中考數(shù)學(xué)壓軸題(對(duì)稱問題、雙動(dòng)點(diǎn)對(duì)稱問題)

1、.（2014濟(jì)寧，第22題11分）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線ACx軸，交直線y=2x于點(diǎn)C；（1）求該拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，判定點(diǎn)A是否在拋物線上，并說明理由；（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，即可判定點(diǎn)A是否在拋物線上本問關(guān)鍵在于求出A的坐標(biāo)如答圖所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)相

2、似三角形RtAEARtOAC，利用相似關(guān)系、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理，求出對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）本問為存在型問題解題要點(diǎn)是利用平行四邊形的定義，列出代數(shù)關(guān)系式求解如答圖所示，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長(zhǎng)度，然后列方程求解解答：解：（1）y=x2+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，解得拋物線的解析式為y=x2x（2）如答圖所示，過點(diǎn)A作AEx軸于E，AA與OC交于點(diǎn)D，點(diǎn)C在直線y=2x上，C（5，10）點(diǎn)A和A關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，OCAA，AD=ADOA=5，AC=10，OC=SOAC=OCAD=OAAC，AD=AA=，在Rt

3、AEA和RtOAC中，AAE+AAC=90，ACD+AAC=90，AAE=ACD又AEA=OAC=90，RtAEARtOAC，即AE=4，AE=8OE=AEOA=3點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），當(dāng)x=3時(shí)，y=（3）2+3=4所以，點(diǎn)A在該拋物線上（3）存在理由：設(shè)直線CA的解析式為y=kx+b，則，解得 直線CA的解析式為y=x+（9分）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2x），則點(diǎn)M為（x，x+）PMAC，要使四邊形PACM是平行四邊形，只需PM=AC又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，（x+）（x2x）=10解得x1=2，x2=5（不合題意，舍去）當(dāng)x=2時(shí)，y=當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（2，）時(shí)，四邊形PACM是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：本

4、題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似、平行四邊形、勾股定理、對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度第（2）問的要點(diǎn)是求對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，第（3）問的要點(diǎn)是利用平行四邊形的定義列方程求解（2014貴州黔西南州, 第26題16分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足點(diǎn)為E，連接AE（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接

5、寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取到最大值時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，求出P的坐標(biāo)，并判斷P是否在該拋物線上第1題圖分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，則代入求得a，b，c，進(jìn)而得解析式與頂點(diǎn)D（2）由P在AD上，則可求AD解析式表示P點(diǎn)由SAPE=PEyP，所以S可表示，進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值（3）由最值時(shí)，P為（，3），則E與C重合畫示意圖，P過作PMy軸，設(shè)邊長(zhǎng)通過解直角三角形可求各邊長(zhǎng)度，進(jìn)而得P坐標(biāo)判斷P是否在該拋物線上，將xP

6、坐標(biāo)代入解析式，判斷是否為yP即可解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，解得 ，解析式為y=x22x+3x22x+3=（x+1）2+4， 拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，4）（2）A（3，0），D（1，4），設(shè)AD為解析式為y=kx+b，有 ，解得 ，AD解析式：y=2x+6，P在AD上，P（x，2x+6），SAPE=PEyP=（x）（2x+6）=x23x（3x1），當(dāng)x=時(shí)，S取最大值（3）如圖1，設(shè)PF與y軸交于點(diǎn)N，過P作PMy軸于點(diǎn)M，PEF沿EF翻折得PEF，且P（，3），PFE=PFE，PF=PF=3，PE=PE=，PFy軸，PFE=F

7、EN，PFE=PFE，F(xiàn)EN=PFE，EN=FN，設(shè)EN=m，則FN=m，PN=3m在RtPEN中，（3m）2+（）2=m2，m=SPEN=PNPE=ENPM，PM=在RtEMP中，EM=，OM=EOEM=，P（，）當(dāng)x=時(shí)，y=（）22+3=，點(diǎn)P不在該拋物線上點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)圖象、性質(zhì)及設(shè)邊長(zhǎng)利用勾股定理解直角三角形等常規(guī)考點(diǎn)，題目考點(diǎn)適中，考法新穎，適合學(xué)生練習(xí)鞏固（2014攀枝花，第24題12分）如圖，拋物線y=ax28ax+12a（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0），且ACD=90（1）請(qǐng)直接寫出A、B

8、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；若不存在，說明理由；（4）平行于y軸的直線m從點(diǎn)D出發(fā)沿x軸向右平行移動(dòng)，到點(diǎn)A停止設(shè)直線m與折線DCA的交點(diǎn)為G，與x軸的交點(diǎn)為H（t，0）記ACD在直線m左側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍分析：（1）令y=ax28ax+12a=0，解一元二次方程，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）由ACD=90可知ACD為直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式；（3）PAC的周長(zhǎng)=AC+PA+PC，AC為定值，則當(dāng)PA+PC取

