知識(shí)講解 正態(tài)分布(理);

1、 正態(tài)分布 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。2. 了解正態(tài)曲線與正態(tài)分布的性質(zhì)?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)一、概率密度曲線與概率密度函數(shù)1概念：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，位于軸上方，落在任一區(qū)間（a，b內(nèi)的概率等于它與軸、直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分），這條概率曲線叫做的概率密度曲線，以其作為圖象的函數(shù)叫做的概率密度函數(shù)。2、性質(zhì)：概率密度函數(shù)所取的每個(gè)值均是非負(fù)的。夾于概率密度的曲線與軸之間的“平面圖形”的面積為1的值等于由直線，與概率密度曲線、軸所圍成的“平面圖形”的面積。要點(diǎn)二、正態(tài)分布1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：，（

2、）其中x是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.2正態(tài)分布（1）定義如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)隨機(jī)變量滿足：，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。記為。（2）正態(tài)分布的期望與方差若，則的期望與方差分別為：，。要點(diǎn)詮釋：（1）正態(tài)分布由參數(shù)和確定。參數(shù)是均值，它是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計(jì)。是標(biāo)準(zhǔn)差，它是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)。（2）經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布例如長(zhǎng)度測(cè)量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體

3、重、肺活量等；一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布 要點(diǎn)三、正態(tài)曲線及其性質(zhì)：1. 正態(tài)曲線如果隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。2正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于軸上方，與軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；曲線在時(shí)達(dá)到峰值；當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無(wú)限靠近.曲線與軸之間的面積為1；決定曲線的位置和

4、對(duì)稱性；當(dāng)一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。確定曲線的形狀；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示。要點(diǎn)詮釋：性質(zhì)說(shuō)明了函數(shù)具有值域（函數(shù)值為正）及函數(shù)的漸近線（x軸）性質(zhì)并且說(shuō)明了函數(shù)具有對(duì)稱性；性質(zhì)說(shuō)明了函數(shù)在x=時(shí)取最值；性質(zhì)說(shuō)明越大，總體分布越分散，越小，總體分布越集中要點(diǎn)四、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率1. 隨機(jī)變量取值的概率與面積的關(guān)系 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b（ab），當(dāng)隨機(jī)變量在區(qū)間（a，b上取值時(shí)，其取值的概率與正態(tài)曲線與直線x=a

5、，x=b以及x軸所圍成的圖形的面積相等如圖（1）中的陰影部分的面積就是隨機(jī)變量孝在區(qū)間（a，b上取值的概率 一般地，當(dāng)隨機(jī)變量在區(qū)間（，a）上取值時(shí)，其取值的概率是正態(tài)曲線在x=a左側(cè)以及x軸圍成圖形的面積，如圖（2）隨機(jī)變量在（a，+）上取值的概率是正態(tài)曲線在x=a右側(cè)以及x軸圍成圖形的面積，如圖（3） 根據(jù)以上概率與面積的關(guān)系，在有關(guān)概率的計(jì)算中，可借助與面積的關(guān)系進(jìn)行求解2、正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值：；。上述結(jié)果可用下圖表示：要點(diǎn)詮釋：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則落在內(nèi)的概率約為0.997，落在之外的概率約為0.003，一般稱后者為小概率事件，并認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能

6、發(fā)生。一般的，服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量通常只取之間的值，簡(jiǎn)稱為原則。3、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率方法（1）數(shù)形結(jié)合，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及曲線與軸之間面積為1。正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，與對(duì)稱的區(qū)間上的概率相等。例如；若，則。(2)利用正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：；?！镜湫屠}】類型一、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)例1. 下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（ ）a，（）都是實(shí)數(shù)b c d 【思路點(diǎn)撥】本題可對(duì)照正態(tài)密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式判斷【解析】 正態(tài)密度函數(shù)為：， 其中指數(shù)部分的應(yīng)與系數(shù)的分母處的保持一致，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負(fù)數(shù) 選項(xiàng)a有兩處錯(cuò)誤，分別是錯(cuò)為，指數(shù)錯(cuò)為正數(shù)選項(xiàng)c，從系數(shù)可得=2，而從

7、指數(shù)處可得，顯然不符選項(xiàng)d中指數(shù)為正，錯(cuò)誤所以正確答案為b 【總結(jié)升華】注意函數(shù)的形式特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】設(shè)一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與方差分別是（ ）a10與8 b10與4 c8與10 d2與10【答案】在該正態(tài)分布中，=10，=2，則e(x)=10，d(x)=4，故選b?！咀兪?】給出下列三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)找出其均值和標(biāo)準(zhǔn)差 （）（）（）【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，0.5 【變式3】正態(tài)總體為1概率密度函數(shù)是 （ ）a奇函數(shù) b偶函數(shù) c非奇非偶函數(shù) d既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】b。因?yàn)樗赃xb?！咀?/p>

8、式4】一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10 mm的零件，現(xiàn)在從中抽測(cè)10個(gè)，它們的尺寸分別如下（單位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1如果機(jī)床生產(chǎn)零件的尺寸x服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式【答案】求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，只要求出參數(shù)和即可，而即樣本均值，即樣本標(biāo)準(zhǔn)差依題意得， 即，所以x的概率密度函數(shù)為類型二、正態(tài)曲線 例2. 如圖所示，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫(xiě)出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差 【思路點(diǎn)撥】 由正態(tài)曲線的圖像可知，該曲線的對(duì)稱軸為x=20，最大值為，因此，=20，由可求得的值 【

