導(dǎo)數(shù)公式的證明(最全版)

1、.導(dǎo)數(shù)的定義： f(x)=limy/xx0（下面就不再標(biāo)明x0 了）用定義求導(dǎo)數(shù)公式（ 1）f(x)=xn證法一：（ n 為自然數(shù)）f(x)=lim (x+x)n-xn/x=lim (x+x-x)(x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)/x=lim (x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)=x(n-1)+x*x(n-2)+x2*x(n-3)+ .x(n-2)*x+x(n-1)=nx(n-1)證法二：（ n 為任意實(shí)數(shù)）f(x)=xn1 / 13.lnf(x)=nlnx(lnf(x)=(nlnx)

2、f(x)/f(x)=n/xf(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*xnf(x)=nx(n-1)（ 2）f(x)=sinxf(x)=lim (sin(x+x)-sinx)/x=lim (sinxcosx+cosxsinx-sinx)/x=lim (sinx+cosxsinx-sinx)/x=lim cosxsinx/x=cosx2 / 13.（ 3）f(x)=cosx f(x)=lim (cos(x+x)-cosx)/x=lim (cosxcosx-sinxsinx-cosx)/x=lim (cosx-sinxsinx-cos)/x=lim -sinxsinx/x=-sinx（ 4）f(x)

3、=ax證法一：f(x)=lim (a(x+x)-ax)/x=lim ax*(ax-1)/x（設(shè) ax-1=m ，則x=loga(m+1)）=lim ax*m/loga(m+1)3 / 13.=lim ax*m/ln(m+1)/lna=lim ax*lna*m/ln(m+1)=lim ax*lna/(1/m)*ln(m+1)=lim ax*lna/ln(m+1)(1/m)=lim ax*lna/lne=ax*lna證法二：f(x)=axlnf(x)=xlnalnf(x) =xlna f (x)/f(x)=lnaf (x)=f(x)lnaf (x)=axlna4 / 13.若 a=e ，原函數(shù) f

4、(x)=ex則 f(x)=ex*lne=ex（ 5）f(x)=logax f(x)=lim (loga(x+x)-logax)/x=lim loga(x+x)/x/x=lim loga(1+x/x)/x=lim ln(1+x/x)/(lna*x)=lim x*ln(1+x/x)/(x*lna*x)=lim (x/x)*ln(1+ x/x)/(x*lna)=lim ln(1+x/x)(x/x)/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)5 / 13.若 a=e ，原函數(shù) f(x)=logex=lnx則 f(x)=1/(x*lne)=1/x（ 6）f(x)=tanx f(x

5、)=lim (tan(x+x)-tanx)/x=lim (sin(x+x)/cos(x+x)-sinx/cosx)/x=lim (sin(x+x)cosx-sinxcos(x+x)/(xcosxcos(x+x)=lim (sinxcosxcosx+sinxcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinx/(xcosxcos(x+x)=1/(cosx)2=secx/cosx=(secx)2=1+(tanx)2（ 7）f(x)=cotx f(x)=lim (cot(x+x)-cotx)/x6 / 13.=lim (cos(x+x

6、)/sin(x+x)-cosx/sinx)/x=lim (cos(x+x)sinx-cosxsin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (cosxcosxsinx-sinxsinxsinx-cosxsinxcosx-cosxsinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinx/(xsinxsin(x+x)=-1/(sinx)2=-cscx/sinx=-(secx)2=-1-(cotx)2（ 8）f(x)=secx f(x)=lim (sec(x+ x)-secx)/ x=lim (1/cos(x+x)-1/cosx)/x=lim (cosx-cos(x+x)/(xc

7、osxcosx)=lim (cosx-cosxcosx+sinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinxsinx/(xcosxcos(x+x)=sinx/(cosx)2=tanx*secx7 / 13.（ 9）f(x)=cscx f(x)=lim (csc(x+ x)-cscx)/ x=lim (1/sin(x+x)-1/sinx)/x=lim (sinx-sin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (sinx-sinxcosx-sinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinxcosx/(xsinxsin(x+x)=-cosx/(sinx)2=

8、-cotx*cscx（ 10 ）f(x)=xx lnf(x)=xlnx (lnf(x)=(xlnx) f(x)/f(x)=lnx+1 f(x)=(lnx+1)*f(x) f(x)=(lnx+1)*xx8 / 13.（ 12 ）h(x)=f(x)g(x) h(x)=lim (f(x+x)g(x+x)-f(x)g(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)-g(x+x)*f(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)*g(x+x)-f(x)*g(x+x)/x=lim (f(x+x)-f(x

9、)*g(x+x)/x+(g(x+x)-g(x)*f(x)/x=f(x)g(x)+f(x)g(x)（ 13 ）h(x)=f(x)/g(x) h(x)=lim (f(x+x)/g(x+x)-f(x)g(x)/x=lim (f(x+x)g(x)-f(x)g(x+x)/(xg(x)g(x+x)9 / 13.=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)+g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x

10、)*g(x)/(xg(x)g(x+x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=f(x)g(x)/(g(x)*g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)x（ 14 ）h(x)=f(g(x) h(x)=lim f(g(x+x)-f(g(x)/x=lim f(g(x+x)-g(x)+g(x)-f(g(x)/x（另 g(x)=u ，g(x+x)-g(x)=u）=lim (f(u+u)-f(u)/x=lim (f(u+u)-f(u)*u/(x*u)10 / 13.=lim f(u)*u/x=lim f(u)*(g(x

11、+x)-g(x)/x=f(u)*g(x)=f(g(x)g(x)(反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的乘積為1，因?yàn)楹瘮?shù)與反函數(shù)關(guān)于 y=x 對(duì)稱，所以導(dǎo)數(shù)也關(guān)于y=x 對(duì)稱，所以導(dǎo)數(shù)的乘積為1)（ 15 ）y=f(x)=arcsinx則 siny=x(siny)=cosy所以(arcsinx)=1/(siny)=1/cosy=1/ 1-(siny)2(siny=x)=1/ 1-x2即 f(x)=1/ 1-x2(16)y=f(x)=arctanx則 tany=x(tany)=1+(tany)2=1+x211 / 13.所以(arctanx)=1/1+x2即 f(x)= 1/1+x2總結(jié)一下（ xn ）=nx(n-1)（ sinx ）=cosx（ cosx ）=-sinx（ ax ）=axlna（ ex ）=ex（ logax ）=1/(xlna)（ lnx ）=1/x (tanx)=(secx)2=1+(tanx)2 (cotx)=-(cscx)2=-1-(cot