高三數(shù)學(xué)培優(yōu)專題練習(xí)18：離心率

1、培優(yōu)點(diǎn)十八 離心率1離心率的值例1：設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】本題存在焦點(diǎn)三角形，由線段的中點(diǎn)在軸上，為中點(diǎn)可得軸，從而，又因?yàn)?，則直角三角形中，且，所以，故選A2離心率的取值范圍例2：已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角由對稱性可得只需即可且，均可用，表示，是通徑的一半，得：，所以，即，故選B對點(diǎn)增分集訓(xùn)一、單選題1若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則

2、該雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】雙曲線的漸近線過點(diǎn)，代入，可得：，即，故選D2傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)直線的參數(shù)方程為，代入橢圓方程并化簡得，所以，由于，即，代入上述韋達(dá)定理，化簡得，即，故選A3九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，還提出了一元二次方程的解法問題直角三角形的三條邊長分別稱“勾”“股”“弦”設(shè)、分別是雙曲線，的左、右焦點(diǎn)，是該雙曲線右支上的一點(diǎn)，若，分別是的“勾”“股”，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D【答案】D【解析】由雙曲

3、線的定義得，所以，即，由題意得，所以，又，所以，解得，從而離心率，故選D4已知雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，它們交于，兩點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD2【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得：，則，即，又：，據(jù)此有：，即，則雙曲線的離心率：本題選擇C選項(xiàng)5已知點(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，所以圓的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立得：，此方程在區(qū)間上有解，由于為此方程的一個根，且另一根在此區(qū)間內(nèi)，所以對稱軸要介于與之間，所以，結(jié)合，解得，根據(jù)

4、離心率公式可得故選C6已知橢圓，點(diǎn)，是長軸的兩個端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)為橢圓短軸一端點(diǎn)，則由題意得，即，因?yàn)?，所以，故選C7已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為（ ）ABC2D【答案】B【解析】由雙曲線的定義知 ；又， 聯(lián)立解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時，解得，即的最大值為，故選B解法二：由雙曲線的定義知 ，又， ，聯(lián)立解得，因?yàn)辄c(diǎn)在右支所以，即故，即的最大值為，故選B8已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則該橢圓的離心率為（ ）

5、ABCD【答案】D【解析】由橢圓的定義可得，又，可得，即為橢圓的短軸的端點(diǎn)，且，即有，即為，故選D9若直線與雙曲線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線與直線有交點(diǎn)，則有，即有，則雙曲線的離心率的取值范圍為，故選D10我們把焦點(diǎn)相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”已知，是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，分別是橢圓和雙曲線的離心率，若P為它們在第一象限的交點(diǎn)，則雙曲線的離心率（ ）AB2CD3【答案】C【解析】設(shè)，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，可得，可得，由余弦定理可得，即有，由離心率公式可得，即有，解得，故選C11又到

6、了大家最喜（tao）愛（yan）的圓錐曲線了已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓交于、兩點(diǎn)若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】直線，即，直線恒過定點(diǎn)，直線過圓的圓心，的圓心為、兩點(diǎn)中點(diǎn)，設(shè)，上下相減可得：，化簡可得，故選C12已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義得，由題意得，故，故，又，所以，雙曲線的離心率取值范圍是，故選D二、填空題13已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個交點(diǎn)，若直線的斜率為，則雙曲

7、線的離心率為_【答案】【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的另外一個焦點(diǎn)為，由于的斜率為，所以，且，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，所以，由雙曲線的定義可知，所以雙曲線的離心率為14已知雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，則離心率的取值范圍是_【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線的第二定義，可得，故答案為15已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于，的兩點(diǎn)，且軸，若為橢圓上異于，的動點(diǎn)且，則該橢圓的離心率為_【答案】【解析】根據(jù)題意，因?yàn)檩S且，假設(shè)在第一象限，則，過作軸于，則易知，由得，所以，所以，代入橢圓方程得，即，又，所以，所以橢圓離心率為故答案為

8、16在平面直角坐標(biāo)系中，記橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若該橢圓上恰好有6個不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是_【答案】【解析】橢圓上恰好有6個不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，6個不同的點(diǎn)有兩個為橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，另外四個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱，設(shè)在第一象限，當(dāng)時，即，解得，又因?yàn)椋?，?dāng)時，即且，解得：，綜上或三、解答題17已知雙曲線的的離心率為，則（1）求雙曲線的漸進(jìn)線方程（2）當(dāng)時，已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，得，即，所求雙曲線的漸進(jìn)線方程（2）由（1）得當(dāng)時，雙曲線的方程為設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)為，由，得（判別式），點(diǎn)在圓上，18已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)若直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿足，求證：為定值；若，求面積的取值范圍【答案】（1）；（2