中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：相似圖形

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：相似圖形中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 相似圖形【基礎(chǔ)知識回顧】一、 成比例線段： 1、線段的比:如果選用同一長度的兩條線段b,c的長度分別為、n則這兩條線段的比就是它們 的比,即：= 2、比例線段:四條線段、b、c、如果= 那么四條線段叫做同比例線段，簡稱 3、比例的基本性質(zhì):= 4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線【提醒：表示兩條線段的比時(shí),必須使示用相同的 ,在用了相同的前提下,兩條線段的比值與用的單位無關(guān) 即比值沒有單位?！慷⑾嗨迫切危?、定義:如果兩個(gè)三角形的各角對應(yīng) 各邊對應(yīng) 那么這兩個(gè)三角形相似、性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角 對應(yīng)邊 相似三角形對應(yīng)點(diǎn)的比、對應(yīng)角平分

2、線的比、對應(yīng) 的比都等于 相似三角形周長的比等于 面積的比等于 1、 判定:基本定理:平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩線相交，三角形與原三角形相似 兩邊對應(yīng) 且夾角 的兩三角形相似 兩角 的兩三角形相似 三組對應(yīng)邊的比 的兩三角形相似【名師提醒：1、全等是相似比為 的特殊相似2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的特質(zhì)和判定,要證四條線段的比相等,一般要先證 判定方法中最常用的是 三組對應(yīng)邊成比例的兩三角形相似多用在點(diǎn)三角形中】三、相似多邊形： 1、定義：各角對應(yīng) 各邊對應(yīng) 的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形2、性質(zhì):相似多邊形對應(yīng)角 對應(yīng)邊 相似多邊形周長的比等于 面積的比等于 【名師提醒：相似多邊形沒有專門

3、的判定方法，判定兩多邊形相似多用在矩形中,一般用定義進(jìn)行判定】一、 位似: 1、定義:如果兩個(gè)圖形不僅是 而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過 那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做 這時(shí)相似比又稱為 、性質(zhì):位似圖形上任意一點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于 【名師提醒:1、位似圖形一定是 圖形，但反之不成立,利用位似變換可以將一個(gè)圖形放大或 2、在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似是以原點(diǎn)為位似中心，相似比位r，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 或 】【典型例題解析】考點(diǎn)一:比例線段例1 如圖,已知abc,ab=ac1，a=，ac的平分線bd交c于點(diǎn)d，則ad的長是 ，cos的值是 .(結(jié)果保留根號)考點(diǎn)：

4、黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義分析：可以證明abcbdc,設(shè)dx,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,即可列出方程，求得x的值；過點(diǎn)作deab于點(diǎn)e，則e為ab中點(diǎn),由余弦定義可求出osa的值.點(diǎn)評：abc、cd均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系;在求oa時(shí)，注意構(gòu)造直角三角形,從而可以利用三角函數(shù)定義求解.對應(yīng)訓(xùn)練2.如圖，在ab中，ab=a,a36，bd平分ac交a于點(diǎn)d,若a=,則d的長是（ ）. c. d考點(diǎn)二：相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用例2 已知abcdef,ac的周長為3,d的周長為1,則ac與de的面積之比為 ：1.對應(yīng)訓(xùn)練2已知bcbc，相似

5、比為:,ac的周長為，則ab的周長為 8 考點(diǎn)三:相似三角形的判定方法及其應(yīng)用例 如圖，在正方形abcd中，e是d的中點(diǎn),點(diǎn)在c上，且c=bc.圖中相似三角形共有( ）.對b.對c對d對考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì).例4（)如圖(1)，正方形agh的頂點(diǎn)e、h在正方形bcd的邊上，直接寫出h：gc:b的結(jié)果（不必寫計(jì)算過程)；（2）將圖(）中的正方形ah繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖(2），求hd：c：b;考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形;正方形的性質(zhì)對應(yīng)訓(xùn)練.如圖，abca且abc=ad，aae，bc、de交于點(diǎn)o則下列四個(gè)結(jié)論中,1=2;b=

