試題安徽省六安市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、六安一中2019屆高考模擬卷理科數(shù)學(xué)（三）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.“”是“復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由題意得，是純虛數(shù)，故是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的概念；2.充分必要條件2.若集合，且，則集合可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合選項(xiàng)滿足要求故選A.3.等差數(shù)列中，是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，則該常數(shù)的可能值的集合為（ ）A. B. C. D. 【答案】

2、B【解析】設(shè)公差為d,顯然d=0時(shí)，是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，等于1,；時(shí)，需使是一個(gè)與n 無(wú)關(guān)的常數(shù)；即對(duì)于任意 等于同一個(gè)常數(shù)；則必有此時(shí)d=1,。故選B4.西部某縣委將位大學(xué)生志愿者（男女）分成兩組,分配到兩所小學(xué)支教,若要求女生不能單獨(dú)成組,且每組最多人,則不同的分配方案共有（ ）A. 種B. 種C. 種D. 種【答案】C【解析】試題分析：分組的方案有3、4和2、5兩類，第一類有種;第二類有種，所以共有N=68+36=104種不同的方案.考點(diǎn)：排列組合的綜合應(yīng)用5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：作出不等式組不等式的平面區(qū)域如圖所示，表

3、示的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的斜率加上2因?yàn)椤?，所以，所以由圖知或，所以或，即或，故選D考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題6.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為、高為的圓錐的，所以該幾何體的體積，故選D.考點(diǎn)：三視圖.7.設(shè)命題，；命題，中至少有一個(gè)不小于2，則下列命題為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?在單調(diào)遞增,所以假，若都小于，則，又根據(jù)基本不等式可得,矛盾，真, 根據(jù)真值表知為真,故選B.考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、基本不等式的應(yīng)用及反證法

4、.8.已知函數(shù)，在處取得極大值，記,程序框圖如圖所示，若輸出的結(jié)果，則判斷框中可以填人的關(guān)于的判斷條件是（ ）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】B【解析】試題分析：，程序框圖的作用是求其前項(xiàng)和，由于，故再循環(huán)一次就滿足，故填.考點(diǎn)：算法與程序框圖【思路點(diǎn)晴】本題考查裂項(xiàng)相消法，把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和.9.已知，為平面上三個(gè)不共線的定點(diǎn)，平面上點(diǎn)滿足（是實(shí)數(shù)），且是單位向

5、量，則這樣的點(diǎn)有（ ）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題首先可以設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)表示出點(diǎn)的坐標(biāo)并利用點(diǎn)坐標(biāo)與是單位向量得出關(guān)于的方程，最后通過(guò)判斷方程解的個(gè)數(shù)即可得出的位置個(gè)數(shù)?！驹斀狻恳詾樵c(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)、，則，因?yàn)?，所以，所以所以所以，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以因?yàn)闉槠矫嫔先齻€(gè)不共線的三點(diǎn)，所以，顯然有兩解，故滿足條件的有兩個(gè)，故選C?！军c(diǎn)睛】本題考查了向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了向量的坐標(biāo)表示、向量的運(yùn)算、單位向量的相關(guān)性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。10.已知在三棱錐中，平面平面，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表

6、面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：由題意得，為截面圓的直徑，且，設(shè)球心到平面的距離為，設(shè)球的半徑為，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為，由勾股定理可得，解得，所以球的表面積為，故選B考點(diǎn)：球的組合體及球的表面積的計(jì)算11.雙曲線的左焦點(diǎn),離心率，過(guò)點(diǎn)斜率為1的直線交雙曲線的漸近線于A,B兩點(diǎn)，中點(diǎn)為,若等于半焦距，則等于（ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以設(shè)出雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)并寫出過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程，然后與漸近線方程聯(lián)立即可得出兩點(diǎn)坐標(biāo)，最后通過(guò)兩點(diǎn)坐標(biāo)得出中點(diǎn)坐標(biāo)并運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式得出算式，化

7、簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果?！驹斀狻吭O(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，與漸近線方程聯(lián)立可得、，故中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，即，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的計(jì)算、雙曲線的漸近線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與綜合性，是中檔題。12.如圖，棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點(diǎn)到平面的距離的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以通過(guò)題意找出滿足題意的所在位置，然后設(shè)，并根據(jù)二面角為寫出，即可用表示出，最后通過(guò)求導(dǎo)即可得出的最大值。【詳解】如圖所示，取上的一點(diǎn)，當(dāng)

