§2.4高階導(dǎo)數(shù).ppt

1、2.4 高階導(dǎo)數(shù),一、高階導(dǎo)數(shù)的定義,問(wèn)題: 變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.,設(shè)位移函數(shù)為s=s(t), 則速度函數(shù)為v(t)=s(t). 由于加速度a是速度v(t)關(guān)于時(shí)間 t 的變化率, 所以 a = v(t) = s(t),二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù), 記作,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 記作,二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).,一般地, 函數(shù)f(x)的n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù) f (x)的n階導(dǎo)數(shù), 記作,相應(yīng)地, f(x)稱為零階導(dǎo)數(shù), f (x)稱為一階導(dǎo)數(shù).,二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例,1.直接法: 由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).,例1:,解:,例2:,解:,若為自然數(shù)n, 則,例3:,

2、解:,同理可得,注意: 求n階導(dǎo)數(shù)時(shí), 求出1-3或4階后, 不要急于合并, 分析結(jié)果的規(guī)律性, 寫出n階導(dǎo)數(shù), (必要時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明)逐階求導(dǎo), 尋求規(guī)律, 寫出通式.,2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:,設(shè)函數(shù)u和v具有n導(dǎo)數(shù), 則 (1) ( u v )(n) = u(n) v(n) ; (2) ( Cu )(n) = Cu(n) ;,萊布尼茲(Lebniz)公式.,例4:,解: 設(shè) u = e2x, v = x2. 并注意 v= 0, 則由萊布尼茲公式知:,3.間接法: 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過(guò)四則運(yùn)算, 變量代換等方法, 求出n 階導(dǎo)數(shù).,常用高階導(dǎo)數(shù)公式:,例5:,解: 將函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn),所以,注1. 關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)數(shù), 必須注意并分清是對(duì)哪一個(gè)變量來(lái)求導(dǎo)數(shù), 尤其是求高階導(dǎo)數(shù).,注3.,為y=f (u)對(duì)u求導(dǎo)數(shù)后, 再用,u=x2代回.,三、小結(jié),高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;,高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);,n階導(dǎo)數(shù)的求法:,1. 直接法;,2. 間接法.,思考題,設(shè)g(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)可導(dǎo), 且f(x) = (xa)2g(x), 求f (a).,思考題解答,由于g(x)可導(dǎo), 所以:,又由于g(x)不一定存在, 故需用定義求f (a).,注意到f (a) = 0, 所以: