第1章 矢量分析與場論.ppt

1、電磁場與電磁波,鞠秀妍,課程體系,抽象看不見、摸不著 復(fù)雜時(shí)域、頻域、空域、極化 要求具有較濃厚的數(shù)學(xué)功底和較強(qiáng)的空間想像力 應(yīng)用廣泛,課程特點(diǎn),電磁場理論的發(fā)展史,1785年法國庫侖(17361806)定律 1820年丹麥奧斯特(17771851)發(fā)現(xiàn)電流的磁場 1820年法國安培(17751836)電流回路間作用力 1831年英國法拉第電磁感應(yīng)定律 變化的磁場產(chǎn)生電場 1873年英國麥克斯韋(18311879) 位移電流時(shí)變電場產(chǎn)生磁場 麥?zhǔn)戏匠探M 1887年德國赫茲(18571894) 實(shí)驗(yàn)證實(shí)麥?zhǔn)戏匠探M電磁波的存在 近代俄國的波波夫和意大利的馬可尼電磁波傳消息 無線電 當(dāng)今電信時(shí)代“電

2、”、“光”通信,電磁應(yīng)用,射線 醫(yī)療上用射線作為“手術(shù)刀”來切除腫瘤 x 射線 醫(yī)療、飛機(jī)安檢，X射線用于透視檢查 紫外線 醫(yī)學(xué)殺菌、防偽技術(shù)、日光燈 可見光 七色光(紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫 ）,紅外線 在特定的紅外敏感膠片上能形成熱成像（熱感應(yīng)） 微波 軍事雷達(dá)、導(dǎo)航、電子對抗 微波爐 無線電波 通信、遙感技術(shù),本章主要內(nèi)容,1、矢量及其代數(shù)運(yùn)算 2、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 3、矢量場 4、標(biāo)量場 5、亥姆霍茲定理,1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算,1.1.1標(biāo)量和矢量 電磁場中遇到的絕大多數(shù)物理量， 能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。 一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱

3、為標(biāo)量， 例如， 電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。 實(shí)際上， 所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。 一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量， 電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示成 A=aA 其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A其大小等于1。,一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（Unit Vector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。 空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)

4、P的矢量r稱為位置矢量(Position Vector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為 r=axX+ayY+azZ,圖1-1 直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影,X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、 az 可以將矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小為A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2,1.1.2矢量的加法和減法 矢量相加的平行四邊形法則 ，矢量的加法的坐標(biāo)分量是兩矢量對應(yīng)坐標(biāo)分量之和，矢量加法的結(jié)果仍是矢量,1.1.3矢量的乘積

5、矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。 1） 標(biāo)量積 任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積 (Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量， 它等于兩個(gè)矢量的大小與它 們夾角的余弦之乘積，如圖 1-2所示， 記為 AB=AB cos,圖1-2 標(biāo)量積,例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為 AB=AxBx+AyBy+AzBz 標(biāo)量積服從交換律和分配律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC,2） 矢量積 任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（Vector Product）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量

6、的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面， 如圖1-3所示，記為 C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）,圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積 (b) 右手螺旋,矢量積又稱為叉積(Cross Product)，如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即 AB= -BA A(B+C)=AB+AC,直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz= 0 在直角坐標(biāo)系中， 矢

7、量的叉積還可以表示為,=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx),結(jié)論,矢量的加減運(yùn)算同向量的加減，符合平行四邊形法則 任意兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，任意兩個(gè)矢量的叉積是一個(gè)矢量 如果兩個(gè)不為零的矢量的點(diǎn)積等于零，則這兩個(gè)矢量必然互相垂直 如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然互相平行,1.2 圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系,1.2.1 圓柱坐標(biāo)系 空間任一點(diǎn)P的位置 可以用圓柱坐標(biāo)系 中的三個(gè)變量 來表示。,圓柱坐標(biāo)系中也有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面。 平面 表示一個(gè)以z軸為軸線的半徑為 的圓柱面。 平面 表示一個(gè)以z為界的半平面。 平面z=常數(shù) 表示一

