2018-2019北京市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)壓軸題匯編

1、（2018-2019豐臺(tái)高三期末理20）20（本小題13分）將階數(shù)陣記作（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，）.如果對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，那么稱數(shù)陣具有性質(zhì).（）寫出一個(gè)具有性質(zhì)的數(shù)陣，滿足以下三個(gè)條件：，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（）將一個(gè)具有性質(zhì)A的數(shù)陣的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個(gè)新的階數(shù)陣，記作數(shù)陣.試判斷數(shù)陣是否具有性質(zhì)A，并說明理由.20（共13分）解：（）（答案不唯一）. . . .4分（）數(shù)陣具有性質(zhì)A.只需證明，對(duì)于任意的，都有，其中.下面用反證明法證明：假設(shè)存在，則都大于，即在第列中，至少有個(gè)數(shù)大于，且.根據(jù)題意，對(duì)于每一個(gè)，都至少存在一個(gè)

2、，使得，即在第列中，至少有個(gè)數(shù)小于.所以，第列中至少有個(gè)數(shù)，這與第列中只有個(gè)數(shù)矛盾.所以假設(shè)不成立.所以數(shù)陣具有性質(zhì)A. . . .13分（2018-2019海淀高三期末理20）（20）（本小題滿分13分）設(shè)為不小于的正整數(shù)，集合,對(duì)于集合中的任意元素，記 . () 當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)寫出滿足的所有元素； () 若，且，求的最大值和最小值；（）設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同元素 ，有成立，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.20. 解：() 滿足的元素為 （）記，注意到，所以，所以 因?yàn)椋?所以中有個(gè)量的值為1，個(gè)量的值為0.顯然，當(dāng)，時(shí)，滿足，.所以的最大值為 又 注意到只有時(shí)，否則而中個(gè)量的

3、值為1，個(gè)量的值為0所以滿足這樣的元素至多有個(gè)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，滿足，且.所以的最小值為 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，這樣的元素至多有個(gè)，所以 . 當(dāng)，時(shí)，滿足，.所以的最小值為 綜上：的最大值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.（）中的元素個(gè)數(shù)最大值為 設(shè)集合是滿足條件的集合中元素個(gè)數(shù)最多的一個(gè) 記， 顯然 集合中元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)，下面我們證明集合中元素個(gè)數(shù)不超過個(gè) ，則 則中至少存在兩個(gè)元素 ， 因?yàn)?，所以 不能同時(shí)為 所以對(duì)中的一組數(shù)而言，在集合中至多有一個(gè)元素滿足同時(shí)為所以集合中元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)所以集合中的元素個(gè)數(shù)為至多為 記，則中共個(gè)元素， 對(duì)于任意的，.對(duì)，記 其中，記，顯然，均

4、有.記，中的元素個(gè)數(shù)為，且滿足，均有.綜上所述，中的元素個(gè)數(shù)最大值為. （2018-2019東城高三期末理20）(20)（本小題14分）對(duì)給定的記由數(shù)列構(gòu)成的集合.（）若數(shù)列，寫出的所有可能取值；（）對(duì)于集合，若. 求證：存在整數(shù)，使得對(duì)中的任意數(shù)列，整數(shù)不是數(shù)列中的項(xiàng)；（）已知數(shù)列，記的前項(xiàng)和分別為.若求證：.（20）（共14分）解：（）由于數(shù)列，即，由已知有，所以，將代入得的所有可能取值為 .4分（）先應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列:當(dāng)時(shí)，因此時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即存在整數(shù)，使得成立.當(dāng)時(shí)，或所以當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立. 由可知，若數(shù)列具有的形式. 由于具有的形式，以及，可得不是的整數(shù)倍.故取整

5、數(shù)，則整數(shù)均不是數(shù)列中的項(xiàng). .9分（）由可得：所以有 以上各式相加可得，即當(dāng)時(shí)，有由于所以，于是 .14分（2018-2019西城高三期末理20）20（本小題滿分13分）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足，其中. 如果存在，使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱為“k階平衡數(shù)列”.（）判斷數(shù)列2, 4, 6, 8, 10和數(shù)列1, 5, 9, 13, 17是否為“4階平衡數(shù)列”？（）若N為偶數(shù)，證明：數(shù)列不是“k階平衡數(shù)列”，其中. （）如果，且對(duì)于任意，數(shù)列均為“k階平衡數(shù)列”，求數(shù)列A中所有元素之和的最大值.（2018-2019石景山高三理20）20.（本小題13分）將1至這個(gè)自然數(shù)隨機(jī)填入方格的

6、個(gè)方格中，每個(gè)方格恰填一個(gè)數(shù)（）對(duì)于同行或同列的每一對(duì)數(shù)，都計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的比值，在這個(gè)比值中的最小值，稱為這一填數(shù)法的“特征值”（）若，請(qǐng)寫出一種填數(shù)法，并計(jì)算此填數(shù)法的“特征值”；（）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出一種填數(shù)法，使得此填數(shù)法的“特征值”為；（）求證：對(duì)任意一個(gè)填數(shù)法，其“特征值”不大于3214此填數(shù)法的“特征值”為.1234此填數(shù)法的“特征值”為.20.（本題13分）或解：（） 3分714582369（）7分（前兩問答案不唯一，請(qǐng)酌情給分）（）不妨設(shè)A為任意一個(gè)填數(shù)法，記此填數(shù)法的“特征值”為,考慮含n+1個(gè)元素的集合 ，易知其中必有至少兩個(gè)數(shù)處于同一行，設(shè)為也必有至少兩個(gè)數(shù)處于同一列，設(shè)為.若則有（因?yàn)椋?若，即，則， 所以.即不論何種情況，總有. 13分（2018-2019朝陽高三期末理20）20.（本小題滿分13分）已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對(duì)任意，滿足如下兩個(gè)條件：是的倍數(shù)；.（）若，寫出滿足條件的所有的值；（）求證：當(dāng)時(shí)，；（）求所有可能取值中的最大值.20. （本小題滿分13分）（）的值可取. .3分 （）由，對(duì)于任意的，有.當(dāng)時(shí)，即，即.則成立.因?yàn)槭堑谋稊?shù)，所以當(dāng)時(shí)，有成立.若存在使，依以上所證，這