選修2-2、2-3綜合測(cè)試題二(解析版)

1、高二數(shù)學(xué)選修2-2、2-3測(cè)試題一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1. 過(guò)函數(shù)圖象上點(diǎn)O（0，0），作切線，則切線方程為 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，時(shí)，所求切線斜率為，所求切線方程為，故選A.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.2. 設(shè),則 ( )A. 256 B. 0 C. D. 1【答案】D【解析】 ，令得，即，故選D.3. 定義運(yùn)算，則(是虛數(shù)單位)為 (

2、 )A. 3 B. C. D. 【答案】B學(xué).科.網(wǎng).學(xué).科.網(wǎng).學(xué).科.網(wǎng).學(xué).科.網(wǎng).4. 任何進(jìn)制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù),如八進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，是這樣轉(zhuǎn)換的：,十六進(jìn)制數(shù),那么將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，這個(gè)十進(jìn)制數(shù)是 （ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】B【解析】，所以將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，這個(gè)十進(jìn)制數(shù)是 ，故選B.5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的條直線把平面分為部分，則?！痹谧C明第二步歸納遞推的過(guò)程中，用到+ 。( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，有，那么當(dāng)時(shí)，從“到”左端需增加代數(shù)式 在證明第二步歸納遞推的過(guò)程中，用到，故選C

3、.6. 記函數(shù)表示對(duì)函數(shù)連續(xù)兩次求導(dǎo),即先對(duì)求導(dǎo)得,再對(duì)求導(dǎo)得,下列函數(shù)中滿足的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C7. 甲、乙速度與時(shí)間的關(guān)系如下圖，是時(shí)的加速度，是從到的路程，則與，與的大小關(guān)系是 ( )A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】因?yàn)榧铀俣仁撬俣葘?duì)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，加速度是速度對(duì)函數(shù)的切線斜率，由圖可得在處，甲的切線斜率小于甲的切線斜率，即甲在處的加速度小于乙在處的加速度；由圖知到甲的速度總大于乙的速度，所以甲從到的路程大于乙從到的路程，只有選項(xiàng)符合題意，故選C.8. 如圖，螞蟻從A沿著長(zhǎng)方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有( )A.

4、6條 B. 7條 C. 8條 D. 9條【答案】A【解析】共有3個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)相鄰，經(jīng)過(guò)每個(gè)相鄰頂點(diǎn)，按規(guī)定方向都有2條路徑到達(dá)點(diǎn)，所以，螞蟻從沿著長(zhǎng)方體的棱以規(guī)定的方向行走至，不同的行走路線有：（條），故選A.9. 如圖，是導(dǎo)數(shù)y=f（x）的圖象，則函數(shù)y=f（x）的圖象是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由的圖象可知，時(shí)，可得函數(shù)是減函數(shù)；時(shí)，可得函數(shù)是增函數(shù)；時(shí)，可得函數(shù)是減函數(shù)；由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，時(shí)， ，說(shuō)明時(shí)，函數(shù)的切線斜率趨向于零，由此可以判斷函數(shù)的圖象為，故選D.【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題

5、方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.10. 設(shè)，由到上的一一映射中，有7個(gè)數(shù)字和自身對(duì)應(yīng)的映射個(gè)數(shù)是 ( )A. 120 B. 240 C. D. 360【答案】B【解析】 有個(gè)元素，則由到上的一一映射中，分兩步：先挑出個(gè)數(shù)字和自身對(duì)應(yīng)共有種方法，剩余三個(gè)元素都不與自身對(duì)應(yīng)共有種對(duì)應(yīng)方式，所以，有個(gè)數(shù)字和自身對(duì)應(yīng)的映射個(gè)數(shù)是種，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列

6、組合的綜合問(wèn)題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題，解答這類問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過(guò)程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.二.填空題（本大題4個(gè)小題，每小題5分，共20分）11. 公式_揭示了微積分學(xué)中導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系;提供了求定積分的一種有效方法。【答案】【解析】若，則的不定積分為，所以可得定積分故答案為.12. 若有一組數(shù)據(jù)的總偏差平方和為100，相關(guān)指數(shù)=0.75，則其殘差平方和為_(kāi)。【答案】25【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)的總偏差平方和為，相關(guān)指數(shù)

7、，故答案為.13. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，則有類似上三行,第四行的結(jié)論為_(kāi)。【答案】【解析】觀察前三個(gè)式子，可知三個(gè)式子的項(xiàng)數(shù)分別是，所以第四個(gè)式子有項(xiàng)，前三個(gè)式子奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，項(xiàng)的系數(shù)滿足二項(xiàng)式定理系數(shù)的形式，所以第四項(xiàng)的結(jié)論：，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題通過(guò)觀察幾組多項(xiàng)式式，歸納出一般規(guī)律來(lái)考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟: 一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系

8、，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.14. 已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為橢圓的面積為，則=_。【答案】【解析】設(shè)，則對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓的上半部分，對(duì)應(yīng)的面積，根據(jù)積分的運(yùn)算法則可得， ，故答案為.三.解答題（本大題6個(gè)小題，共80分）15. 如圖，陰影部分區(qū)域是由函數(shù)圖象，直線圍成，求這陰影部分區(qū)域面積。【答案】【解析】試題分析：由定積分的幾何意義可知，所求陰影部分的面積為，利用微積分定理計(jì)算即可.試題解析：所求圖形面積為 .【方法點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線 以及直

