奧數(shù)講義 工程問(wèn)題.doc

1、 奧數(shù)專(zhuān)題第一講 工程問(wèn)題（1）【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】學(xué)習(xí)奧數(shù)能夠鍛煉孩子的思維能力。對(duì)于小升初的孩子們來(lái)說(shuō)，奧數(shù)的學(xué)習(xí)還能增加升學(xué)的籌碼。記筆記這方法其實(shí)很普遍也很簡(jiǎn)單，但恰恰是很多同學(xué)不容易做到的，記筆記有很多好處，一是可以把老師的精華記錄下來(lái)方便復(fù)習(xí)，二是練習(xí)學(xué)生的書(shū)寫(xiě)能力，三是可以讓學(xué)生養(yǎng)成邊聽(tīng)邊寫(xiě)的學(xué)習(xí)能力，這對(duì)于提高學(xué)習(xí)效率是非常有效的。錯(cuò)題本很多孩子都馬虎，但有些馬虎其實(shí)是同學(xué)對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解不清晰造成的，這類(lèi)的題目一定要記錄下來(lái)。還有的是出題者故意設(shè)計(jì)的陷阱，這也可以記錄下來(lái)，定時(shí)復(fù)習(xí)，久了之后很多馬虎自然而然地就避免了。題目分類(lèi)本和錯(cuò)題本一樣，專(zhuān)門(mén)記錄自己做過(guò)的試題，分類(lèi)指的是將自己做

2、過(guò)的試題分為幾大類(lèi)，一類(lèi)是極其簡(jiǎn)單，自己一看就會(huì)的。一類(lèi)是有一定難度，需要思考找到突破口的，還有一類(lèi)就是難度很大，需要綜合運(yùn)用很多知識(shí)并進(jìn)行推理才能解答的，后兩類(lèi)都應(yīng)該是我們的記錄重點(diǎn)。在對(duì)試題分類(lèi)的過(guò)程中同學(xué)自然地就增強(qiáng)了對(duì)試題的進(jìn)一步理解。舊題新解不定時(shí)的翻翻原來(lái)做過(guò)的試題，但是重點(diǎn)是思考有沒(méi)有新的解題思路和解題技巧。這樣不斷地增加思考有利于形成學(xué)生思考習(xí)慣的形成，也有利于學(xué)生發(fā)散思維的形成，多角度考察問(wèn)題的思路，并隨時(shí)利用新學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題。學(xué)習(xí)討論定期地和我分享好試題，好方法，好技巧，好經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)到新的東西，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)合作精神，增強(qiáng)協(xié)調(diào)能力。小學(xué)奧數(shù)工程問(wèn)題試題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（一）【

3、知識(shí)點(diǎn)】工程問(wèn)題：顧名思義，工程問(wèn)題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其實(shí)，這類(lèi)題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問(wèn)題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問(wèn)題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時(shí)間。工作量：指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率：指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫(xiě)工作效率的單位?！镜湫屠}】例1 單獨(dú)

4、干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效例2 某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？”這樣一來(lái)，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。答：甲隊(duì)干了12天。例3 單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程

5、。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了例4 一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，那么完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做60個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，例5 一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管，單開(kāi)放水管5時(shí)可將空池灌滿，單開(kāi)排水管7時(shí)可將滿池水排完。如果一開(kāi)始是空池，打開(kāi)放水管1時(shí)后又打開(kāi)排水管，那么再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間池內(nèi)將積有半池水？例6 甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘

6、，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但是既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來(lái)解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的解法來(lái)解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。小學(xué)奧數(shù)工程問(wèn)題試題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（一）參考答案與試題解析一、填空：1（3分）工程隊(duì)6天完成一項(xiàng)工程的，照這樣計(jì)算，完成全部工程要15天考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題分析：首

7、先求出一天完成這件工程的幾分之幾（工作效率），再求出全部完成需要的時(shí)間即可解答：解：1（6），=1，=15（天）；答：完成全部工程要15天故答案為：15點(diǎn)評(píng)：此題主要考查工作時(shí)間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，解答時(shí)往往把工作總量看作“1”，再利用它們的數(shù)量關(guān)系解答2（3分）打一篇稿件，甲單獨(dú)打要10小時(shí)，乙要12小時(shí)，甲乙工作時(shí)間的比是5：6，工作效率的比是6：5考點(diǎn)：比的意義；簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題1923992分析：（1）求甲乙工作時(shí)間的比，用甲的工作時(shí)間比乙的工作時(shí)間，化簡(jiǎn)即可；（2）求工作效率的比，把這份稿件的總量看做單位“1”，根據(jù)題意，甲的工作效率為，乙的工作效率為，二者相比即可

