矩陣的運算及其運算規(guī)則

1、矩陣的運算及其運算規(guī)則一、矩陣的加法與減法1、運算規(guī)則 設(shè)矩陣，則 簡言之，兩個矩陣相加減，即它們相同位置的元素相加減！注意：只有對于兩個行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣（即同型矩陣），加減法運算才有意義，即加減運算是可行的2、 運算性質(zhì) （假設(shè)運算都是可行的） 滿足交換律和結(jié)合律交換律 ； 結(jié)合律 二、矩陣與數(shù)的乘法1、 運算規(guī)則 數(shù)乘矩陣A，就是將數(shù)乘矩陣A中的每一個元素，記為或特別地，稱稱為的負(fù)矩陣2、 運算性質(zhì) 滿足結(jié)合律和分配律結(jié)合律： ()A=(A) ； (+)A =A+A分配律： (A+B)=A+B典型例題 例6.5.1已知兩個矩陣 滿足矩陣方程，求未知矩陣解由已知條件知 三、矩陣與矩陣

2、的乘法1、 運算規(guī)則 設(shè)，則A與B的乘積是這樣一個矩陣：(1) 行數(shù)與（左矩陣）A相同，列數(shù)與（右矩陣）B相同，即(2) C的第行第列的元素由A的第行元素與B的第列元素對應(yīng)相乘，再取乘積之和典型例題 例6.5.2設(shè)矩陣 計算 解是的矩陣設(shè)它為 想一想：設(shè)列矩陣，行矩陣，和的行數(shù)和列數(shù)分別是多少呢 是33的矩陣，是11的矩陣，即只有一個元素課堂練習(xí) 1、設(shè)，求2、在第1道練習(xí)題中，兩個矩陣相乘的順序是A在左邊，B在右邊，稱為A左乘B或B右乘A如果交換順序，讓B在左邊，A在右邊，即A右乘B，運算還能進(jìn)行嗎？請算算試試看并由此思考：兩個矩陣應(yīng)當(dāng)滿足什么條件，才能夠做乘法運算3、設(shè)列矩陣，行矩陣，求和

3、，比較兩個計算結(jié)果，能得出什么結(jié)論嗎？4、設(shè)三階方陣，三階單位陣為，試求和，并將計算結(jié)果與A比較，看有什么樣的結(jié)論解： 第1題 第2題對于 ，求是有意義的，而是無意義的結(jié)論1只有在下列情況下，兩個矩陣的乘法才有意義，或說乘法運算是可行的：左矩陣的列數(shù)右矩陣的行數(shù)第3題是矩陣，是的矩陣 結(jié)論2在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序即使在與均有意義時，也未必有=成立可見矩陣乘法不滿足交換律第4題計算得：結(jié)論3方陣A和它同階的單位陣作乘積，結(jié)果仍為A，即單位陣在矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù)1在我們普通乘法中的作用典型例題 例6.5.3設(shè)，試計算和解 結(jié)論4兩個非零矩陣的乘積可以是零矩陣由此若，不能得出或的結(jié)

4、論例6.5.4利用矩陣的乘法，三元線性方程組 可以寫成矩陣的形式 若記系數(shù)、未知量和常數(shù)項構(gòu)成的三個矩陣分別為 ，則線性方程組又可以簡寫為矩陣方程的形式：2、 運算性質(zhì)（假設(shè)運算都是可行的） (1)結(jié)合律(2)分配律（左分配律）；（右分配律）(3) 3、 方陣的冪 定義：設(shè)A是方陣，是一個正整數(shù)，規(guī)定 ， 顯然，記號表示個A的連乘積四、矩陣的轉(zhuǎn)置1、 定義 定義：將矩陣A的行換成同序號的列所得到的新矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或例如，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為2、運算性質(zhì)（假設(shè)運算都是可行的）(1) (2) (3) (4)，是常數(shù)典型例題 例6.5.5 利用矩陣 驗證運算性質(zhì)： 解 ；而 所以定義：如果方陣滿足，即，則稱A為對稱矩陣對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等五、方陣的行列式1、定義 定義：由方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作或2 、運算性質(zhì) (1) （行列式的性質(zhì)）(2) ，特別地： (3) （是常數(shù)，A的階數(shù)為n）思考：設(shè)A為階方陣，那么的行列式與A的行列式之間的關(guān)系為什么不是，而是？不妨自行設(shè)計一個二階方陣，計算