9、線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和 ，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時(shí)，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來(lái)求解.16. 據(jù)研究,甲磁盤受到病毒感染，感染的量y(單位: 比特?cái)?shù))與時(shí)間x(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系是,乙磁盤受到病毒感染，感染的量y(單位: 比特?cái)?shù))與時(shí)間x(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系是,顯然當(dāng)時(shí)，甲磁盤受到病毒感染增長(zhǎng)率比乙磁盤受到病毒感染增長(zhǎng)率大.試根據(jù)上述事實(shí)提煉一個(gè)不等式,并證明之.【答案】【解析】試題分析：因?yàn)榧状疟P受到感染的感染增長(zhǎng)率是的導(dǎo)數(shù),乙磁盤受到病毒

10、感染增長(zhǎng)率為的導(dǎo)數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí),甲磁盤受到病毒感染增長(zhǎng)率比乙磁盤受到病毒感染增長(zhǎng)率大，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明即可.試題解析：因?yàn)榧状疟P受到感染的感染增長(zhǎng)率是的導(dǎo)數(shù),乙磁盤受到病毒感染增長(zhǎng)率為的導(dǎo)數(shù)又因?yàn)楫?dāng)時(shí),甲磁盤受到病毒感染增長(zhǎng)率比乙磁盤受到病毒感染增長(zhǎng)率大下面證明:,所以在上是增函數(shù), 即.17. (1)拋擲一顆骰子兩次,定義隨機(jī)變量試寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列(用表格格式);(2)拋擲一顆骰子兩次,在第一次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的條件下,求第二次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)也是偶數(shù)的概率【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）拋擲一顆骰子兩次,共有種不同結(jié)果，當(dāng)?shù)谝淮蜗蛏系拿娴狞c(diǎn)數(shù)等于第二次向上的面

11、點(diǎn)數(shù)時(shí)，有種情況，所以，由對(duì)立事件概率公式得，即可寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列；（2）利用條件概率公式，即可得出結(jié)論.試題解析：(1)當(dāng)?shù)谝淮蜗蛏系拿娴狞c(diǎn)數(shù)等于第二次向上的面點(diǎn)數(shù)時(shí),有6種情況,所以,由互斥事件概率公式得, )所以所求分布列是 (2)設(shè)第一次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的事件為A,第二次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的事件為B,在第一次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的條件下,第二次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)也是偶數(shù)的概率為或18. 已知函數(shù)（1）求的極值；（2）請(qǐng)?zhí)詈孟卤?在答卷),并畫(huà)出的圖象(不必寫(xiě)出作圖步驟)；（3）設(shè)函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求的值?！敬鸢浮浚?）見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)有極大值7, 當(dāng)時(shí)有極小值-2

12、0（3）【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù),解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值；（2）直接將表格中數(shù)據(jù)代入解析式，然后描點(diǎn)、連線即可；（3）由（1）知當(dāng)時(shí)有極大值, 當(dāng)時(shí)有極小值，可得函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或.試題解析：（1），令得-（2分）由表知,當(dāng)時(shí)有極大值7, 當(dāng)時(shí)有極小值-20.（2）畫(huà)對(duì)圖（3）由（1）知當(dāng)時(shí)有極大值, 當(dāng)時(shí)有極小值，再由（2）知，當(dāng)?shù)臉O大值或極小值為0時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即.19. 編輯一個(gè)運(yùn)算程序：，（1）設(shè)，求；（2）由（1）猜想的通項(xiàng)

13、公式；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)運(yùn)算程序，翻譯成四則運(yùn)算可求得；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，到每項(xiàng)的值都是項(xiàng)數(shù)的二倍，由此可猜得（3）驗(yàn)證時(shí)，猜想成立，假設(shè)假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，只需根據(jù)運(yùn)算程序證明當(dāng)時(shí)猜想也成立即可.試題解析：（1），令，則由，得再令，則，得再令，則，得（2）由（1）猜想：（3）證明：當(dāng)時(shí)，另一方面，所以當(dāng)時(shí)等式成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，此時(shí)， 那么，當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)等式也成立.由知，等式對(duì)都成立.【方法點(diǎn)睛】本題考查歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法、以及新定義問(wèn)題，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種

14、新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.本題定義一個(gè)運(yùn)算程序達(dá)到考查歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法的目的.20. 為研究“在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率的和”這個(gè)課題，我們可以分三步進(jìn)行研究：（I）取特殊事件進(jìn)行研究;()觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；（）試證明你得到的結(jié)論?，F(xiàn)在，請(qǐng)你完成:(1)拋擲硬幣4次,設(shè)分別表示正面向上次數(shù)為0次,1次,2次,3次,4次的概率,求(用分?jǐn)?shù)表示),并求;(2)拋擲一顆骰子三次,設(shè)分別表示向上一面點(diǎn)數(shù)是3恰好出現(xiàn)0次,1次,2次,3次的概率,求(用分?jǐn)?shù)表示),并求;(3)由(1)、(2)寫(xiě)出結(jié)論,并對(duì)得到的結(jié)論給予解釋或給予證明.【答案】（1） （2），（3）在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生次的概率的和為1.【解析】試題分析：（1）拋擲硬幣擲得正面向上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，分別求得的值，可得的值；（2）拋擲骰子擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是的的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，分別求得