相似三角形與圓的綜合應(yīng)用

1、.個(gè)性化輔導(dǎo)講義：課 題相似三角形與圓的綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1. 了解相似圖形和相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)2. 掌握與圓的相關(guān)性質(zhì)，以及與圓相關(guān)的角的概念及性質(zhì)，理解切線及切線長(zhǎng)定理在圓中的應(yīng)用3. 掌握點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的相關(guān)位置關(guān)系，了解相似三角形在圓中的應(yīng)用重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 相似三角形的定義及相似三角形的判定定理和性質(zhì)2. 與圓相關(guān)的性質(zhì)3. 與圓相關(guān)的位置關(guān)系4. 相似三角形在圓中的應(yīng)用考點(diǎn)及考試要求考點(diǎn)一：相似三角形，了解相似圖形和相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)。考點(diǎn)二：圓的基本性質(zhì)及與圓相關(guān)的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)

2、，特別是垂徑定理、圓周角及圓心角；理解與圓相關(guān)的位置關(guān)系，特殊是直線與圓位置關(guān)系中的相切關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架相似三角形的概念與判定（一）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫相似三角形。相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（也叫相似系數(shù)）。（二）判定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)1.

3、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值2.相似三角形各組對(duì)應(yīng)角相等3.相似三角形各組對(duì)應(yīng)邊的比值相等4.相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比6.相似三角形面積的比等于相似比的平方7.直角三角形中，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)圓的性質(zhì)1、旋轉(zhuǎn)不變性2、圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心3、軸對(duì)稱：4、與圓有關(guān)的角 圓心角 圓周角點(diǎn)和圓、圓與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2.判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有兩種3、常用的輔助線是：圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關(guān)系：1.兩圓的位置關(guān)系有五種2.根據(jù)兩圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷兩圓的位置關(guān)系

4、3.根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和的數(shù)量關(guān)系圓中常見(jiàn)的輔助線1作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等；2作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算；3作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算；4作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角；5作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角直角；6遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)?？键c(diǎn)一：相似三角形典型例題1在ABC中,ABAC, A36,ABC的平分線BD與AC交于D,求證:(1) BCBD (2) ABCBDC 2.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線之比是3:7，周長(zhǎng)之和為30cm, 則它們的周長(zhǎng)分別是 3如圖，已知 = ，求證：ABDACE4在RtABC中，A

5、CB=90，CDAB于D，則BDAD等于（）（A）ab （B）a2b2 （C） （D）不能確定5.如圖，在ABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC于E，=求的值。知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析相似三角形的概念與判定（一）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫相似三角形。相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（也叫相似系數(shù)）。（二）判定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。直角三角形被斜

6、邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)1.相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值2.相似三角形各組對(duì)應(yīng)角相等3.相似三角形各組對(duì)應(yīng)邊的比值相等4.相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比6.相似三角形面積的比等于相似比的平方7.直角三角形中，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)針對(duì)性練習(xí)1兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)分別為10cm和20cm，若它們的周長(zhǎng)的差是60cm，則較大的三角形的周長(zhǎng)是-，若它們的面積之和為260cm2，則較小的三角形的面積為- cm22.如圖，PLMN為矩形，ADBC于D，PLL

7、M=59，且BC=36cm，AD=12cm，求矩形PLMN的周長(zhǎng)3.如圖，在RtABD中，ADB=90,CDAB于C，AC=20cm,BC=9cm,求AB及BD的長(zhǎng)5. 如圖，矩形ABCD中，AEBD于E，若BE=4，DE=9,求矩形的面積考點(diǎn)二：圓、相似與圓的綜合應(yīng)用典型例題1.如圖，AB是ABC的外接圓O的直徑，D是O上的一點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，且DE的延長(zhǎng)線分別交AC、O、BC的延長(zhǎng)線于F、M、G.求證：AEBEEFEG；2.如圖，AB是O的直徑，BC是O的切線，D是O上的一點(diǎn)，且ADCO。(1)求證：ADBOBC；(2)若AB=2，BC=，求AD的長(zhǎng)。(結(jié)果保留根號(hào))ABCDOP圖512

8、3.已知：如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD切O于點(diǎn)C，BDPD，垂足為D，連接BC。求證：（1）BC平分PBD；（2）4.如圖，AB是O的直徑，BCAB，弦ADOC. 求證：CD是O的切線。AODB. 知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析圓的性質(zhì)1、旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；2、圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心性質(zhì)：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量也分別相等。3、軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸4、與圓有關(guān)的角 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的性