8、解答：解：（1）10：12=5：6；答：甲乙工作時(shí)間的比是5：6（2）：=6：5；答：工作效率的比是6：5故答案為：5：6，6：5點(diǎn)評(píng)：由此，我們得出結(jié)論：甲乙工作效率的比等于他們工作時(shí)間比的反比3（3分）做同樣的零件，甲要小時(shí)，乙要小時(shí)，甲乙工作時(shí)間的比是4：3，工作效率的比是3：4考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題1923992分析：甲乙工作時(shí)間的比是：，根據(jù)比的化簡(jiǎn)方法化成最簡(jiǎn)整數(shù)比，把工作量看作單位“1”根據(jù)工作量工作時(shí)間=工作效率，再求出甲乙的工作效率的比解答：解：甲乙工作時(shí)間的比是：=（24）：（24）=4：3；甲乙工作效率的比是：（1）：（1）=6：8=3：4；故答案為：4：3，3：4點(diǎn)評(píng)：此

9、題主要根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系，和比的化簡(jiǎn)方法解決問(wèn)題4（3分）加工一批零件，甲要12天，乙的工作效率是甲的，甲乙同時(shí)加工一共要6天考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題1923992分析：把這批零件的數(shù)量看作單位“1”，甲12完成，那么甲每天完成這批零件的，又知乙的工作效率是甲的，由此可以求出乙的工作效率=，再根據(jù)工作量工作效率之和=共同用的工作時(shí)間，列式解答解答：解：甲12完成，那么甲每天完成這批零件的，1（），=1（），=1，=1，=6（天）；答：甲乙同時(shí)加工一共要6天故答案為：6點(diǎn)評(píng)：此題主要考查工作時(shí)間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，解答時(shí)要注意從問(wèn)題出發(fā)，找出已知條件與所

10、求問(wèn)題之間的關(guān)系，再?gòu)囊阎獥l件回到問(wèn)題即可解決問(wèn)題5（3分）甲乙同時(shí)加工一批零件要20天，已知甲乙工作效率的比是5：4，乙單獨(dú)加工要45天考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題1923992分析：要求乙單獨(dú)加工需要幾天，必須先求出乙的工作效率，已知甲乙同時(shí)加工一批零件要20天，已知甲乙工作效率的比是5：4，把這批零件的數(shù)量看作單位“1”，甲乙的工作效率和是，乙的工作效率是=，再根據(jù)工作量工作效率=工作時(shí)間解答解答：解：1（），=1（）；=1，=45（天）；答：乙單獨(dú)加工要45天故答案為：45點(diǎn)評(píng)：此題屬于工程問(wèn)題，工作量沒(méi)有給出具體的數(shù)量，把工作量看作單位“1”，再根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系解

11、答二、應(yīng)用題6一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12天，乙要10天，丙要15天甲乙丙同時(shí)做要多少天？甲乙丙同時(shí)加工多少天能完成工程的一半？甲乙丙同時(shí)加工多少天這項(xiàng)工程還剩？如果甲先做5天，乙丙接著做，還要多少天？如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任務(wù)時(shí)一共用了多少天？考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題1923992分析：根據(jù)題意，把這項(xiàng)工作的總量看作單位“1”，那么甲、乙、丙的工作效率分別是、，三人合做需要的時(shí)間為1（+），計(jì)算即可；要求甲乙丙同時(shí)加工多少天能完成工程的一半，用除以三人效率之和即可；這項(xiàng)工程還剩，也就是完成了，用除以三人效率和即可；甲先做5天，做了這項(xiàng)工程的5=，還剩，這時(shí)乙丙合做，求需要的時(shí)間，用除以

12、乙丙效率和即可；甲丙合作做4天后，還剩1（+）4=，這由乙來(lái)做，需要的時(shí)間是=4（天），再加上甲丙合作做的4天，共8天解答：解：1（+），=1，=4（天）；答：甲乙丙同時(shí)做要4天（+），=，=4，=2（天）；答：甲乙丙同時(shí)加工2天能完成工程的一半（1）（+），=，=4，=3（天）；答：甲乙丙同時(shí)加工3天這項(xiàng)工程還剩（15）（+），=（1），=6，=（天）；答：還要多少天天1（+）4+4，=1410+4=110+4，=10+4，=4+4，=8（天）；答：完成任務(wù)時(shí)一共用了8天點(diǎn)評(píng)：此題主要考查工作時(shí)間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，解答時(shí)要注意從問(wèn)題出發(fā)，找出已知條件與所求問(wèn)題之間的關(guān)系