8、個(gè)平行于xy平面的平面。,圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量為 ,分別指向 增加的方向。三者始終保持正交關(guān)系。（課本P4） 圓柱坐標(biāo)系的位置矢量 圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量與直角坐標(biāo)系的單位矢量之間的關(guān)系：,矩陣形式：,三個(gè)坐標(biāo)面的面元矢量與體積元：,1.2.2球坐標(biāo)系： 球坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)P可用三個(gè) 坐標(biāo)變量（ )來表示。,球坐標(biāo)系也有三個(gè)坐標(biāo)面： 表示一個(gè)半徑為r的球面。 坐標(biāo)面 =常數(shù)，表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、以z軸為軸線的圓錐面。 坐標(biāo)面 表示一個(gè)以z軸為界的半平面。,球坐標(biāo)系的位置矢量可表示為： 球坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量互相正交，遵守右手螺旋法則。（課本P6）,球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的單位矢量

9、的轉(zhuǎn)換：,面元矢量和體積元：,1.3 矢量場,1.3.1矢量場的矢量線 矢量場空間中任意一點(diǎn)P處的矢量可用一個(gè)矢性函數(shù)A=A（P）來表示。直角坐標(biāo)中，可以表示成如下形式：,矢量線：在曲線上的每一點(diǎn)處，場的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。如電力線，磁力線等。 矢量線方程： 直角坐標(biāo)系中，其表達(dá)式為：,例1-2 求矢量場A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量線方程。 解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為,從而有,解之即得矢量方程,c1和c2是積分常數(shù)。,1.3.2矢量場的通量及散度,將曲面的一個(gè)面元用矢量dS來表示，其方向取為面元的法線方向， 其大小為dS，即,n是面元法線方向的單位矢量。,A與面元dS

10、的標(biāo)量積稱為矢量場A穿過dS的通量,將曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量場A穿過整個(gè)曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：,如果曲面是一個(gè)封閉曲面，則,2、矢量場的散度,哈米爾頓（Hamilton）算子 為了方便，引入一個(gè)矢性微分算子： 在直角坐標(biāo)系中稱之為哈米爾頓算子，是一個(gè)微分符號，同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。算子與矢性函數(shù)A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可以寫為,結(jié)論,divA是一標(biāo)量，表示場中一點(diǎn)處的通量對體積的變化率，即在該點(diǎn)處對一個(gè)單位體積來說所穿出的通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。 它描述的是場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。 當(dāng)divA0，表示矢量場A在該點(diǎn)處有散

11、發(fā)通量的正源，稱為源點(diǎn)； divA0,表示矢量場A在該點(diǎn)處有吸收通量的負(fù)源，稱為匯點(diǎn)；divA=0，矢量場A在該點(diǎn)處無源。 divA0的場是連續(xù)的或無散的矢量場。,3、高斯散度定理 矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分.,例 :球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為r=xax+yay+zaz，求,解： 根據(jù)散度定理知,而r的散度為,所以,1.3.2矢量場的環(huán)量及旋度 1、環(huán)量的定義 設(shè)有矢量場A，l為場中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場A環(huán)繞閉合路徑l的線積分為該矢量的環(huán)量，記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場A性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量

12、。為了知道場中每個(gè)點(diǎn)上旋渦源的性質(zhì)，引入矢量場旋度的概念。,若環(huán)量不等于0，則在L內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場的旋渦源，若環(huán)量等于0，則在L內(nèi)沒有旋渦源。,矢量場的環(huán)量,閉合曲線方向與面元的方向示意圖,2、矢量場的旋度,1）旋度的定義 設(shè)P為矢量場中的任一點(diǎn)，作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元S，其周界為l，它的正向與面元S的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)曲面S在P點(diǎn)處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點(diǎn)，取極限,若極限存在，則稱矢量場A沿L正向的環(huán)量與 面積S之比為矢量場在P點(diǎn)處沿n方向的環(huán)量 面密度，即環(huán)量對面積的變化率。,必存在一個(gè)固定矢量R，它在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度，R的

13、方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。稱固定矢量R為矢量A的旋度。旋度為一矢量。 rotA=R 旋度矢量在n方向上的投影為：,直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式為：,一個(gè)矢量場的旋度表示該矢量場單位面積上的環(huán)量，描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。 若旋度不等于0，則稱該矢量場是有旋的，若旋度等于0，則稱此矢量場是無旋的或保守的 旋度的一個(gè)重要性質(zhì)： 任意矢量旋度的散度恒等于零， 即 ( A)0,如果有一個(gè)矢量場B的散度等于零，則該矢量B就可以用另一個(gè)矢量A的旋度來表示，即當(dāng) B=0 則有 B= A,3、斯托克斯定理,矢量分析中另一個(gè)重要定理是,稱之為斯托克斯定理，其中S

