二次函數(shù)與一元二次方程1課件

1、二次函數(shù)與一元二次方程1,22.2二次函數(shù)與一元二次方程,第二十二章 二次函數(shù),導(dǎo)入新課,講授新課,當(dāng)堂練習(xí),課堂小結(jié),二次函數(shù)與一元二次方程1,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.通過探索，理解二次函數(shù)與一元二次方程(不等式）之間的聯(lián)系.(難點） 2.能運用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)確定方程的解或不等式的解集.（重點） 3.了解用圖象法求一元二次方程的近似根.,二次函數(shù)與一元二次方程1,導(dǎo)入新課,情境引入,問題 如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關(guān)系： h=20t-5t2， 考慮以下問

2、題：,二次函數(shù)與一元二次方程1,講授新課,（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時間？,15,1,3,當(dāng)球飛行1s或3s時，它的高度為15m.,解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.,你能結(jié)合上圖，指出為什么在兩個時間求的高度為15m嗎？,h=20t-5t2,二次函數(shù)與一元二次方程1,（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時間？,你能結(jié)合圖形指出為什么只在一個時間球的高度為20m？,20,2,解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2.,當(dāng)球飛行2秒時，它的高度為20米.,h=20t-5t2,二

3、次函數(shù)與一元二次方程1,（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？,你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達(dá)到20.5m的高度?,20.5,解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因為(-4)2-4 4.10, 所以方程無解. 即球的飛行高度達(dá)不到20.5米.,h=20t-5t2,二次函數(shù)與一元二次方程1,（4）球從飛出到落地要用多少時間？,0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4.,當(dāng)球飛行0秒和4秒時，它的高度為0米.,即0秒時球地面飛出，4秒時球落回地面.,h=20t-5t2,二次函數(shù)與一元二次方程1,（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.

4、5m？如果能，需要多少飛行時間？,你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達(dá)到20.5m的高度?,20.5,解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因為(-4)2-4 4.10, 所以方程無解. 即球的飛行高度達(dá)不到20.5米.,h=20t-5t2,二次函數(shù)與一元二次方程1,從上面發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?,一般地，當(dāng)y取定值且a0時，二次函數(shù)為一元二次方程.,如：y=5時，則5=ax2+bx+c就是一個一元二次方程.,二次函數(shù)與一元二次方程1,所以二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切,例如，已知二次函數(shù)y = x24x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次

5、方程x24x=3（即x24x+3=0）,反過來，解方程x24x+3=0 又可以看作已知二次函數(shù) y = x24x+3 的值為0，求自變量x的值,二次函數(shù)與一元二次方程1,思考 觀察思考下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x取公共點的橫坐標(biāo)時，函數(shù)的值是多少？由此你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.,二次函數(shù)與一元二次方程1,觀察圖象，完成下表：,0個,1個,2個,x2-x+1=0無解,0,x2-6x+9=0，x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0，x1=-2,x2=1,二次函數(shù)與

6、一元二次方程1,知識要點,有兩個交點,有兩個不相等的實數(shù)根,b2-4ac 0,有兩個重合的交點,有兩個相等的實數(shù)根,b2-4ac = 0,沒有交點,沒有實數(shù)根,b2-4ac 0,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關(guān)系,二次函數(shù)與一元二次方程1,例1：已知關(guān)于x的二次函數(shù)ymx2(m2)x2(m0) (1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點； (2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值,(1)證明：m0， (m2)24m2m24m48m(m2)2. (m2)20， 0， 此拋物線與x軸總有兩個交點；,二次函數(shù)與一

7、元二次方程1,（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？,你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達(dá)到20.5m的高度?,20.5,解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因為(-4)2-4 4.10, 所以方程無解. 即球的飛行高度達(dá)不到20.5米.,h=20t-5t2,二次函數(shù)與一元二次方程1,(2)解：令y0，則(x1)(mx2)0， 所以 x10或mx20， 解得 x11，x2 . 當(dāng)m為正整數(shù)1或2時，x2為整數(shù)，即拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù) 所以正整數(shù)m的值為1或2.,例1：已知關(guān)于x的二次函數(shù)ymx2(m2)x2(m0) (

