試題安徽省六安市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、六安一中2019屆高考模擬卷理科數(shù)學(xué)（三）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.“”是“復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由題意得，是純虛數(shù)，故是必要不充分條件，故選B.考點：1.復(fù)數(shù)的概念；2.充分必要條件2.若集合，且，則集合可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合選項滿足要求故選A.3.等差數(shù)列中，是一個與n無關(guān)的常數(shù)，則該常數(shù)的可能值的集合為（ ）A. B. C. D. 【答案】

2、B【解析】設(shè)公差為d,顯然d=0時，是一個與n無關(guān)的常數(shù)，等于1,；時，需使是一個與n 無關(guān)的常數(shù)；即對于任意 等于同一個常數(shù)；則必有此時d=1,。故選B4.西部某縣委將位大學(xué)生志愿者（男女）分成兩組,分配到兩所小學(xué)支教,若要求女生不能單獨成組,且每組最多人,則不同的分配方案共有（ ）A. 種B. 種C. 種D. 種【答案】C【解析】試題分析：分組的方案有3、4和2、5兩類，第一類有種;第二類有種，所以共有N=68+36=104種不同的方案.考點：排列組合的綜合應(yīng)用5.已知實數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：作出不等式組不等式的平面區(qū)域如圖所示，表

3、示的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點的斜率加上2因為、，所以，所以由圖知或，所以或，即或，故選D考點：簡單的線性規(guī)劃問題6.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為、高為的圓錐的，所以該幾何體的體積，故選D.考點：三視圖.7.設(shè)命題，；命題，中至少有一個不小于2，則下列命題為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：因為,在單調(diào)遞增,所以假，若都小于，則，又根據(jù)基本不等式可得,矛盾，真, 根據(jù)真值表知為真,故選B.考點：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、基本不等式的應(yīng)用及反證法

4、.8.已知函數(shù)，在處取得極大值，記,程序框圖如圖所示，若輸出的結(jié)果，則判斷框中可以填人的關(guān)于的判斷條件是（ ）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】B【解析】試題分析：，程序框圖的作用是求其前項和，由于，故再循環(huán)一次就滿足，故填.考點：算法與程序框圖【思路點晴】本題考查裂項相消法，把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)項相互抵消，于是前項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法.適用于類似（其中是各項不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項相消法求和.9.已知，為平面上三個不共線的定點，平面上點滿足（是實數(shù)），且是單位向

5、量，則這樣的點有（ ）A. 0個B. 1個C. 2個D. 無數(shù)個【答案】C【解析】【分析】本題首先可以設(shè)出三點的坐標(biāo)，然后通過表示出點的坐標(biāo)并利用點坐標(biāo)與是單位向量得出關(guān)于的方程，最后通過判斷方程解的個數(shù)即可得出的位置個數(shù)?！驹斀狻恳詾樵c建立坐標(biāo)系，設(shè)、，則，因為，所以，所以所以所以，因為是單位向量，所以因為為平面上三個不共線的三點，所以，顯然有兩解，故滿足條件的有兩個，故選C?！军c睛】本題考查了向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了向量的坐標(biāo)表示、向量的運算、單位向量的相關(guān)性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。10.已知在三棱錐中，平面平面，若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表

6、面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：由題意得，為截面圓的直徑，且，設(shè)球心到平面的距離為，設(shè)球的半徑為，因為，所以,因為平面平面，所以點到平面的距離為，由勾股定理可得，解得，所以球的表面積為，故選B考點：球的組合體及球的表面積的計算11.雙曲線的左焦點,離心率，過點斜率為1的直線交雙曲線的漸近線于A,B兩點，中點為,若等于半焦距，則等于（ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以設(shè)出雙曲線的左焦點坐標(biāo)并寫出過雙曲線的左焦點且斜率為1的直線方程，然后與漸近線方程聯(lián)立即可得出兩點坐標(biāo)，最后通過兩點坐標(biāo)得出中點坐標(biāo)并運用兩點間的距離公式得出算式，化

7、簡整理，即可得出結(jié)果。【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點，則過點且斜率為1的直線方程為，與漸近線方程聯(lián)立可得、，故中點坐標(biāo)為，則有，即，故選B?！军c睛】本題考查了雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的計算、雙曲線的漸近線方程、中點坐標(biāo)公式、兩點間距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與綜合性，是中檔題。12.如圖，棱長為的正方體，點在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點到平面的距離的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以通過題意找出滿足題意的所在位置，然后設(shè)，并根據(jù)二面角為寫出，即可用表示出，最后通過求導(dǎo)即可得出的最大值?！驹斀狻咳鐖D所示，取上的一點，當(dāng)

