福建省第一中學等六校2020-2021學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）

1、福建省上杭縣第一中學等六校2020-2021學年高一下學期期中考試數(shù)學試題本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷（選擇題，共60分）一、選擇題 (本大題共12小題，每小題5分，共60分.)1.中，角的對邊分別為，若，則角A為（ ）A. B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理，得sinA，所以A45或135再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得A120，得135不符合題意，則A可求【詳解】ABC中，sinA，A45或135B60，得A+C120，A120A45（舍去135）故選：C【點睛】本題著重考查了用正弦定理解三角形的知識，準確計算是關(guān)鍵，注意A的范圍舍去135是易錯點2.

2、如果,那么下列不等式中正確的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件分別對A、B、C、D，四個選項利用特殊值代入進行求解【詳解】A、如果a0，b0，那么，故A正確；B、取a2，b1，可得，故B錯誤；C、取a2，b1，可得a2b2，故C錯誤；D、取a，b1，可得|a|b|，故D錯誤；故選：A【點睛】此題考查不等關(guān)系與不等式，利用特殊值法進行求解更加簡便，此題是一道基礎(chǔ)題3.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第十五日所織尺數(shù)為（ ）A. 13B. 14C. 15

3、D. 16【答案】C【解析】由題意得等差數(shù)列中 求 ，選C.4.已知滿足，則的形狀是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】試題分析：因為對于三角形形狀的判定要不就通過角，要不就通過邊，那么可以利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，由，得到sinC2R=2sinA2RcosB.化簡得到為sinC=2cosBsinA=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,這樣可得到sin(B-A)=0，故有A=B因此該三角形為等腰三角形，選A考點：本試題主要考查了正弦定理、兩角和差的三角公式和三角形的內(nèi)角和定理的綜合運用，點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于

4、邊化角后，能運用內(nèi)角和定理中sinA=sin(C+B),化簡變形得到結(jié)論。5.不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由分式不等式解法求解即可【詳解】由題知,則,解得,故不等式解集為故選：B【點睛】本題考查分式不等式解法，熟記解法，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，則 （ ）A. 4B. -4C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由等差，等比數(shù)列性質(zhì)得及的值，即可求解【詳解】由等差，等比數(shù)列性質(zhì)知，=故 =4故選：C【點睛】本題考查等差，等比數(shù)列性質(zhì)，熟記性質(zhì)準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7.在中，是的中點，則等于（ ）A. B. C.

5、D. 【答案】B【解析】設(shè) ，則 選B.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.8.若點都在函數(shù)圖象上，則數(shù)列的前n項和最小時的n等于( )A. 7或8B. 7C. 8D. 8或9【答案】A【解析】【分析】由題得,進一步求得的前n項,利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可求解【詳解】由題得,則的前n項=,對稱軸為x=,故的前n項和最小時的n

6、等于7或8故選：A【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式，二次函數(shù)求最值，熟記公式，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題9.各項均正的數(shù)列滿足，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將兩邊同除以，構(gòu)造等差數(shù)列即可求【詳解】兩邊同除以，得,則為首項為2，公差為1 的等差數(shù)列，則故選：B【點睛】本題考查數(shù)列通項公式，構(gòu)造法，等差數(shù)列通項公式，是中檔題10.各項均為實數(shù)的等比數(shù)列an前n項之和記為 ,若, 則等于A. 150B. -200C. 150或-200D. -50或400【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式化簡S1010，S3070，分別求得關(guān)于q的兩個關(guān)系式，可求得公

7、比q的10次方的值，再利用前n項和公式計算S40即可。【詳解】因為an是等比數(shù)列，所以有，二式相除得，整理得解得或（舍）所以有=所以=150。答案選A?！军c睛】此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的前n項和的公式化簡求值，是一道綜合題，有一定的運算技巧，需學生在練習中慢慢培養(yǎng)。11.等比數(shù)列各項均正，其前n項和，則的值為（ ）A. B. C. D. .【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列求得值及通項公式，即可求解【詳解】n2,為等比數(shù)列，滿足上式，故a=1,故所以，則故選：D【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式及求和公式，利用等比數(shù)列求得a值是解題關(guān)鍵，是中檔題12.若數(shù)列的通項公式分別為，且，對任意恒成