14、是閉合路徑l所圍成的面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系。該式表明：矢量場A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分。,例：已知一矢量場F=axxy-ayzx, 試求： （1） 該矢量場的旋度; （2） 該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤的線積分， 如圖所示， 驗(yàn)證斯托克斯定理。,四分之一圓盤,例： 求矢量A=-yax+xay+caz(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量(見圖 1-6)。,解： 由于在曲線l上z=0，所以dz=0。,例:求矢量場A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ax+6

15、ay+3az方向的環(huán)量面密度。 解： 矢量場A的旋度,在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度,n方向的單位矢量,在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度,1.4 標(biāo)量場,一個(gè)僅用大小就可以完整表征的場稱為標(biāo)量場 等值面 方向?qū)?shù) 梯度 梯度的積分,1、等值面 為考察標(biāo)量場的空間分布，引入等值面的概念。一個(gè)標(biāo)量場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來表示。例如，標(biāo)量 是場中點(diǎn) 的單值函數(shù)，它可表示為 而 是坐標(biāo)變量的連續(xù)可微函數(shù)，令 隨著C的取值不同，得到一組曲面。在每一個(gè)曲面上的各點(diǎn)，雖然坐標(biāo)值不同，但函數(shù)值均為C。這樣的曲面稱為標(biāo)量場u的等值面。,例如溫度場中的等值面，就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的等溫面；電位場中的等值

16、面，就是由電位相同的點(diǎn)組成的等位面。 如果某一標(biāo)量物理函數(shù)u僅是兩個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，這種場稱為平面標(biāo)量場（即二維場），則u(x, y)=C （C為任意常數(shù)） 稱為等值線方程，它在幾何上一般表示一組等值曲線。場中的等值線互不相交。如地圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等都是平面標(biāo)量場的等值線的例子。,2、方向?qū)?shù) 為了研究標(biāo)量函數(shù)在場中各點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況，引入方向?qū)?shù)。 當(dāng)上式極限存在，則稱它為 函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿 方向 的方向?qū)?shù)。,方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： 在直角坐標(biāo)系中，設(shè) 在點(diǎn)P0（x0,y0,z0）處可微，則有 點(diǎn)P0至P點(diǎn)的距離矢量為 若 與 軸的夾角分別為

17、 ,則 同理有 , 也稱為 的方向余弦。,例：,求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為,或,例:求數(shù)量場 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿 l=ax+2ay+2az方向的方向?qū)?shù)。 解：l方向的方向余弦為,而,數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為,在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù),3、梯度 方向?qū)?shù)解決了函數(shù)U(P)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問題。但是從標(biāo)量場中的給定點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個(gè)方向，函數(shù)沿其中哪個(gè)方向其變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？ 對同樣的U的增量du

18、，存在著最大的空間增長率，即最大的方向?qū)?shù)。很明顯，沿等值面的法線方向的方向?qū)?shù)最大，其距離最短。 因此可定義用來表示一個(gè)標(biāo)量最大 空間的增長率的大小和方向的矢量G， 就是標(biāo)量的梯度。,梯度公式： 梯度又可以表示為算子與標(biāo)量函數(shù)相乘： 標(biāo)量拉普拉斯算子： 直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達(dá)式：,4、梯度的性質(zhì)： 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影： 在標(biāo)量場中任意一點(diǎn)P處的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面，或說等值面法線方向就是該點(diǎn)的梯度方向 由此，可將等值面 上任一點(diǎn)單位法向矢量表示為：,梯度的旋度恒等于零：,5、梯度的積分 設(shè)標(biāo)量場 u,標(biāo)量場梯度F是一個(gè)無旋場，則由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零：,這說明積分與路徑無關(guān)，僅與始點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2的位置有關(guān)。 選定P1為參考點(diǎn)，P2為任意動(dòng)點(diǎn)，則P2點(diǎn)的函數(shù)值可以表示成： 如果已知一個(gè)無旋場，選定一個(gè)參考點(diǎn)，就可求得其標(biāo)量場u.,結(jié)論：,1.5 亥姆霍茲定理,矢量場的散度、旋度和標(biāo)量場的梯度都是場性質(zhì)的重要度量。換言之，一個(gè)矢量場所具有的性質(zhì)，可完全由它的散度和旋度來表明；一個(gè)標(biāo)量場的性質(zhì)則完全可以由它的梯度來表明。亥姆霍茲定理就是對矢量場性質(zhì)的總結(jié)說明。 無旋場的散度不能處處為零，同樣，無散場的旋度也不能處處為零，否則矢量場就