6、de;abae;a、c、e四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，一定成立的有( )a.1個(gè)b2個(gè)c.3個(gè)d.4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的性質(zhì);圓周角定理.4. 在銳角中,b=4,bc=5,45,將bc繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到abc1.（1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)c1在線段ca的延長線上時(shí)，求ca1的度數(shù)；(2）如圖2，連接aa1，c1.若aba1的面積為，求c的面積；（3）如圖3，點(diǎn)e為線段ab中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),在ab繞點(diǎn)b按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)p的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)p1,求線段e1長度的最大值與最小值.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì);旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).專題:幾何綜合題.分析：(1)由由旋轉(zhuǎn)

7、的性質(zhì)可得:a11b=ab=45，c=c1，又由等腰三角形的性質(zhì),即可求得c1的度數(shù);（2)由abca1c1，易證得aba1cbc,然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得cc的面積；（3)由當(dāng)p在ac上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)，bc繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)p的對應(yīng)點(diǎn)p在線段ab上時(shí),p最小,當(dāng)在ac上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，bc繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)p1在線段ab的延長線上時(shí)，e1最大，即可求得線段ep1長度的最大值與最小值.解答:解:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:a1c1b=acb=4，cbc1,cc1b=cb4,.（分）c1a1=c1ba1c1b=45+4590（）abca1bc1，ba=ba1,bcbc1,ab

8、=a1bc,bc+abc1=a1bc1+ab1，ab1=cb1,abcb1. ,a14，scbc1; （）如圖1，過點(diǎn)b作bdac,d為垂足,bc為銳角三角形,點(diǎn)d在線段ac上，在rtbcd中，d=bcsin5=, 當(dāng)在a上運(yùn)動(dòng)與ab垂直的時(shí)候，ac繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)p的對應(yīng)點(diǎn)1在線段ab上時(shí)，ep最小，最小值為：e=bp-beb-b=-2; 當(dāng)p在ac上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)c，bc繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)p的對應(yīng)點(diǎn)p1在線段ab的延長線上時(shí),p1最大,最大值為:p1=bc+be=2+5=7點(diǎn)評:此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用.此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的

9、應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系考點(diǎn)四:位似例5 如圖，正方形abcd的兩邊bc，ab分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上,正方形cd與正方形ab是以ac的中點(diǎn)o為中心的位似圖形，已知ac=3,若點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2),則正方形acd與正方形bc的相似比是（ )a b c. d.考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).分析:延長ab交bc于點(diǎn)e，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長,然后求得小正方形的對應(yīng)訓(xùn)練如圖，正方形oabc與正方形oe是位似圖形，o為位似中心,相似比為:,點(diǎn)a的坐標(biāo)為（，）,則e點(diǎn)的坐標(biāo)為()a（,） ( c. d考點(diǎn):位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).【聚焦中考】1.已知矩形cd中，ab=

10、1，在bc上取一點(diǎn)e,沿e將abe向上折疊,使點(diǎn)落在d上的f點(diǎn)，若四邊形efdc與矩形bcd相似,則ad=( ）a.bcd2考點(diǎn):相似多邊形的性質(zhì);翻折變換(折疊問題).2.如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形obc的頂點(diǎn)o在坐標(biāo)原點(diǎn),邊a在x軸上，o在y軸上，如果矩形oab與矩形ac關(guān)于點(diǎn)o位似，且矩形obc的面積等于矩形oabc面積的 ,那么點(diǎn)b的坐標(biāo)是（ )a(,3)b.(2,-)c(3，-）或(-2,)d（-2，3)或（2，-3）考點(diǎn):相似多邊形的性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì)3.在菱形abcd中，e是b邊上的點(diǎn),連接ae交bd于點(diǎn)f，若c=2b,則 的值是( ） . c. d.考點(diǎn):相似三角形的判定與性

11、質(zhì)；菱形的性質(zhì)4.為了測量被池塘隔開的a，b兩點(diǎn)之間的距離,根據(jù)實(shí)際情況,作出如圖圖形，其中abbe，fbe，af交be于,c在bd上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：bc,acb;c,acb，adb;f,de，bd;e,dc，.能根據(jù)所測數(shù)據(jù),求出a,b間距離的有(）a.1組2組.3組d4組f考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用.5如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，abc的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0）,(8,2），（6，4).已知ab的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(，3），(2,5)，若abc與a11c1位似,則a111的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3,4)或(，4）考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).6.如圖，在邊長