13、，選擇正確的關(guān)系式解答7一個(gè)水池安有甲乙兩個(gè)水管，單開(kāi)甲水管8小時(shí)可以把空池注滿，單開(kāi)乙水管12小時(shí)可以把空池注滿，同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)水管，多少小時(shí)可以把空池注滿？考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題1923992分析：把這個(gè)水池的容積看成單位“1”，甲水管的工作效率是，乙水管的工作效率是，它們的和是合作的工作效率，用工作量除以合作的工作效率就是需要的工作時(shí)間解答：解：1（），=1，=（小時(shí)）；答：小時(shí)可以把空池注滿點(diǎn)評(píng)：此題主要考查工作時(shí)間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，解答時(shí)往往把工作總量看做1，再利用它們的數(shù)量關(guān)系解答830立方米木料，單做桌子可以做50張，單做凳子可以做200把，如果同時(shí)做桌凳，可以

14、做多少套？（兩種方法解）考點(diǎn)：整數(shù)、小數(shù)復(fù)合應(yīng)用題1923992分析：方法一，根據(jù)除法的意義可知，做一張桌子需要3050=0.6立方米木料，做一個(gè)凳子需要30200=0.15立方米的木料，則做一套桌凳需要0.6+0.15=0.75立方米木料，所以果同時(shí)做桌凳，可以做30（0.6+0.15）套方法二，將這些木料看做單位“1”，單做桌子可以做50張，單做凳子可以做200把，則做一張桌子要用掉全總木料的，做一張凳子要用掉全部木料的，則做一套桌凳需要用掉全部木料的+，所以同時(shí)做桌凳，可以做1（+）套解答：解：方法一，30（3050+30200）=30（0.6+0.15），=300.75，=40（套）答

15、：可以做40套方法二，1（+）=1，=40（套）答：可以做40套點(diǎn)評(píng)：完成本題要注意第二種方法不用具體的數(shù)量解答，而是把具體的數(shù)量看做單位“1”9一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要20天，乙要30天，其間甲乙各休息了幾天，結(jié)果16天才完成任務(wù)，已知甲休息了3天，乙休息了幾天？考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題1923992分析：由題意可知，甲乙的工作效率分別為，；16天才完成任務(wù)，甲休息了3天，則實(shí)際甲工作了163=13天則甲完成了總工作量的13=，則乙完成了總工作量的1=所以乙工作了=10.5天，則乙休息了1610.5=5.5天解答：解：161（163）=16113，=16130，=1630，=1610.5，=5.5（

16、天）答：乙休息了5.5天點(diǎn)評(píng)：明確這一過(guò)程中甲工作了13天，并根據(jù)工作效率工作時(shí)間=工作量求出甲完成的工作量是完成本題的關(guān)鍵10周五爸爸拿回了兩份稿件回家，為了趕交稿件，兄妹二人決定利用星期六幫爸爸打完稿件，具體情況如下：哥哥打甲稿件要3小時(shí)，打乙稿件要6小時(shí)；妹妹打甲稿件要8小時(shí)，打乙稿件要4小時(shí)，問(wèn)：如何巧妙安排能使打完稿件的時(shí)間最短？考點(diǎn)：最優(yōu)化問(wèn)題1923992分析：由題意可知，哥哥打甲稿件較快，妹妹打乙稿件較快因此可分工讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件由于哥哥打甲稿件3小時(shí)完成，妹妹打乙稿件4小時(shí)完成，則哥哥完成時(shí)，妹妹還有沒(méi)有打完，則這可和哥哥合打由于妹妹每小時(shí)打全部的，哥哥每小時(shí)打全

17、部的，所以這還需要打（+）=小時(shí)，所以共需3+=3小時(shí)解答：解：根據(jù)題意，可分工讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件哥哥完成后，再和妹妹合打乙稿件剩下的部分（13）（+）+3=（1）+3，=+3，=+3，=3（小時(shí)）答：讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件哥哥完成后，再和妹妹合打乙稿件剩下的部分用時(shí)最少，需要3小時(shí)點(diǎn)評(píng)：完成本題的關(guān)鍵要注意哥哥打完后，要和妹妹合打剩下的部分，這樣用時(shí)最少作業(yè)詳解1.某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì)先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái)與乙隊(duì)一起干了10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了24天挖完。這