數(shù)學(xué)建模題目及答案數(shù)學(xué)建模100題

1、數(shù)學(xué)建模題目及答案數(shù)學(xué)建模100題09級數(shù)模試題1 把四只腳的連線呈長方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只腳著地,放不穩(wěn),然后稍微挪動幾次,就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。試作合理的假設(shè)并建立數(shù)學(xué)模型說明這個現(xiàn)象。（分）解：對于此題,如果不用任何假設(shè)很難證明，結(jié)果很可能是否定的。因此對這個問題我們假設(shè) :（)地面為連續(xù)曲面（2)長方形桌的四條腿長度相同(3）相對于地面的彎曲程度而言,方桌的腿是足夠長的（)方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時接觸到地面?，F(xiàn)在,我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立,那么答案是肯定的。以長方桌的中心為坐標原點作直角坐標系如圖所示，方

2、桌的四條腿分別在a、b、c、d處，a、b,c、d的初始位置在與x軸平行，再假設(shè)有一條在x軸上的線ab,則b也與a、b,、平行。當方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時，對角線ab與x軸的夾角記為。容易看出,當四條腿尚未全部著地時,腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性,令 為a、b離地距離之和,為c、d離地距離之和,它們的值由唯一確定。由假設(shè)(1)，,均為的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)(3），三條腿總能同時著地, 故=0必成立（）。不妨設(shè),g(若也為0,則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：已知,均為的連續(xù)函數(shù),且對任意有,求證存在某一，使。證明：當=時，a與cd互換位置,故，。作，顯然,也是的連續(xù)函

3、數(shù),而,由連續(xù)函數(shù)的取零值定理,存在,使得，即。又由于，故必有,證畢。 2學(xué)校共100名學(xué)生,235人住在a宿舍,33人住在b宿舍，432人住在宿舍。學(xué)生 們要組織一個10人的委員會,試用合理的方法分配各宿舍的委員數(shù)。(5分)解：按各宿舍人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比列分配各宿舍的委員數(shù)。設(shè):a宿舍的委員數(shù)為人,b宿舍的委員數(shù)為y人，c宿舍的委員數(shù)為z人。計算出人數(shù)小數(shù)點后面的小數(shù)部分最大的整數(shù)進1，其余取整數(shù)部分。則 x+y+z0；x0=235100; y/0=33/10； z/10=42/100； ，x，y,z為正整數(shù);解得:3 y3 =一飼養(yǎng)場每天投入5元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計可使一頭80公斤

4、重的生豬每 天增加2公斤。目前生豬出售的市場價格為每公斤8元,但是預(yù)測每天會降低01元，問該場應(yīng)該什么時候出售這樣的生豬可以獲得最大利潤。（5分)解:設(shè)在第天出售這樣的生豬(初始重80公斤的豬）可以獲得的利潤為z元。每頭豬投入:5元產(chǎn)出：(801t）（0+2t）元利潤： = 5t (8-0.1t）(8+t）=0. t2 3t +640 =0.2（t2-65t+5/4)+3405/4當t=32或3時,zmax=5.5（元)因此，應(yīng)該在第2天過后賣出這樣的生豬,可以獲得最大利潤。. 一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)a1，a2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲上用1小時加工成3公斤a1,或者在設(shè)備乙上用8小時

5、加工成4公斤a2。根據(jù)市場需求,生產(chǎn)的1,全部能售出，且每公斤a獲利4元,每公斤a獲利16元。現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng),每天工人總的勞動時間為48小時,并且設(shè)備甲每天至多能加工10公斤a，設(shè)備乙的加工能力沒有限制。（1）試為該廠制訂一個生產(chǎn)計劃,使每天獲利最大。（）3元可買到1桶牛奶，買嗎?(3)若買,每天最多買多少?（)可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元？(5）a1的獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？（15分）解：設(shè)：每天生產(chǎn)將x桶牛奶加工成a1,y桶牛奶加工成2，所獲得的收益為元。 加工每桶牛奶的信息表:產(chǎn)品a1所需時間1小時小時產(chǎn)量3公斤4公斤獲利/公斤4元1

6、6元(1) x+y0則,牛奶33元/桶 可以買。（3)若不限定牛奶的供應(yīng)量，則其優(yōu)化條件變?yōu)? =39+3y解得，當0,y=0時 ,ax=180元則最多購買60桶牛奶。（4) 若將全部的利潤用來支付工人工資,設(shè)工資最高為n元。 n=wmax/48=3.85（元)（5)若a1的獲利為30元，則其優(yōu)化條件不變。z190x64y解得，當=0,6時，z1max=84(元)因此,不必改變生產(chǎn)計劃。 5 在冷卻過程中，物體的溫度在任何時刻變化的速率大致正比于它的溫度與周圍介質(zhì)溫度之差，這一結(jié)論稱為牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過程。一個煮硬了的雞蛋有9,將它放在1的水池里,5分鐘后,雞蛋的溫度為38，假

