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1、高中數(shù)學(xué) 選修4-5知識(shí)點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)(對(duì)稱性)(傳遞性)(可加性)(同向可加性)(異向可減性)(可積性)(同向正數(shù)可乘性)(異向正數(shù)可除性)(平方法則)(開方法則)(倒數(shù)法則)2、幾個(gè)重要不等式,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)). 變形公式:(基本不等式) ,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)).變形公式: 用基本不等式求最值時(shí)(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.(正:a和b都是正數(shù) 定:ab為定值或a+b為定值 相等:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。(三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)).(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)).(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)).(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))(當(dāng)僅
2、當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),(其中規(guī)律:小于1同加則變大,大于1同加則變小.絕對(duì)值三角不等式3、幾個(gè)著名不等式平均不等式:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)).(即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均). 變形公式: 冪平均不等式:二維形式的三角不等式:二維形式的柯西不等式: 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式:一般形式的柯西不等式:向量形式的柯西不等式:設(shè)是兩個(gè)向量,則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù),使時(shí),等號(hào)成立.排序不等式(排序原理):設(shè)為兩組實(shí)數(shù).是的任一排列,則(反序和亂序和順序和),當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),反序和等于順序和.琴生不等式:(特例:凸函數(shù)、凹函數(shù))若定義在某區(qū)間上的函數(shù),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有則稱f(x
3、)為凸(或凹)函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法 常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法:舍去或加上一些項(xiàng),如將分子或分母放大(縮小),如 等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步驟:一化:化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判:判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求:求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫:畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集:根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí),小于取中間,大于取兩邊.6、高次不等式的解法:穿根法.分解因式,把根標(biāo)在數(shù)軸上,從右上方依次往下穿(奇穿偶切),結(jié)合原式不等號(hào)的方向,寫
4、出不等式的解集.7、分式不等式的解法:先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化,則 (時(shí)同理)規(guī)律:把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法:轉(zhuǎn)化為有理不等式求解規(guī)律:把無理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式,訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 規(guī)律:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對(duì)數(shù)不等式的解法當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 規(guī)律:根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對(duì)值不等式的解法:定義法:平方法:同解變形法,其同解定理有:規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)(或兩個(gè)以上)絕對(duì)值的不等式的解法:規(guī)律:找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集,最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不
5、等式的解法解形如且含參數(shù)的不等式時(shí),要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有:討論與0的大小;討論與0的大小;討論兩根的大小.14、恒成立問題不等式的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是:當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)不等式的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是:當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)恒成立恒成立恒成立恒成立15、線性規(guī)劃問題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷: 法一:取點(diǎn)定域法:由于直線的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以,在實(shí)際判斷時(shí),往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)(如原點(diǎn)),由的正負(fù)即可判斷出或表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即:直線定邊界,分清虛實(shí);選點(diǎn)定區(qū)域,常選原點(diǎn).法二:根據(jù)或,觀察的符號(hào)與不等式開口的
6、符號(hào),若同號(hào),或表示直線上方的區(qū)域;若異號(hào),則表示直線上方的區(qū)域.即:同號(hào)上方,異號(hào)下方.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域: 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)為常數(shù))的最值: 法一:角點(diǎn)法:如果目標(biāo)函數(shù) (即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo))的最值存在,則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得,將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),得到一組對(duì)應(yīng)值,最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最大值,最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最小值法二:畫移定求:第一步,在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域;第二步,作直線 ,平移直線(據(jù)可行域,將直線平行移動(dòng))確定最優(yōu)解;第三步,求出最優(yōu)解;第四步,將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值 .第二步中最優(yōu)解的確定方法:利用的幾何意義:,為直線的縱截距.若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處,取得最大值,使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處,取得最小值;若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處,取得
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