微積分入門(mén)(精華)

1、.,定積分,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),.,實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積）,一、問(wèn)題的提出,.,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個(gè)小矩形）,（九個(gè)小矩形）,.,曲邊梯形如圖所示，,.,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,.,實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）,思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值,.,（1）分割,（2）求和,（3）取極限,路程的精確值,.,二、定積分的定義,定義,.,記為,積分上限,積分下限,積分和,.,注意：,.,定理1

2、,定理2,三、存在定理,.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,四、定積分的幾何意義,.,幾何意義：,.,例1 利用定義計(jì)算定積分,解,.,.,五、定積分 的性質(zhì),.,證,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）,性質(zhì)1,.,證,性質(zhì)2,.,補(bǔ)充：不論 的相對(duì)位置如何, 上式總成立.,例 若,（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì)3,.,證,性質(zhì)4,性質(zhì)5,.,解,令,于是,可以直接作出答案,.,性質(zhì)5的推論：,證,（1）,.,證,說(shuō)明： 可積性是顯然的.,性質(zhì)5的推論：,（2）,.,證,（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）,性質(zhì)6,曲邊梯形的面積 夾在兩個(gè)矩形之間,.,解,例2 不計(jì)

3、算定積分 估計(jì) 的大小,.,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)7（Th5.1 定積分第一中值定理）,積分中值公式,.,使,即,積分中值公式的幾何解釋?zhuān)?.,Th5.2(推廣的積分第一中值定理）,.,考察定積分,記,積分上限函數(shù),六、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),.,證,.,由積分中值定理得,.,計(jì)算下列導(dǎo)數(shù),.,補(bǔ)充,證,.,例1 求,解,分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.,.,定理2（原函數(shù)存在定理）,定理的重要意義：,（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.,.,定理 3（微積分基本公式）,證,七 牛頓萊布尼茨公式,.,令,令,牛頓萊布

4、尼茨公式,.,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.,.,例4 求,原式,例5 設(shè) , 求 .,解,解,.,例6 求,解,由圖形可知,.,則有,1. 微積分基本公式,積分中值定理,微分中值定理,牛頓 萊布尼茨公式,.,定理,八、換元公式,.,證,.,.,應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:,（1）,（2）,.,例1 計(jì)算,例2 計(jì)算,.,例1 計(jì)算,解,湊微分是第一類(lèi)換元積分法，特點(diǎn)是不要明顯地?fù)Q元，也就不要更換積分的上下限。,.,例2 計(jì)算,解,原式,.,例3 計(jì)算,解,.,三角代換和根式代換,.,例4 計(jì)算,解,令,原式,明顯換元,.,證,.,.,奇函數(shù),例6 計(jì)算,解,原式,偶

5、函數(shù),單位圓的面積,.,總結(jié)： 1、定積分公式 2、定積分計(jì)算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換） 3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限 4、 介紹了積分上限函數(shù) 5、積分上限函數(shù)是原函數(shù) 6、計(jì)算上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),.,證,（1）設(shè),.,.,（2）,由此計(jì)算,設(shè),.,.,推導(dǎo),九、分部積分公式,.,例 計(jì)算,解,.,例2 計(jì)算,解,令,則,.,例3 計(jì)算,解,例4 計(jì)算,.,例5 計(jì)算,解,.,第四節(jié) 廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分,.,.,.,例1 計(jì)算廣義積分,解,簡(jiǎn)記為,.,例1 計(jì)算廣義積分,解,.,證,.,.,.,.,.,.,.,回顧,曲邊梯形求面積的問(wèn)題,第五節(jié)、

6、定積分應(yīng)用,.,1、幾何上的應(yīng)用,.,面積,.,.,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,右圖所示圖形，面積元素為,.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,.,有時(shí)也會(huì)選 y 為積分變量,.,解,（1）作圖 （2）求出兩曲線的交點(diǎn),（3） 選 為積分變量,（4）代公式,.,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,.,解題步驟：,(2) 求出交點(diǎn)；,(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計(jì)算。,(1) 畫(huà)出草圖；,.,例3. 求橢圓,解: 利用對(duì)稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積

7、公式,.,二、立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),1. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,.,例1. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對(duì)稱性,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,.,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?,此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,.,旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺(tái),旋轉(zhuǎn)體的體積,.,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有,2. 旋轉(zhuǎn)體的體積,.,旋轉(zhuǎn)體的體積為,.,.,.,例1. 計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