9、得最小值時(shí)，PAC的周長(zhǎng)最小設(shè)點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，連接AC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知點(diǎn)P即為所求；（4）直線m運(yùn)動(dòng)過程中，有兩種情形，需要分類討論并計(jì)算，避免漏解解答：解：（1）拋物線的解析式為：y=ax28ax+12a（a0），令y=0，即ax28ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，A（2，0），B（6，0）（2）拋物線的解析式為：y=ax28ax+12a（a0），令x=0，得y=12a，C（0，12a），OC=12a在RtCOD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；在RtCOD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12

10、a）2+22=144a2+4；在RtCOD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，解得：a=或a=（舍去），拋物線的解析式為：y=x2x+（3）存在對(duì)稱軸為直線：x=4由（2）知C（0，），則點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸x=4的對(duì)稱點(diǎn)為C（8，），連接AC，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求此時(shí)PAC周長(zhǎng)最小，最小值為AC+AC設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有：，解得， y=x當(dāng)x=4時(shí)，y=，P（4，）過點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E，則CE=，AE=6，在RtACE中，由勾股定理得：AC=4；在RtAOC中，由勾股定理得：AC=4AC+AC=4+4存在滿足條

11、件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，），PAC周長(zhǎng)的最小值為4+4（4）當(dāng)6t0時(shí)，如答圖41所示直線m平行于y軸，即，解得：GH=（6+t）S=SDGH=DHGH=（6+t）（6+t）=t2+2t+6；當(dāng)0t2時(shí)，如答圖42所示直線m平行于y軸，即，解得：GH=t+2S=SCOD+S梯形OCGH=ODOC+（GH+OC）OH=62+（t+2+2）t=t2+2t+6S=點(diǎn)評(píng)：本題是典型的二次函數(shù)壓軸題，綜合考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，難度不大第（3）考查最值問題，注意利用軸對(duì)稱的性質(zhì)；第（4）問是動(dòng)線型問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意圖形面積

12、的計(jì)算（2014山東煙臺(tái)，第26題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，ACB=90，OA=，拋物線y=ax2axa經(jīng)過點(diǎn)B（2，），與y軸交于點(diǎn)D（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由；（3）延長(zhǎng)BA交拋物線于點(diǎn)E，連接ED，試說明EDAC的理由分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式即可求得（2）通過AOCCFB求得OC的值，通過OCDFCB得出DC=CB，OCD=FCB，然后得出結(jié)論（3）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，求得與拋物線的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后通過解三角函數(shù)求得結(jié)果解答：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物

13、線的表達(dá)式，得=a222aa，解得a=，拋物線的表達(dá)式為y=x2x（2）連接CD，過點(diǎn)B作BFx軸于點(diǎn)F，則BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，設(shè)OC=m，則CF=2m，則有=，解得m=m=1，OC=OF=1，當(dāng)x=0時(shí)y=，OD=，BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，點(diǎn)B、C、D在同一直線上，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上（3）過點(diǎn)E作EGy軸于點(diǎn)G，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，則，解得k=，y=x+，代入拋物線的表達(dá)式x+=x2x解得x=

14、2或x=2，當(dāng)x=2時(shí)y=x+=（2）+=，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，），tanEDG=，EDG=30tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定及性質(zhì)，以及對(duì)稱軸的性質(zhì)和解三角函數(shù)等知識(shí)的理解和掌握(2014年湖北咸寧23（10分）)如圖1，P（m，n）是拋物線y=1上任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且與x軸平行的直線，過點(diǎn)P作直線PHl，垂足為H【探究】（1）填空：當(dāng)m=0時(shí)，OP=1，PH=1；當(dāng)m=4時(shí)，OP=5，PH=5；【證明】（2）對(duì)任意m，n，猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想【應(yīng)用】（3）如圖2，已知線段AB=6，端點(diǎn)A

15、，B在拋物線y=1上滑動(dòng)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值分析：（1）m記為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m=0時(shí)，直接代入x=0，得P（0，1），則OP，PH長(zhǎng)易知當(dāng)m=4時(shí)，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP（2）（2）猜想OP=PH證明時(shí)因?yàn)镻為所有滿足二次函數(shù)y=1的點(diǎn)，一般可設(shè)（m，1）類似（1）利用勾股定理和PH=yP（2）可求出OP與PH，比較即得結(jié)論（3）考慮（2）結(jié)論，即函數(shù)y=1的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于其到l的距離要求A、B兩點(diǎn)到l距離的和，即A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的和，若AB不過點(diǎn)O，則OA+OBAB=6，若AB過點(diǎn)O，則OA+OB=AB=6，所以O(shè)A+OB6，即