8、立，則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】對n分奇偶，討論恒成立即可【詳解】，故當n為奇數(shù)，-a2+,又2+單調(diào)遞減，故2+，故- a2，解a當n為偶數(shù)，又2-單調(diào)遞增，故2-，故，綜上a故選：D【點睛】本題考查數(shù)列綜合，考查數(shù)列單調(diào)性，分類討論思想，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題第卷（非選擇題，共90分）二、填空題 (本大題共4小題，每小題5分，共20分.)13.已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則該三角形的外接圓半徑等于_；【答案】1【解析】A，B，C成等差數(shù)列，所以 14.如圖，嵩山上原有一條筆直的山路，現(xiàn)

9、在又新架設(shè)了一條索道，小李在山腳處看索道，發(fā)現(xiàn)張角；從處攀登4千米到達處，回頭看索道，發(fā)現(xiàn)張角；從處再攀登8千米方到達處，則索道的長為_千米 【答案】400【解析】試題分析：在中，米，得中，（米），在中，故答案為：米考點：解三角形實際應(yīng)用.【方法點晴】本題以山上的索道為例，求嵩山的一條索道之長著重考查了三角形內(nèi)角和定理、利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題在中根據(jù)，利用內(nèi)角和定理算出，從而，利用余弦定理算出然后在中，根據(jù)兩邊、長和夾角，利用余弦定理解出值，從而得出本題答案15.數(shù)列滿足，,則數(shù)列的前21項和為_.【答案】66【解析】【分析】利用并項求和即可【詳解】由題=66故答案為66【點

10、睛】本題考查等差數(shù)列求和，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題16.若ABC的內(nèi)角滿足，則的最小值是 【答案】【解析】試題分析：由正弦定理有,所以,由于,故,所以的最小值是.考點：1.正弦定理；2.余弦定理的推論；3.均值不等式.【思路點晴】本題主要考查了余弦定理的推論及均值不等式求最值，屬于中檔題.在本題中，由正弦定理把化為，再由余弦定理推論求出的表達式，還用到用均值不等式求出，再算出結(jié)果來.三、解答題（本大題共6小題，共70分.）17.在中，角的對邊分別為，且 （1）求角A；（2）若，且的面積為，求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理得即可求A; （2）由面積公式求得c,再

11、由余弦定理求a即可【詳解】（1），又,所以；又因為，所以. （2），又，所以，所以，所以?！军c睛】本題考查余弦定理，三角形面積公式，熟記定理，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題18.已知不等式的解集為（I）求,的值；（II）解不等式.【答案】（I）；（II）當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得a0且b和1是方程ax23x+20的兩根，據(jù)此可得方程組，解可得a、b的值；（2）不等式可化為，即，討論c的范圍，求出不等式的解集，綜合即可得答案【詳解】（1）由題意可知解得a=1，b=2綜上所述，結(jié)論是：a=1，b=2（2）不等式即所以若，不等式的解集

12、為若，不等式的解集為R若，不等式解集為綜上所述，結(jié)論是：若，不等式的解集為若，不等式的解集為R若，不等式的解集為【點睛】（1）二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標、二次不等式解集的端點值、一元二次方程的解是同一個量的不同表現(xiàn)形式。（2）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體有關(guān)二次函數(shù)的問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法19.如圖，半圓O的直徑長為2，A為直徑的延長線上的一點，B為半圓周上的動點，以AB為邊，向半圓外作等邊，設(shè)， 四邊形OACB的面積為。（1）求表達式；（2）求的

13、最大值【答案】（1）； （2）.【解析】分析】（1）由余弦定理得,則可求；（2）利用的范圍，求最值即可【詳解】（1）在中，,所以 （2）因為 ，所以，所以當即時，的最大值為.【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，三角恒等變換，函數(shù)性質(zhì)，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題20.已知數(shù)列的前n項和為 ，且，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當時，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1； （2）.【解析】【分析】(1)由,得 ,兩式作差得,進而推得，檢驗，即可求解；(2)利用，裂項求和即可【詳解】(1), ,得,所以,又,故 (2)，所以，所以【點睛】本題考查數(shù)列通項公式及求和，遞推關(guān)系的應(yīng)用，裂項求和，準確計算是關(guān)鍵，是

14、中檔題21.在銳角中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為且（1）求角A；(2)若的面積為，求實數(shù)的范圍。【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和兩角差的正弦公式求得，得A可求；(2)由面積公式得，進而得由三角形內(nèi)角和表示為C的函數(shù)求解即可【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以，又A為銳角，；(2)因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，故【點睛】本題考查正弦定理及三角恒等變換，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，熟記公式及定理，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題22.已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足： ， ，數(shù)列的前n項和為（1）求數(shù)列的前n項和；（2）求數(shù)列的通項公式及前n項和； （3）記集合，若M的子集個數(shù)為32, 求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）（3）【解析】試題分析：利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式即可得出，先得