8、，垂足為時(shí)，既是所求的最大值，由題意可知，設(shè)，則，所以，令，則，由可得，所以，頂點(diǎn)到平面的距離的最大值是，故選B。【點(diǎn)睛】本題考查了解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查點(diǎn)到平面距離的相關(guān)性質(zhì)，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的空間思維能力，是中檔題。二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）13.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)【答案】【解析】因，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)。又，則含項(xiàng)的系數(shù)分別是，故所求的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，應(yīng)填答案。14.已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，則114分以上的成績(jī)所占的百分比為_(kāi)（附：，）【答案】【解析】【分析】

9、本題可以通過(guò)變量在內(nèi)取值的概率約為得到成績(jī)?cè)趦?nèi)的考生所占的百分比約為，即可求出分以上的考生所占的百分比?！驹斀狻恳?yàn)閿?shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，所以，因?yàn)樽兞吭趦?nèi)取值的概率約為，所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的考生所占的百分比約為，所以成績(jī)?cè)?14分以上的考生所占的百分比為?！军c(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)，考查了正態(tài)分布中值的確定以及正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用，提高了學(xué)生對(duì)于正態(tài)分布的理解，是簡(jiǎn)單題。15.已知為第二象限角，則的值為_(kāi).【答案】2【解析】【分析】本題首先可以利用兩角和的正弦函數(shù)公式將化簡(jiǎn)為，然后對(duì)兩邊同時(shí)平方即可計(jì)算出的值，再利用同角三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可將轉(zhuǎn)化為，即可計(jì)算出的值，最后通過(guò)即可得出結(jié)

10、果。【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，即，因?yàn)?，所?解得或，當(dāng)時(shí)，解得，因?yàn)槭堑诙笙藿?，故舍去；?dāng)時(shí)，解得或（舍去），綜上所述，。【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角恒等變換的相關(guān)公式的使用以及通過(guò)角的取值范圍來(lái)確定三角函數(shù)的取值范圍，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，提高了學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)公式的使用，是中檔題。16.已知方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：定義域?yàn)?，令，這是一個(gè)偶函數(shù)，我們只需研究上的零點(diǎn)即可，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，要有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，解得.考點(diǎn)：函數(shù)圖象與性質(zhì)，零點(diǎn)問(wèn)題

11、【思路點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.此類題目有兩種方法，一種是分離參數(shù)，但是本題分離參數(shù)法處理起來(lái)很麻煩，可以直接討論，也就是先根據(jù)奇偶性，簡(jiǎn)化題目，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)畫(huà)出函數(shù)的草圖，討論之后可得到的范圍.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖中,已知點(diǎn)在邊上,且,，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)因?yàn)樗运约丛谥?由余弦定理,可知，即解得或因?yàn)樗?2)在中,由正弦定理,可知又由可知所以因?yàn)樗?18.如圖，在直三棱柱中，平

12、面?zhèn)让?，且?）求證：；（2）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大小【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】(1)本題首先可以取的中點(diǎn)并連接，然后利用平面?zhèn)让娴玫狡矫?，再根?jù)三棱柱是直三棱柱得到，最后根據(jù)線面垂直的相關(guān)性質(zhì)得到側(cè)面，即可得出結(jié)果；(2)首先可以構(gòu)造出空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面與平面的法向量，即可得出結(jié)果。【詳解】(1)如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?由平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让妫闷矫?，又平面，所以，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，又，從而?cè)面，又側(cè)面，故；(2)由(1)知且底面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由

13、，得，令，得，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，解得，即又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，同理可得.設(shè)銳二面角的大小為，則，由，得，所以銳二面角的大小為。【點(diǎn)睛】本題考查了解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了線線垂直的證明以及二面角的求法，線線垂直可以通過(guò)線面垂直證明，而二面角則可以通過(guò)構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系并借助法向量來(lái)求解，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題。19.某商場(chǎng)計(jì)劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請(qǐng)生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個(gè)廠家進(jìn)場(chǎng)試銷 天，兩個(gè)廠家提供的返利，方案如下：甲廠家每天固定返利元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利元，乙廠家無(wú)固定返利，賣出件以內(nèi)（含件）的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利元，超出件的部分每件返利元

