§10.3 格林公式及其應用.ppt

1、一、格林公式,二、平面上曲線積分與路徑無關的條件,三、二元函數(shù)的全微分求積,10.3 格林公式及其應用,一、格林公式,單連通與復連通區(qū)域,單連通區(qū)域,復連通區(qū)域,設D為平面區(qū)域 如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平面單連通區(qū)域 否則稱為復連通區(qū)域,邊界曲線的正向: 當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.,設空間區(qū)域G, 如果G內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域;,如果G內任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域.,一維單連通 二維單連通,一維單連通 二維不連通,一維不連通 二維單連通,定理1 設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成

2、 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù) 則有,其中L是D的取正向的邊界曲線 ,格林公式,定理證明,應注意的問題: 對復連通區(qū)域D 格林公式右端應包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分 且邊界的方向對區(qū)域D來說都是正向,邊界曲線L的正向: 當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.,證明(1),同理可證,證明(2),兩式相加得,G,F,證明(3),由(2)知,提示,格林公式:,用格林公式計算區(qū)域的面積,設區(qū)域D的邊界曲線為L 則,在格林公式中 令Py Qx 則有,格林公式:,用格林公式計算區(qū)域的面積,例1 求橢圓xacosq ybsinq 所圍成圖形的面積A,設區(qū)域D的邊界曲線為L

3、則,解,設L是由橢圓曲線 則,提示:,因此, 由格林公式有,格林公式:,用格林公式計算二重積分,解,為頂點的三角形閉區(qū)域,因此, 由格林公式有,格林公式:,用格林公式計算二重積分,解,為頂點的三角形閉區(qū)域,L,簡化曲線積分,格林公式:,提示,解,當(0 0)D時,由格林公式得,記L所圍成的閉區(qū)域為D,當x2y20時 有,不經過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向,用格林公式求閉曲線積分,在D內取一圓周l x2y2r2(r0),當(0 0)D時,解,記L所圍成的閉區(qū)域為D,記L及l(fā)所圍成的復連通區(qū)域為D1 應用格林公式得,其中l(wèi)的方向取順時針方向,于是,不經過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針

4、方向,二、平面上曲線積分與路徑無關的條件,曲線積分與路徑無關,設G是一個開區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域G內具有一階 連續(xù)偏導數(shù),與路徑無關 否則說與路徑有關,如果對于G內任意指定的兩個點A、B以及G內從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2 等式,二、平面上曲線積分與路徑無關的條件,曲線積分與路徑無關,這是因為 設L1和L2是G內任意兩條從點A到點B的曲線 則L1(L2-)是G內一條任意的閉曲線 而且有,二、平面上曲線積分與路徑無關的條件,曲線積分與路徑無關,定理2 (曲線積分與路徑無關的判斷方法),定理證明,應用定理2應注意的問題,(1)區(qū)域G是單連通區(qū)域 (2)函數(shù)P(x y)及Q(

5、x y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù) 如果這兩個條件之一不能滿足 那么定理的結論不能保證成立,討論,提示 ,解,這里P2xy Qx2,選擇從O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折線作為積分路線,物線yx2上從O(0 0)到B(1 1)的一段弧,三、二元函數(shù)的全微分求積,表達式P(x y)dxQ(x y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結構但它未必就是某個函數(shù)的全微分 那么在什么條件下表達式P(x y)dxQ(x y)dy是某個二元函數(shù)u(x y)的全微分呢？當這樣的二元函數(shù)存在時 怎樣求出這個二元函數(shù)呢？,二元函數(shù)u(x y)的全微分為 du(x y)=ux(x y)dxuy(x y)dy,原函數(shù),如果函數(shù)u(x y)滿足du(x y)=P(x y)dxQ(x y)dy 則函數(shù)u(x y)稱為P(x y)dxQ(x y)dy的原函數(shù).,定理3,求原函數(shù)的公式,解 ：,這里,例6 驗證 2xydxx2dy在整個xOy平面內是某一函數(shù)u(x y)的 全微分 并求這樣的一個u(x y).,所以P(x y)dxQ(x y)dy是某個定義在整個xOy面內的 函數(shù)u(x y)的全微分,例7設有一變力在坐標軸上的投影為Xxy2 Y2xy8 這變力確定了一個力場