抽象函數(shù)模型化總結(jié)(珍藏版)

1、高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)抽象函數(shù)所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號(hào)表示的函數(shù)。抽象來源于具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的，高中大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象而得，解題時(shí)，若能從研究抽象函數(shù)的“模型”入手，根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù)，變抽象為具體，變陌生為熟知，?？刹聹y(cè)出抽象函數(shù)所蘊(yùn)含的重要性質(zhì)，并以此作為解題的突破口，必能為我們的解題提供思路和方法。常見的抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的初等函數(shù)模型如下:初等函數(shù)模型抽象函數(shù)性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)冪函數(shù) 二次函數(shù)（a0）f（x+y）=f（x）+f（y）

2、+2axy-c指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 或f(xm)=mf(x)余弦函數(shù)正切函數(shù) 下面從這一認(rèn)識(shí)出發(fā)，例談七種類型的抽象函數(shù)及其解法。（備注：解小題可參對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)，解大題得賦值，可在草紙上借助具體函數(shù)驗(yàn)證賦值所得結(jié)果是否正確。另并不是所有的抽象函數(shù)都能找到中學(xué)階段所學(xué)的初等函數(shù)，此時(shí)，只能通過賦值解決問題。）一以正比例函數(shù)為模型的抽象函數(shù)正比例函數(shù)是滿足函數(shù)恒等式的最常見的模型。若我們能從這個(gè)具體的模型出發(fā)，根據(jù)解題目標(biāo)展開聯(lián)想，給解題帶來了思路。例1、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，

3、當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?，2。二、以一次函數(shù)為模型的抽象函數(shù)一次函數(shù)y=ax+b是滿足函數(shù)恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常見的模型。例2、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。

4、 解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 a 3。三、以冪函數(shù)為模型的抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。由冪函數(shù)的運(yùn)算法則知是我們最熟悉的滿足恒等式的函數(shù)。例3、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)時(shí)，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在0，）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在0，）上是增函數(shù)。解：（1）令y1，則f（x）f（x）f（1）， f（1）

5、1，f（x）f（x）， f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，時(shí)，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函數(shù)。（3）f（27）9，又，又，故。四、二次函數(shù)型的抽象函數(shù)例4.定義在的函數(shù)滿足，則等于（ ） A2 B3 C6 D9解：法一;設(shè)函數(shù)為，由得到，又由，知，；法二：所以法三： 5、以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知是滿足恒等式的重要函數(shù)之一。例5、已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)0，且當(dāng)0時(shí)，1 （1）當(dāng)0時(shí)，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調(diào)性分析：由可知f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想解：（1）對(duì)于一切、R，且(0)0令=0，則(0)=1，現(xiàn)設(shè)0，則-0，f(-) 1

6、又(0)=(-)= =1 = 101（2）設(shè)，、R，則 f (9) f (x)是定義在R+上的增函數(shù) 解得：七、以三角函數(shù)為模型的抽象函數(shù)如滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函數(shù)便是以余弦函數(shù)為模型的抽象函數(shù)；而滿足f（x+y）的抽象函數(shù)，則常以正切函數(shù)為模型進(jìn)行聯(lián)想。例8、設(shè)函數(shù)滿足，且()=0，、R；求證：為周期函數(shù)，并指出它的一個(gè)周期。分析：由和=2coscos知，本題應(yīng)是以余弦函數(shù)為模型的函數(shù)解：令=+，= 則=0為周期函數(shù)且2是它的一個(gè)周期。例9、已知函數(shù)滿足，若，試求(2005)。分析：由和(+)=可知，本題應(yīng)是以正切函為模型的函數(shù)解=-(+4

7、)=是以4為周期的周期函數(shù) 又f(0)=2004=-f(2005)=-綜上所述，由抽象函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的基本函數(shù)，并由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能具有的性質(zhì) “抽象具體抽象”的模型化思考方法，借此可幫助同學(xué)們捕捉到有益的解題信息，可使抽象函數(shù)問題順利獲解。練習(xí)：1、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對(duì)都有成立，若，則=（ B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0提示：先令2. f(x)的定義域?yàn)?，?duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，則 （ ） 3. 。（2000）4對(duì)任意整數(shù)函數(shù)滿足：，若，則（c ）A.-

8、1 B.1 C. 19 D. 435.定義在的函數(shù)滿足，則（ ） A2 B3 C6 D96設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0時(shí)f(x)0.求證:()f(x)是奇函數(shù)； （）解:(1)易證f(x)是奇函數(shù)。（2）易證f(x)在(-1,0),(0,1)上是單調(diào)遞減函數(shù).參考答案（僅供參考）一、選擇題：1 解：（1）特例：滿足條件的函數(shù)，如；（2），是將函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，再右移一個(gè)單位得到，單調(diào)遞減，是將函數(shù)向左移動(dòng)一個(gè)單位得到，在關(guān)于軸對(duì)稱，單調(diào)遞減，故選。2、解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以， 關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱. 因此，關(guān)于（0，1）對(duì)稱 即