8、，垂足為時，既是所求的最大值，由題意可知，設(shè)，則，所以，令，則，由可得，所以，頂點到平面的距離的最大值是，故選B。【點睛】本題考查了解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查點到平面距離的相關(guān)性質(zhì)，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的空間思維能力，是中檔題。二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）13.的展開式中項的系數(shù)為_【答案】【解析】因，故問題轉(zhuǎn)化為求的展開式中含項的系數(shù)。又，則含項的系數(shù)分別是，故所求的展開式中項的系數(shù)為，應(yīng)填答案。14.已知某次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，則114分以上的成績所占的百分比為_（附：，）【答案】【解析】【分析】

9、本題可以通過變量在內(nèi)取值的概率約為得到成績在內(nèi)的考生所占的百分比約為，即可求出分以上的考生所占的百分比?！驹斀狻恳驗閿?shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，所以，因為變量在內(nèi)取值的概率約為，所以成績在內(nèi)的考生所占的百分比約為，所以成績在114分以上的考生所占的百分比為。【點睛】本題考查了正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)，考查了正態(tài)分布中值的確定以及正態(tài)分布的實際應(yīng)用，提高了學(xué)生對于正態(tài)分布的理解，是簡單題。15.已知為第二象限角，則的值為_.【答案】2【解析】【分析】本題首先可以利用兩角和的正弦函數(shù)公式將化簡為，然后對兩邊同時平方即可計算出的值，再利用同角三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可將轉(zhuǎn)化為，即可計算出的值，最后通過即可得出結(jié)

10、果?！驹斀狻恳驗槭堑诙笙藿?，所以，即，因為，所以,解得或，當(dāng)時，解得，因為是第二象限角，故舍去；當(dāng)時，解得或（舍去），綜上所述，?！军c睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角恒等變換的相關(guān)公式的使用以及通過角的取值范圍來確定三角函數(shù)的取值范圍，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，提高了學(xué)生對于三角函數(shù)公式的使用，是中檔題。16.已知方程有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：定義域為，令，這是一個偶函數(shù)，我們只需研究上的零點即可，此時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不合題意；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，要有兩個零點，只需，解得.考點：函數(shù)圖象與性質(zhì)，零點問題

11、【思路點晴】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.此類題目有兩種方法，一種是分離參數(shù)，但是本題分離參數(shù)法處理起來很麻煩，可以直接討論，也就是先根據(jù)奇偶性，簡化題目，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)畫出函數(shù)的草圖，討論之后可得到的范圍.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖中,已知點在邊上,且,，.(1)求的長；(2)求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)因為所以所以即在中,由余弦定理,可知，即解得或因為所以(2)在中,由正弦定理,可知又由可知所以因為所以.18.如圖，在直三棱柱中，平

12、面?zhèn)让?，且?）求證：；（2）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大小【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】(1)本題首先可以取的中點并連接，然后利用平面?zhèn)让娴玫狡矫?，再根?jù)三棱柱是直三棱柱得到，最后根據(jù)線面垂直的相關(guān)性質(zhì)得到側(cè)面，即可得出結(jié)果；(2)首先可以構(gòu)造出空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面與平面的法向量，即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)如圖，取的中點，連接.因為，所以.由平面?zhèn)让妫移矫鎮(zhèn)让?，得平面，又平面，所以，因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，又，從而?cè)面，又側(cè)面，故；(2)由(1)知且底面，所以以點為原點，以所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量，由

13、，得，令，得，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，解得，即又設(shè)平面的一個法向量為，同理可得.設(shè)銳二面角的大小為，則，由，得，所以銳二面角的大小為?！军c睛】本題考查了解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了線線垂直的證明以及二面角的求法，線線垂直可以通過線面垂直證明，而二面角則可以通過構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系并借助法向量來求解，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題。19.某商場計劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個廠家進(jìn)場試銷 天，兩個廠家提供的返利，方案如下：甲廠家每天固定返利元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利元，乙廠家無固定返利，賣出件以內(nèi)（含件）的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利元，超出件的部分每件返利元