9、解析】 從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對(duì)稱，最大值是，所以=20 由，解得 于是概率密度函數(shù)的解析式是，x（，+）總體隨機(jī)變量的期望是=20，方差是【總結(jié)升華】 利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的實(shí)質(zhì)性兩點(diǎn)：一是對(duì)稱軸x=，一是最值這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)縱、便確定了，代入p（x）中便可求出相應(yīng)的解析式舉一反三：【變式1】 關(guān)于正態(tài)密度曲線性質(zhì)的敘述：曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱，整條曲線在x軸上方；曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù)；曲線在x=時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低；曲線的對(duì)稱位置由確定，曲線的形狀由確定，越大曲線越“矮胖”，反之，曲線越

10、“高瘦” 其中敘述正確的有（ ） a b c d【答案】 b 根據(jù)曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱，只有當(dāng)=0時(shí)函數(shù)才是偶函數(shù)，故錯(cuò)利用排除法選b【變式2】如圖，兩個(gè)正態(tài)分布曲線圖：1為，2為，則 ， （填大于，小于）【答案】，。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。【變式3】如圖是三個(gè)正態(tài)分布xn（0，0.25），yn（0，1），zn（0，4）的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量x，y，z對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的_、_、_?！敬鸢浮?。【變式4】已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率是05，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線在 時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)?！敬鸢浮?.2。由于正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由題意知。類型三、正態(tài)分布的計(jì)算例3已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2，

11、2)，p(4)0.84，則p(0)()a0.16b0.32c0.68 d0.84【思路點(diǎn)撥】可畫(huà)出正態(tài)曲線，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性解決?！窘馕觥縫(4)0.84，2，p(0)p(4)10.840.16，故選a.【總結(jié)升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對(duì)稱性的運(yùn)用。舉一反三：【變式1】（1），和的值各是多少？（2），和的值各是多少？【答案】（1）比照（），時(shí)，=0，=1。（2）比照（），時(shí)，=1，所以 =1，=3?！咀兪?】在某次測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則在（0，2）內(nèi)取值的概率為_(kāi)?！敬鸢浮?.8 服從正態(tài)分布，在（0，1）與（1，2）

12、內(nèi)取值的概率相同，均為0.4。在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.4+0.4=0.8?！咀兪?】設(shè)隨機(jī)變量xn（0，1），（1）p(ax0)=p(0xa)(a0)；（2）p(x0)=0.5；（3）已知p(|x|1)=0.6826，則p(x1)=0.1587；（4）已知p(|x|2)=0.9544，則p(x2)=0.9772；（5）已知p(|x|3)=0.9974，則p(x3)=0.9987。其中正確的有（ ）a2個(gè) b3個(gè) c4個(gè) d5個(gè)【答案】d；均正確，充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及其意義。 例4. 設(shè)n（1，22），試求： （1）p（13）； （2）p（35）； （3）p（5）【思路點(diǎn)撥】 要求隨

13、機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖像性質(zhì)以及課本中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值【解析】 n（1，22），=1，=2，（1）p（13）=p（121+2）=p（）=0.683（2）p（35）=p（31），p（35）（3）p（5）=p（3），【總結(jié)升華】 在求隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率時(shí)，可以首先把隨機(jī)變量的取值轉(zhuǎn)化到區(qū)間、以及，然后利用在上的概率約為0.683，在上的概率約為0.954，在上的概率約為0.997舉一反三：【變式1】，求?！敬鸢浮繒r(shí)，=2，=5，【變式2】若n（5，1），求p（57）【答案】n（5，1），正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為=5，=1，該正態(tài)密度曲線關(guān)于x=5對(duì)稱

14、 【變式3】設(shè)。（1）求p(11)；（2）求p(02)?！敬鸢浮浚?）時(shí)，。（2），正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱，。類型四、正態(tài)分布的應(yīng)用例5. 某年級(jí)的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布n（70，102），如果規(guī)定低于60分為不及格，那么 （1）成績(jī)不及格的人數(shù)占多少？ （2）成績(jī)?cè)?090分內(nèi)的學(xué)生占多少？ 【思路點(diǎn)撥】 本題考查正態(tài)密度曲線對(duì)稱性及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱，故本題可利用對(duì)稱性及特殊值求解 【解析】（1）設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量x， 則xn（70，102），其中=70，=10 成績(jī)?cè)?080分之間的學(xué)生人數(shù)的概率為 p（7010x7

15、0+10）=0.683， 不及格的人數(shù)占 （10.683）=0.1585 （2）p（7020x70+20）=0.954， 成績(jī)?cè)?090分內(nèi)的學(xué)生占 p（50x90）p（60x80）=0.1355 【總結(jié)升華】 本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對(duì)稱性的運(yùn)用及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律舉一反三：【變式1】工廠制造的某機(jī)械零件尺寸x服從正態(tài)分布n，問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？【答案】xn，4，.不屬于區(qū)間(3,5)的概率為p(x3)p(x5)1p(3x5)1p(41x41)1p(3x3)10.997 0.0

16、031 0000.0033(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)【變式2】商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某種包裝的大米質(zhì)量服從正態(tài)分布n（10，0.12）（單位：kg）?，F(xiàn)進(jìn)1000袋這種大米，質(zhì)量不在9.710.3 kg的大米大約有多少袋？【答案】由正態(tài)分布n（10，0.12），知=10，=0.1，質(zhì)量在9.710.3 kg的概率為p(1030.1x10+30.1)=0.997質(zhì)量不在9.710.3 kg的概率為p=10.997=0.003。質(zhì)量不在9.710.3 kg的大米大約有10000.003=3袋?！咀兪?】在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)x服從一個(gè)正態(tài)分布，即xn(90，100)。（1）試求考試成績(jī)x位于區(qū)間（70，110）內(nèi)的概率是多少？（2）若這次考試共有2000