9、 故3、解：有，知中有一個(gè)小于2，一個(gè)大于2，不妨設(shè)，又由知以為對(duì)稱中心，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，故選。4、解：， 二、填空題：5、解：（1）令 再令，（2）令，略。6、解：由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，得，又由，所以，為偶函數(shù) ，令，由，得；令，由，得，7、解：由，得,8、解：，把2x-3看成函數(shù)的自變量，則得函數(shù)的一個(gè)周期為9； 所以，函數(shù)的一個(gè)周期為.9、解： 三、解答題：10、解：（1）令 再令令，得 為偶函數(shù)（2）又且在上是單調(diào)遞增函數(shù) 解得故不等式的解集為11、解：（1）令（2）任取 令令（或）函數(shù)在上單調(diào)遞減。（4）如函 數(shù) 圖 象 變 換 一 覽 表平移橫向縱向伸縮橫向縱向

10、對(duì)稱中心對(duì) 稱兩條曲 線即與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱一條曲 線若，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱斜率為1點(diǎn)點(diǎn)斜率為-1點(diǎn)點(diǎn)一條曲線若對(duì)滿足,則關(guān)于直線對(duì)稱注:由求得兩條曲線函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱注:由解得對(duì)稱軸對(duì)稱兩條曲線與關(guān)于對(duì)稱與關(guān)于軸對(duì)稱與關(guān)于軸對(duì)稱與關(guān)于對(duì)稱（反函數(shù)內(nèi)容酌情！）與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱翻 折是保留軸上方圖像，并將軸下方圖像向上翻折所得；（因?yàn)閥0）是保留軸右方圖像，并將其向左翻折所得（為偶函數(shù)）一、填空：1、平移（）向左平移個(gè)單位所得的函數(shù)為 ；向右平移個(gè)單位所得的函數(shù) 向上平移個(gè)單位所得的函數(shù) ；向下平移個(gè)單位所得的函數(shù) 2、對(duì)稱（1）兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱與關(guān)于 對(duì)稱； 與關(guān)于 對(duì)稱；與關(guān)于 對(duì)稱； 與關(guān)于

11、對(duì)稱；與關(guān)于 對(duì)稱； 與關(guān)于 對(duì)稱。（2）函數(shù)自身的對(duì)稱若，則關(guān)于 對(duì)稱；若，則關(guān)于 對(duì)稱；二、例題：1 （1）為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若的圖像向左平移一個(gè)單位得，求的解析式。（2）若的圖像向右平移二個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位，得到函數(shù)，求。2 （1）描述的圖像經(jīng)過怎樣的變化得到和。（2）描述的圖像經(jīng)過怎樣的變化得到，并求出的對(duì)稱中心。（3）描述的圖像經(jīng)過怎樣的變化得到和。3 （1）將函數(shù)的圖像按平移得到的圖像，求。（2）若函數(shù)的圖像按平移得到，求。4 圖像經(jīng)平移或翻轉(zhuǎn)后仍不能與的圖像重合的是 （ ）A B. C. D. 5根據(jù)，作出、的圖像。6（1），求關(guān)于對(duì)稱的函數(shù)。（2）求的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心。7若

12、對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立，則的圖像 （ ）A關(guān)于直線對(duì)稱 B. 關(guān)于直線對(duì)稱C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8 .分別求(1) (2)的單調(diào)增區(qū)間。9.分別畫出函數(shù)和的圖像。10 .把函數(shù)的反函數(shù)圖像向右平移2個(gè)單位就得到曲線，函數(shù)的圖像與曲線C關(guān)于直線成軸對(duì)稱，求。三、鞏固練習(xí) 1、函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的表達(dá)式為 。2、直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則_，_。3、已知函數(shù)的對(duì)稱中心是，則 。4、設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，的解析式為 。5、設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則 。6、定義在上的函數(shù)滿足條件：不是常數(shù)函數(shù)，且與對(duì)任意成立，則對(duì)于下述命題中：（1）是周期函數(shù)；（2）的圖像

13、關(guān)于直線成軸對(duì)稱；（3）的圖像關(guān)于軸成軸對(duì)稱；（4）的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。正確命題的序號(hào)是 。7、定義在上的函數(shù)，對(duì)任何都有，這個(gè)函數(shù)的圖象的幾何特征是 （ ）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8、函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得圖象，再將向上平移一個(gè)單位得圖象，關(guān)于直線的對(duì)稱圖象是，則的解析式為 （ ） 9、已知圖中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，則圖對(duì)應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四個(gè)式子中，只可能是（ ）10、函數(shù)的圖象大致是 （ ）11、設(shè)函數(shù)。（1）作出在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；12、設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，已知時(shí)，求當(dāng)上的解析式。13、已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線與有四個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）討論關(guān)于的方程解的情況。參考答案：一、 略二、 例題答案1（1）