7、定沒有感到水變熱，問雞蛋達到0,還需多長時間?(15分）解:題意沒有感到水變熱,即池水中水溫不變。設(shè):雞蛋的溫度為t，溫度變化率就是 dt/dt 其中t為時間,水的溫度為t1，則雞蛋與水溫差為 -t由題意有: t-t1=kdtdt (其中為比例常數(shù)） (1)方程(1）化為 :dt=k( t) (）對(2）兩邊同時積分之后并整理一下就得到: t=k*ln（t-t1）+則 k*ln（98-18) c=05=kn（318） t=ln(20-18）+c-*ln(38-8)+c8.3（m)所以，還需8.3(min)。6 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣完的報紙退回。設(shè)每份報紙的購進價為，零售

8、價為,退回價為，應(yīng)該自然地假設(shè)。這就是說，報童售出一份報紙賺，退回一份報紙賠。報童如果每天購進的報紙?zhí)伲粔蛸u的,會少賺錢；如果購進太多,賣不完,將要賠錢。請你為報童籌劃一下,他應(yīng)該如何確定每天購進報紙的數(shù)量,以獲得最大的收入。（15分）解:設(shè)：報紙具有時效性每份報紙進價元，賣出價a元,賣不完退回份報紙c元。設(shè)每日的訂購量為n,如果訂購的多了,報紙剩下會造成浪費，甚至陪錢。訂的少了，報紙不夠賣，又會少賺錢。為了獲得最大效益，現(xiàn)在要確定最優(yōu)訂購量n。n的意義。是每天購進報紙的數(shù)量，確定n一方面可以使報童長期以內(nèi)擁有一個穩(wěn)定的收入,另一方面也可以讓報社確定每日的印刷量，避免紙張浪費。所以，筆者認

9、為n的意義是雙重的。本題就是讓我們根據(jù)a、b、c及r來確定每日進購數(shù)n。基本假設(shè)1、假設(shè)報童現(xiàn)在要與報社簽定一個長期的訂購合同,所以要確定每日的訂購量。2、假設(shè)報紙每日的需求量是r，但報童是一個初次涉足賣報行業(yè)的菜鳥,毫無經(jīng)驗,無法掌握需求量r的分布函數(shù),只知道每份報紙的進價b、售價a及退回價。3、假設(shè)每日的定購量是n。4、報童的目的是盡可能的多賺錢。建立模型應(yīng)該根據(jù)需求量確定需求量，而需求量r是隨機的，所以這是一個風(fēng)險決策問題。而報童卻因為自身的局限,無法掌握每日需求量的分布規(guī)律,已確定優(yōu)化模型的目標函數(shù)。但是要得到n值,我們可以從賣報紙的結(jié)果入手,結(jié)合r與的量化關(guān)系，從實際出發(fā)最終確定n值

10、。由常識可以知道賣報紙只有賺錢、不賺錢不賠錢、賠錢會有三種結(jié)果。現(xiàn)在用簡單的數(shù)學(xué)式表示這三種結(jié)果。、賺錢。賺錢又可分為兩種情況:rn，則最終收益為(-)（1）r（-c）/（a)（2)2、由(2)式容易得出不賺錢不賠錢。r/(b-)/(a-)(3)3、賠錢。rn(b)(-c)(4)模型的求解首先由(1)式可以看出n與最終的收益呈正相關(guān)。收益越多，n的取值越大。但同時訂購量n又由需求量r約束,不可能無限的增大。所以求n問題就轉(zhuǎn)化成研究r與n的之間的約束關(guān)系。然后分析()、(4)兩式。因為(）、(）分別代表不賺錢不賠錢及賠錢兩種情況,而我們確定n值是為了獲得最大收益，所以可以預(yù)見由()、（4)兩式確

11、立出的值不是我們需要的結(jié)果,所以在這里可以排除，不予以討論。最后重點分析()式。顯然式中表需求量,n表訂購量,(c)表示退回一份兒報紙賠的錢。因為(a-c)無法表示一個顯而易見的意義,所以現(xiàn)在把它放入不等式中做研究。由abc,可得a-b，而(a-b)恰好是賣一份報紙賺得的錢。然后采用放縮法，把(2)式中的(a-c）換成(ab)，得到/n(b)/(a-b)(5)不等式依然成立。由(5)式再結(jié)合()式可知收益與n正相關(guān),所以要想使訂購數(shù)的份數(shù)越多，報童每份報紙賠錢（-c)與賺錢（a)的比值就應(yīng)越小。當報社與報童簽訂的合同使報童每份報紙賠錢與賺錢之比越小,訂購數(shù)就應(yīng)越多。7.談?wù)勀銓?shù)學(xué)建模的認識,

12、你認為數(shù)學(xué)建模過程中哪些步驟是關(guān)鍵的。(10分） 簡單地說:數(shù)學(xué)模型就是對實際問題的一種數(shù)學(xué)表述。 具體一點說:數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 更確切地說：數(shù)學(xué)模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式,算法、表格、圖示等。 數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程（見數(shù)學(xué)建模過程流程圖)。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模的幾個過程 1 模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義,掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。 2 模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征和建模的目的,對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O(shè)。 3 模型建立:在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具來