14、，分別記錄其天內(nèi)的銷售件數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲廠家銷售件數(shù)頻數(shù)表：銷售件數(shù) 天數(shù) 乙廠家銷售件數(shù)頻數(shù)表：銷售件數(shù) 天數(shù)（1） 現(xiàn)從甲廠家試銷的天中抽取兩天，求一天銷售量大于而另一天銷售量小于的概率；（2）若將頻率視作概率，回答以下問題：記乙廠家的日返利為 （單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為商場作出選擇，并說明理由.【答案】（1）（2）見解析推薦該商場選擇乙廠家長期銷售【解析】試題分析：(1)利用題中所給數(shù)據(jù)可得一天銷售量大于而另一天銷售量小于的概率為；(2)首先確定可能的取值回味，分別求得概率值，最

15、后計算數(shù)學(xué)期望為；(3)利用題意首先求得甲的平均值，然后求解甲乙的日平均返利額即可得出結(jié)論.試題解析： 解：(1)記“抽取的兩天中一天銷售量大于 而另一天銷售量小于”為事件 ，則 (2) 設(shè)乙產(chǎn)品的日期銷售量為 ,則當(dāng)時， ；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，的所有可能取值為：的分別列為： .依題意，甲廠家的日平均銷售量為： ，所以甲廠家的日平均返利額為： 元，由得乙廠家的日平均返利額為 元，（大于 元），所以推薦該商場選擇乙廠家長期銷售.20.設(shè)橢圓：，其中長軸是短軸長的倍，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為。（I）求橢圓的方程；（II）點是橢圓上動點，且橫坐標(biāo)大于，點，在軸上，內(nèi)切于，試

16、判斷點的橫坐標(biāo)為何值時的面積最小?！敬鸢浮浚↖）；（）.【解析】【分析】(1)本題首先可以根據(jù)“長軸是短軸長的倍”得出，然后通過“過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為”得出，兩式聯(lián)立即可解出的值并求出橢圓的方程；(2)本題首先可以將三點坐標(biāo)設(shè)出，然后根據(jù)“內(nèi)切于”列出等式并求出兩點間距離，最后通過三角形面積公式即可寫出的面積并通過求導(dǎo)計算出最小值?！驹斀狻浚↖）由已知，解得：，故所求橢圓方程為：；（II）設(shè) ，.不妨設(shè)，則直線的方程為，即，又圓心到直線的距離為，即，化簡得，同理，所以是方程的兩個根，所以，因為是橢圓上的點，所以，則，令 ，則，令，化簡可得，則，令，得，而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞

17、減，當(dāng)即點的橫坐標(biāo)為時，的面積最小。【點睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了橢圓的相關(guān)性質(zhì)，考查了橢圓、直線與圓的綜合，考查了如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，考查了推理能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查了函數(shù)方程思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題。21.已知函數(shù) .（1）若 ，求曲線 在點 處的切線方程；（2）若 在 處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，求出函數(shù)在處的切線斜率，再求出切線方程；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，令，討論的單調(diào)性，對 分情況討論，得出實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時，所以曲線在點處的切線方程為.（2）由已知得，則，記，則，

18、當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在處取得極小值，滿足題意.當(dāng)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增，可得當(dāng)時，時，當(dāng)，所以在處取得極小值，滿足題意.當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，時，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，不合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.點睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、最值上的應(yīng)用，考的知識點有導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，屬于中檔題。分類討論時注意不重不漏。22.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，傾斜角為的直線過點。（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)是過點且關(guān)于直線對稱的兩條直線，與交于兩點，與交于兩點.求證：。【答案】（I），(t為參數(shù)) ；（）詳見解析.【解析】【分析】(1)可根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及參數(shù)方程的性質(zhì)得出結(jié)果；(2)首先可以通過“關(guān)于直線對稱”得出的傾斜角互補(bǔ)并設(shè)出的傾斜角，然后將直線的參數(shù)方程帶入拋物線方程并根據(jù)韋達(dá)定理得出的值，再然后使用相同的方法得出的值，即可證得?！驹斀狻?1)，(t為參數(shù))(2)因為關(guān)于直線對稱,所以的傾斜角互補(bǔ)，設(shè)的傾斜角為，則的傾斜角為，把直線(t為參數(shù))代入，整理得，根據(jù)韋達(dá)定