由于任意四邊形由四條邊和一個(gè)內(nèi)角確定，所以可將內(nèi)角看作是內(nèi)角的函數(shù)，即。、兩式兩邊同時(shí)對(duì)角求導(dǎo)得： 將式代入式有 將式代入式有上式兩邊積分得,其中是待定的常數(shù)。當(dāng)四邊形的四點(diǎn)共圓時(shí)，,此時(shí) 所以任意凸四邊形ABCD的面積 , 同理可證任意凸四邊形ABCD的面積 由此我們也看出，四邊給定的所有四邊形中，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，四邊形面積最大。二、面積法在平面幾何解題中的應(yīng)用引理2：共邊定理 若直線和直線交于,可能的情況如下圖，則. 例1、設(shè)是的平分線上任一點(diǎn)，過(guò)引交的延長(zhǎng)線于,過(guò)引交的延長(zhǎng)線

4、于,求證：.連接由有.由有.故又P是的平分線上的點(diǎn)，P點(diǎn)到及的距離相等，即的邊上的高等于的邊上的高，從而.例2、如圖，在中，是邊上的高上的任一點(diǎn)，直線交于，直線交于，連接，求證：. 證明：過(guò)點(diǎn)A作的平行線，分別交的延長(zhǎng)線于則有, ,3、 小結(jié)：正如張?jiān)菏克f(shuō)的抓住面積，不但能把平面幾何課程變得更容易學(xué)，而且使幾何問(wèn)題求解變得更有趣味。因此，在求解平面幾何問(wèn)題的時(shí)候，根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或面積比表示有關(guān)的幾何量或其比，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系求解。四、課后思考題： 1、用面積法證明塞瓦定理。塞瓦（Ceva）定理：設(shè)分別是的邊所在直線上的點(diǎn)（即三點(diǎn)中或三點(diǎn)或一點(diǎn)在邊上），則三直線共點(diǎn)或平行的充要條件是 證明 必要性：若三直線交于一點(diǎn)，則 若三直線平行，則充分性：若直線交于一點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為，則由必要性知。而題設(shè)有，由此有，即，由此知與重合，從而三直線共點(diǎn)。若,則代入已知條件有,由此知.故。證畢。2、 凸四邊形中，,對(duì)角線交于點(diǎn).求.證明 法1（常規(guī)解法）：由題意可知且四點(diǎn)共圓。設(shè)，則 在