9、質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角的性質(zhì)： 圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等 90的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1. 點(diǎn)在圓外 dr 2. 點(diǎn)在圓上d=r3. 點(diǎn)在圓內(nèi)dr直線與圓的位置關(guān)系判定方法有兩種（1）根據(jù)定義，由直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷；（2）根據(jù)性質(zhì)，由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來(lái)判斷常用的輔助線是：圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關(guān)系（1）當(dāng)兩圓有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，叫做兩圓相切，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

10、相切的兩個(gè)圓除了切點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，我們就說(shuō)這兩個(gè)圓外切（如圖1）；，相切的兩個(gè)圓，除了切點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，我們就說(shuō)這兩個(gè)圓內(nèi)切（如圖2）。（2）設(shè)兩個(gè)圓的半徑為R和r,(Rr) ，圓心距為d，則可得兩圓外切d=R+ r; 兩圓內(nèi)切d=R-r。（3）相切兩圓也組成軸對(duì)稱圖形，通過(guò)兩圓的圓心的直線叫做連心線，是他們的對(duì)稱軸，由此我們得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)：相切兩圓的連心線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。兩圓的位置關(guān)系還有以下三種情況：當(dāng)兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做兩圓相交（如圖1）；當(dāng)兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做兩圓相離，相離的兩個(gè)圓，如果一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，我

11、們就說(shuō)這兩個(gè)圓外離（如圖2），如果一個(gè)圓上點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部。我們就說(shuō)這兩個(gè)圓內(nèi)含（如圖3）設(shè)兩個(gè)圓的半徑為R和r,圓心距為d,則（1）兩圓相交 R- r dR+ r;（2）兩圓外離dR+ r;（3）兩圓內(nèi)含dR- r（Rr）; 圓中常見(jiàn)的輔助線1作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等；2作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算；3作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算；4作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角；5作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角直角；6遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)。針對(duì)性練習(xí)：1如圖，AB是O的直徑，弦DEAB，垂足為C，過(guò)點(diǎn)D作O的切線交BA的延

12、長(zhǎng)線于點(diǎn)P，tanP，PO16。(1)求O的半徑；(2)求OC的長(zhǎng)；(3)若F為弧AE的中點(diǎn)，求cosAOF的值。2.已知：如圖，直線PA交O于A、E兩點(diǎn)，PA的垂線DC切O于點(diǎn)C，過(guò)A點(diǎn)作O的直徑AB。（1）求證：AC平分DAB；（2）若DC4，DA2，求O的直徑。3.PC切O于點(diǎn)C，過(guò)圓心的割線PAB交O于A、B兩點(diǎn)，BEPE，垂足為E，BE交O于點(diǎn)D，F(xiàn)是PC上一點(diǎn)，且PFAF，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)G。求證：（1）FGD2PBC；（2）.4.已知直線L與O相切于點(diǎn)A，直徑AB=6，點(diǎn)P在L上移動(dòng)，連接OP交O于點(diǎn)C，連接BC并延長(zhǎng)BC交直線L于點(diǎn)D， （1） 若AP=4， 求線段PC的長(zhǎng)

13、（2） 若PAO與BAD相似，求APO的度數(shù)和四邊形OADC的面積（答案要求保留根號(hào)）鞏固作業(yè)1、如圖，PA、PB是O的切線，A、B為切點(diǎn)，若APB=60，則ABO= . (第1題) (第2題) (第3題) 2如圖，在ABC中，A=90，AB=AC=2cm，A與BC相切于點(diǎn)D，則A的半徑為 cm 3如圖，已知AOB=30，M為OB邊上一點(diǎn)，以M為圓心、2 cm為半徑作M若點(diǎn)M在OB邊上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)OM= cm時(shí)，M 與OA相切4如圖，PA為O的切線，A為切點(diǎn)，PO交O于點(diǎn)B，PA=3，OA=4，則cosAPO的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 5已知正三角形的內(nèi)切圓半徑為cm，則它的邊

14、長(zhǎng)是（ ）（A）2 cm （B）cm （C）2cm （D）cm6已知半徑均為1厘米的兩圓外切，半徑為2厘米，且和這兩圓都相切的圓共有（ ） （A）2個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）5個(gè)7.如圖，AD、AE分別是O的切線，D、E為切點(diǎn)，BC切O于F,交AD、AE于點(diǎn)B、C，若AD=8.則三角形ABC的周長(zhǎng)是（ ） A. 8 B.10 C.16 D.不能確定8.如圖，BC是O的直徑，弦 AEBC，垂足D,AE與BF相交于點(diǎn)G.求證：(1)；(2)BG=GE9.如圖,已知AB是O的直徑,O過(guò)BC的中點(diǎn)D,且DEAC.(1)求證:DE是O的切線.(2)若C=30,CD=10cm,求的半徑O10.如圖，在ABC中，ABC90，AB6，BC8。以AB為直徑的O交AC于D，E是BC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)