12、為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，abc和df的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,1，p2,3，p4,p是e邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請按要求完成下列各題:()試證明三角形abc為直角三角形;(2)判斷abc和ef是否相似，并說明理由；(3）畫一個(gè)三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為p，p2，3,p4,5中的3個(gè)格點(diǎn)并且與abc相似（要求:用尺規(guī)作圖,保留痕跡,不寫作法與證明)考點(diǎn)：作圖相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定【備考真題過關(guān)】一、選擇題1.已知 ，則 的值是（)a. b .2如圖，a為等邊三角形,點(diǎn)e在ba的延長線上，點(diǎn)d在c邊上，且=c.若abc的邊長為4，ae=2，則bd的長為（）a.2 b.3 c. d.3如圖，

13、在矩形abcd中，b=,bc=,點(diǎn)、f、h分別在矩形abcd的各邊上，efahg,bf，則四邊形efgh的周長是( ) b. d.考點(diǎn):平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)4小張用手機(jī)拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖,甲圖中的線段ab在乙圖中的對應(yīng)線段是( ）fb.c.eh.ef考點(diǎn)：相似圖形5.如圖，六邊形abcef六邊形ghijl,相似比為2:1,則下列結(jié)論正確的是()=2kbb=2hc.六邊形abdef的周長=六邊形ghijkl的周長d六邊形bcdf=s六邊形ijkl6.下列4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與abc相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是( )a.

14、如圖,點(diǎn)d在a的邊上,要判定ad與ac相似，添加一個(gè)條件,不正確的是（ ）a=c b.db=abc c d.考點(diǎn)：相似三角形的判定.8.如圖，在abc中,bc,s四邊形bcfe8，則sab=()a.9b.10c.11考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì).如圖,在四邊形abc中,dab,cbab,abad,cd= ab，點(diǎn)、f分別為a、ad的中點(diǎn)，則aef與多邊形bcde的面積之比為( ）a b c d考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理10（22欽州)圖中兩個(gè)四邊形是位似圖形，它們的位似中心是( ）a點(diǎn)m點(diǎn)點(diǎn)d.點(diǎn)1如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為位中心,將b擴(kuò)大到原來的2倍

15、，得到ab.若點(diǎn)的坐標(biāo)是（，2),則點(diǎn)a的坐標(biāo)是( )a.（2,4）.（-1,-2）c.(-2，-4)d.(-2,1）考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)二、填空題正方形acd的邊長為1m，m、n分別是c、cd上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持ammn，當(dāng)= cm時(shí),四邊形abcn的面積最大，最大面積為 cm2.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)15.如圖，為矩形bcd的中心,m為c邊上一點(diǎn),n為邊上一點(diǎn)，oom,若a6，=,設(shè)m=x，on=,則與x的函數(shù)關(guān)系式為 。考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).16.如圖，e是bcd的邊d上一點(diǎn)，連接ae并延長交b的延長線于點(diǎn)f,且d=,，

16、則c的長為 2.考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).1.如圖,在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn)a、b、c、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,ab、d相交于點(diǎn)p,則tanad的值是 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義18.如圖,利用標(biāo)桿b測量建筑物的高度,標(biāo)桿b高1.m,測得bm，c=c，則樓高d為 12m9如圖，在一場羽毛球比賽中,站在場內(nèi)處的運(yùn)動(dòng)員林丹把球從n點(diǎn)擊到了對方內(nèi)的點(diǎn),已知網(wǎng)高=.52米,o=4米,om5米,則林丹起跳后擊球點(diǎn)n離地面的距離nm= .42米.考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用.20如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板df測量樹的高度b,他調(diào)整自己

17、的位置，設(shè)法使斜邊f(xié)保持水平，并且邊e與點(diǎn)b在同一直線上已知紙板的兩條直角邊de=0cm，ef=20cm,測得邊f(xié)離地面的高度a15m,cd8m,則樹高ab= 5.m.考點(diǎn):相似三角形的應(yīng)用.如圖,abc與1b1為位似圖形，點(diǎn)o是它們的位似中心，位似比是1：2,已知bc的面積為3，那么b1c的面積是 12.考點(diǎn)：位似變換.三、解答題22己知：如圖,在菱形acd中，點(diǎn)e、f分別在邊bc、c，baf=de，ae與bd交于點(diǎn)g（1）求證:be=df；()當(dāng) 時(shí)，求證:四邊形e是平行四邊形.考點(diǎn):平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定;菱形的性質(zhì).23如圖,在abc中，c9,點(diǎn)d是ab邊上的一點(diǎn),dmab，且m=ac，過