14、，分別記錄其天內(nèi)的銷售件數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲廠家銷售件數(shù)頻數(shù)表：銷售件數(shù) 天數(shù) 乙廠家銷售件數(shù)頻數(shù)表：銷售件數(shù) 天數(shù)（1） 現(xiàn)從甲廠家試銷的天中抽取兩天，求一天銷售量大于而另一天銷售量小于的概率；（2）若將頻率視作概率，回答以下問(wèn)題：記乙廠家的日返利為 （單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；商場(chǎng)擬在甲、乙兩個(gè)廠家中選擇一家長(zhǎng)期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為商場(chǎng)作出選擇，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析推薦該商場(chǎng)選擇乙廠家長(zhǎng)期銷售【解析】試題分析：(1)利用題中所給數(shù)據(jù)可得一天銷售量大于而另一天銷售量小于的概率為；(2)首先確定可能的取值回味，分別求得概率值，最

15、后計(jì)算數(shù)學(xué)期望為；(3)利用題意首先求得甲的平均值，然后求解甲乙的日平均返利額即可得出結(jié)論.試題解析： 解：(1)記“抽取的兩天中一天銷售量大于 而另一天銷售量小于”為事件 ，則 (2) 設(shè)乙產(chǎn)品的日期銷售量為 ,則當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的所有可能取值為：的分別列為： .依題意，甲廠家的日平均銷售量為： ，所以甲廠家的日平均返利額為： 元，由得乙廠家的日平均返利額為 元，（大于 元），所以推薦該商場(chǎng)選擇乙廠家長(zhǎng)期銷售.20.設(shè)橢圓：，其中長(zhǎng)軸是短軸長(zhǎng)的倍，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為。（I）求橢圓的方程；（II）點(diǎn)是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)大于，點(diǎn)，在軸上，內(nèi)切于，試

16、判斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時(shí)的面積最小?！敬鸢浮浚↖）；（）.【解析】【分析】(1)本題首先可以根據(jù)“長(zhǎng)軸是短軸長(zhǎng)的倍”得出，然后通過(guò)“過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為”得出，兩式聯(lián)立即可解出的值并求出橢圓的方程；(2)本題首先可以將三點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，然后根據(jù)“內(nèi)切于”列出等式并求出兩點(diǎn)間距離，最后通過(guò)三角形面積公式即可寫出的面積并通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算出最小值?！驹斀狻浚↖）由已知，解得：，故所求橢圓方程為：；（II）設(shè) ，.不妨設(shè)，則直線的方程為，即，又圓心到直線的距離為，即，化簡(jiǎn)得，同理，所以是方程的兩個(gè)根，所以，因?yàn)槭菣E圓上的點(diǎn)，所以，則，令 ，則，令，化簡(jiǎn)可得，則，令，得，而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞

17、減，當(dāng)即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，的面積最小?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了橢圓的相關(guān)性質(zhì)，考查了橢圓、直線與圓的綜合，考查了如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，考查了推理能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查了函數(shù)方程思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題。21.已知函數(shù) .（1）若 ，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；（2）若 在 處取得極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，求出函數(shù)在處的切線斜率，再求出切線方程；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，討論的單調(diào)性，對(duì) 分情況討論，得出實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由已知得，則，記，則，

18、當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在處取得極小值，滿足題意.當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)，所以在處取得極小值，滿足題意.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，不合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、最值上的應(yīng)用，考的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，屬于中檔題。分類討論時(shí)注意不重不漏。22.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)。（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)是過(guò)點(diǎn)且關(guān)于直線對(duì)稱的兩條直線，與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn).求證：?！敬鸢浮浚↖），(t為參數(shù)) ；（）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)可根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及參數(shù)方程的性質(zhì)得出結(jié)果；(2)首先可以通過(guò)“關(guān)于直線對(duì)稱”得出的傾斜角互補(bǔ)并設(shè)出的傾斜角，然后將直線的參數(shù)方程帶入拋物線方程并根據(jù)韋達(dá)定理得出的值，再然后使用相同的方法得出的值，即可證得?！驹斀狻?1)，(t為參數(shù))(2)因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱,所以的傾斜角互補(bǔ)，設(shè)的傾斜角為，則的傾斜角為，把直線(t為參數(shù))代入，整理得，根據(jù)韋達(dá)定