8、1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點； (2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值,二次函數(shù)與一元二次方程1,變式：已知：拋物線yx2axa2. (1)求證：不論a取何值時，拋物線yx2axa2與x軸都有兩個不同的交點； (2)設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和為3，求a的值,(1)證明：a24(a2)(a2)240， 不論a取何值時，拋物線yx2axa2與x軸都有兩個不同的交點； (2)解：x1x2a，x1x2a2， x1(2)x2(2)(x1x2)22x1x2a22a43， a1.,二次函數(shù)與一元二次方程1,

9、例2如圖，丁丁在扔鉛球時，鉛球沿拋物線 運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度. （1）當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是多少？ （2）鉛球離地面的高度能否達(dá)到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？ （3）鉛球離地面的高度能否達(dá) 到3m？為什么？,二次函數(shù)與一元二次方程1,解 （1）由拋物線的表達(dá)式得 即 解得 即當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始 位置的水平距離是1m或5m.,（1）當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是多少？,二次函數(shù)與一元二次方程1,（2）鉛球離地面的高度能否達(dá)到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？

10、,（2）由拋物線的表達(dá)式得 即 解得 即當(dāng)鉛球離地面的高度為2.5m時，它離初始位 置的水平距離是3m.,二次函數(shù)與一元二次方程1,（3）由拋物線的表達(dá)式得 即 因為 所以方程無實根. 所以鉛球離地面的高度不能達(dá)到3m.,（3）鉛球離地面的高度能否達(dá)到3m？為什么？,二次函數(shù)與一元二次方程1,一元二次方程與二次函數(shù)緊密地聯(lián)系起來了.,二次函數(shù)與一元二次方程1,例3：求一元二次方程 的根的近似值（精確到0.1）.,分析：一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是拋物線 y=x-2x-1 與x軸的交點的橫坐標(biāo)，因此我們可以先畫出這條拋物線，然后從圖上找出它與x軸的交點的橫坐標(biāo)，這種解一元二次方程的方

11、法叫作圖象法.,二次函數(shù)與一元二次方程1,解：畫出函數(shù) y=x-2x-1 的圖象（如下圖），由圖象可知，方程有兩個實數(shù)根，一個在-1與0之間,另一個在2與3之間.,二次函數(shù)與一元二次方程1,先求位于-1到0之間的根，由圖象可估計這個根是-0.4或-0.5，利用計算器進(jìn)行探索，見下表：,觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x分別取-0.4和-0.5時，對應(yīng)的y由負(fù)變正，可見在-0.5與-0.4之間肯定有一個x使y=0，即有y=x2-2x-1的一個根，題目只要求精確到0.1，這時取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但當(dāng)x=-0.4時更為接近0.故x1-0.4. 同理可得另一近似值為x22.4.,二次函數(shù)與一元

12、二次方程1,一元二次方程的圖象解法,利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.,(1)用描點法作二次函數(shù) y=2x2+x-15的圖象；,(2)觀察估計二次函數(shù) y=2x2+x-15的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)；,由圖象可知,圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標(biāo)一個是-3,另一個在2與3之間,分別約為-3和2.5(可將單位長再十等分,借助計算器確定其近似值);,(3)確定方程2x2+x-15=0的解;,由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根為:x1-3,x22.5.,二次函數(shù)與一元二次方程1,例4:已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2bxc0的近似根為(

13、) Ax12.1，x20.1 Bx12.5，x20.5 Cx12.9，x20.9 Dx13，x21,解析：由圖象可得二次函數(shù)yax2bxc圖象的對稱軸為x1，而對稱軸右側(cè)圖象與x軸交點到原點的距離約為0.5，x20.5；又對稱軸為x1，則 1，x12(1)0.52.5.故x12.5，x20.5.故選B.,B,二次函數(shù)與一元二次方程1,解答本題首先需要根據(jù)圖象估計出一個根，再根據(jù)對稱性計算出另一個根，估計值的精確程度，直接關(guān)系到計算的準(zhǔn)確性，故估計盡量要準(zhǔn)確,二次函數(shù)與一元二次方程1,問題1 函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _ _; 不等式ax2+bx+

