高三數(shù)學(xué)培優(yōu)專題練習(xí)4：恒成立問(wèn)題

1、培優(yōu)點(diǎn)四 恒成立問(wèn)題1參變分離法例1：已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是_【答案】【解析】，其中，只需要令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，2數(shù)形結(jié)合法例2：若不等式對(duì)于任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出在的圖像，扮演的角色為對(duì)數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關(guān)系可得，觀察圖像進(jìn)一步可得只需時(shí)，即，所以3最值分析法例3：已知函數(shù)，在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍_【答案】【解析】恒成立即不等式恒成立，令，只需即可，令（分析的單調(diào)性）當(dāng)時(shí) 在單調(diào)遞減，則(思考：為什么以作為分界點(diǎn)討論？因?yàn)檎业?，若要不等式成立，那么一定從處起要增（不一定在上恒增，但起碼存在一

2、小處區(qū)間是增的），所以時(shí)導(dǎo)致在處開始單減，那么一定不符合條件由此請(qǐng)?bào)w會(huì)零點(diǎn)對(duì)參數(shù)范圍所起的作用）當(dāng)時(shí)，分是否在中討論（最小值點(diǎn)的選?。┤?，單調(diào)性如表所示，（1）可以比較，的大小找到最小的臨界值，再求解，但比較麻煩由于最小值只會(huì)在，處取得，所以讓它們均大于0即可（2）由于，并不在中，所以求得的只是臨界值，臨界值等于零也符合條件）若，則在上單調(diào)遞增，符合題意，綜上所述：對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】若，即有，分別作出函數(shù)和直線的圖象，由直線與曲線相切于原點(diǎn)時(shí)，則，解得，由直線繞著原點(diǎn)從軸旋轉(zhuǎn)到與曲線相切，滿足條件即有，解得故選B2已知函數(shù)，

3、當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可得：，令可得：，且：，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，結(jié)合恒成立的條件可得：，求解關(guān)于的不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍是本題選擇C選項(xiàng)3若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】，在內(nèi)恒成立，所以，由于，所以，所以，故選D4已知對(duì)任意不等式恒成立（其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選A5已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】若恒

4、成立，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以故選D6當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】時(shí)，恒成立不等式等價(jià)于，設(shè)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，可知無(wú)論為何值，不等式均成立，當(dāng)時(shí)，恒成立不等式等價(jià)于，同理設(shè)，在單調(diào)遞增，綜上所述：故選C7函數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】若存在使得成立，則在內(nèi)即可，故在上單調(diào)遞減，故選A8設(shè)函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】的定義域是，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，且，故存在，使；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，解得綜上，的取值范圍是故選D9若對(duì)于任

5、意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒大于零，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，若，為任意實(shí)數(shù)，恒成立，若時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值為則要使時(shí)，恒成立，的取值范圍是，故選D10已知函數(shù)，若對(duì)任意，總有或成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得，故對(duì)時(shí)，不成立，從而對(duì)任意，恒成立，因?yàn)椋瑢?duì)任意恒成立，如圖所示，則必有，計(jì)算得出故選B11已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】不等式，即，結(jié)合可得恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故恒

6、成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；則的最小值為，據(jù)此可得實(shí)數(shù)的取值范圍為本題選擇D選項(xiàng)12設(shè)函數(shù)，其中，若有且只有一個(gè)整數(shù)使得，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)，則，當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值如下圖所示又，故；，故故當(dāng)時(shí)，滿足在直線的下方直線恒過(guò)定點(diǎn)且斜率為，要使得有且只有一個(gè)整數(shù)使得，只需，又，實(shí)數(shù)的取值范圍故選C二、填空題13設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】法一：如圖，因?yàn)楹愠闪?，則的圖像在的上方（可以有公共點(diǎn)），所以即，填法2：由題設(shè)有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有恒成立或恒成立，故或即，填14函數(shù)，其中，若

7、對(duì)任意正數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】對(duì)任意正數(shù)都有，即不等式對(duì)于恒成立設(shè)，則故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值是，所以的取值范圍是15已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以恒成立，即在上恒成立，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是16已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞減，內(nèi)層二次函數(shù)：當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，解得；當(dāng)，即時(shí)，無(wú)意義；當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，則需，無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)

8、單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)解當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞增，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，解得：綜上所述：或三、解答題17設(shè)函數(shù)，其中，（1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若，成立，求的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1），定義域?yàn)?，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)若時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，且，而，則，所以當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增因此此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，但，所以當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)綜上可知，當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)的無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的有兩個(gè)極值點(diǎn)（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合題意綜上所述，的取值范圍是18設(shè)函數(shù)，（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】