14、c0的解集 是_; 不等式ax2+bx+c0的解集 是_.,y,x1=-1， x2=3,x3,-1x3,合作探究,二次函數(shù)與一元二次方程1,拓廣探索：,函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 _; 不等式ax2+bx+c2的解集是_; 不等式ax2+bx+c2的解集是_.,3,-1,O,x,2,(4,2),(-2,2),x1=-2， x2=4,x4,-2x4,y,二次函數(shù)與一元二次方程1,問題2：如果不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x2 的一切實數(shù)，那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與 x軸有_ 個交點，坐標(biāo)是_.方程ax2+bx+c=0的根是_.,1

15、,(2,0),x=2,2,O,x,二次函數(shù)與一元二次方程1,問題3：如果方程ax2+bx+c=0 （a0）沒有實數(shù)根，那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與 x軸有_個交點； 不等式ax2+bx+c0的解集是多少？,0,解：（1）當(dāng)a0時, ax2+bx+c0無解；,（2）當(dāng)a0時, ax2+bx+c0的解集是一切實數(shù).,3,-1,O,x,二次函數(shù)與一元二次方程1,試一試：利用函數(shù)圖象解下列方程和不等式: (1) -x2+x+2=0; -x2+x+20; -x2+x+20; x2-4x+40; -x2+x-20.,x1=-1 , x2=2,1 x2,x1-1 , x22,x2-4x+4=0,x=

16、2,x2的一切實數(shù),x無解,-x2+x-2=0,x無解,x無解,x為全體實數(shù),二次函數(shù)與一元二次方程1,知識要點,有兩個交點x1,x2 （x1x2）,有一個交點x0,沒有交點,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標(biāo)與一元二次不等式的關(guān)系,y0，x1xx2. y0，x2x或xx2 .,y0，x1xx2. y0，x2x或xx2.,y0.x0之外的所有實數(shù)；y0，無解,y0.x0之外的所有實數(shù)；y0，無解.,y0，所有實數(shù)；y0，無解,y0，所有實數(shù)；y0，無解,二次函數(shù)與一元二次方程1,判斷方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c為常數(shù))一個解x的范圍是（ ） A. 3 x 3

17、.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,1.根據(jù)下列表格的對應(yīng)值:,當(dāng)堂練習(xí),二次函數(shù)與一元二次方程1,2若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖象如圖所示，且關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解x1=3，則另一個解x2= ；,-1,3.一元二次方程 3x2+x10=0的兩個根是x1=2 ，x2= ，那么二次函數(shù) y= 3x2+x10與x軸的交點坐標(biāo)是 .,(-2，0) ( ，0),二次函數(shù)與一元二次方程1,4.若一元二次方程 無實根，則拋物線 圖象位于（ ） A.x軸上方 B.第一、二、三象限 C.x軸下方 D.第二、三

18、、四象限,A,5.二次函數(shù)ykx26x3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是() Ak3 Bk3且k0 Ck3 Dk3且k0,D,二次函數(shù)與一元二次方程1,6.已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點，求k的取值范圍,解：當(dāng)k3時，函數(shù)y2x1是一次函數(shù) 一次函數(shù)y2x1與x軸有一個交點， k3； 當(dāng)k3時，y(k3)x22x1是二次函數(shù) 二次函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點， b24ac0. b24ac224(k3)4k16， 4k160.k4且k3. 綜上所述，k的取值范圍是k4.,二次函數(shù)與一元二次方程1,7.某學(xué)校初三年級的一場籃球比賽中，如圖，隊員甲正在投籃，已知球出手時距地面 米，與籃框中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時