16、A、B兩點(diǎn)到l距離的和6，進(jìn)而最小值即為6解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5如圖1，記PH與x軸交點(diǎn)為Q，當(dāng)m=0時(shí)，P（0，1）此時(shí)OP=1，PH=1當(dāng)m=4時(shí)，P（4，3）此時(shí)PQ=3，OQ=4，OP=5，PH=yP（2）=3（2）=5（2）猜想：OP=PH證明：過點(diǎn)P作PQx軸于Q，P在二次函數(shù)y=1上，設(shè)P（m，1），則PQ=|1|，OQ=|m|，OPQ為直角三角形，OP=， PH=yP（2）=（1）（2）=，OP=PH（3）解：如圖2，連接OA，OB，過點(diǎn)A作ACl于C，過點(diǎn)B作BDl于D，此時(shí)AC即為A點(diǎn)到l的距離，BD即為B點(diǎn)到l的距離則有OB=BD，OA=A

17、C，在AOB中，OB+OAAB，BD+ACAB當(dāng)AB過O點(diǎn)時(shí)，OB+OA=AB，BD+AC=AB綜上所述，BD+ACAB，AB=6，BD+AC6，即A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值為6點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)與其圖象的理解，另外涉及一些點(diǎn)到直線距離，利用勾股定理就坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離及最短距離等知識(shí)點(diǎn)，總體來說難度不高，但知識(shí)新穎易引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，非常值得學(xué)生練習(xí)( 2014年河南) (23. 11分）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(5,0）兩點(diǎn)，直線y=x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F，交直

18、線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m。（1）求拋物線的解析式；（2）若PE =5EF,求m的值；（3）若點(diǎn)E/是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E/落在y軸上？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：(1)拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A (1,0) , B(5,0)兩點(diǎn)， 拋物線的解析式為y=x2+4x+53分 （2）點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，則P(m,m24m5）,E(m,m+3)，F(xiàn)(m,0), 點(diǎn)P在x軸上方，要使PE=5EF,點(diǎn)P應(yīng)在y軸右側(cè)， 0m5. PE=m24m5(m3)= m2m24分分兩種情況討論： 當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F上方時(shí)，EF=m3. PE=5EF，

19、m2m2=5(m3) 即2m217m26=0，解得m1=2，m2=（舍去）6分 當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F下方時(shí)，EF=m3. PE=5EF，m2m2=5(m3)，即m2m17=0，解得m3=，m4=（舍去），m的值為2或8分 (3),點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(，),P2(4，5), P3(3，23).11分 【提示】E和E/關(guān)于直線PC對(duì)稱，E/CP=ECP;又PEy軸，EPC=E/CP=PCE, PE=EC,又CECE/，四邊形PECE/為菱形過點(diǎn)E作EMy軸于點(diǎn)M,CMECOD，CE=. PE=CE,m2m2=m或m2m2=m， 解得m1=，m2=4， m3=3，m4=3+（舍去） 可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(，

20、),P2(4，5), P3(3，23)。（2014廣州,第24題14分）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線（）過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C點(diǎn)P（m，n）（n0）為拋物線上一點(diǎn)（1）求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（2）當(dāng)APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍（3）若，當(dāng)APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t（）個(gè)單位，點(diǎn)P、C移動(dòng)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短？若存在，求t值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題.(1)二次函數(shù)待定系數(shù)法; (2)存在性問題,相似三角形;(3)最終問題,軸對(duì)稱,兩點(diǎn)之間線段

21、最短【答案】(1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得: ;解得: 拋物線解析式為頂點(diǎn)橫坐標(biāo),將代入拋物線得(2)如圖,當(dāng)時(shí),設(shè),則過作直線軸, (注意用整體代入法)解得,當(dāng)在之間時(shí)，或時(shí)，為鈍角.(3)依題意，且設(shè)移動(dòng)（向右，向左）連接則又的長(zhǎng)度不變四邊形周長(zhǎng)最小，只需最小即可將沿軸向右平移5各單位到處 沿軸對(duì)稱為當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小為，此時(shí)，設(shè)過的直線為，代入 即將代入，得：，解得：當(dāng)，P、C向左移動(dòng)單位時(shí)，此時(shí)四邊形ABPC周長(zhǎng)最小。（2014四川瀘州，第25題，12分）如圖，已知一次函數(shù)y1=x+b的圖象l與二次函數(shù)y2=x2+mx+b的圖象C都經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C，且圖象C

22、過點(diǎn)A（2，0）（1）求二次函數(shù)的最大值；（2）設(shè)使y2y1成立的x取值的所有整數(shù)和為s，若s是關(guān)于x的方程=0的根，求a的值；（3）若點(diǎn)F、G在圖象C上，長(zhǎng)度為的線段DE在線段BC上移動(dòng)，EF與DG始終平行于y軸，當(dāng)四邊形DEFG的面積最大時(shí)，在x軸上求點(diǎn)P，使PD+PE最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后求出其最大值；（2）聯(lián)立y1與y2得，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（，），因此使y2y1成立的x的取值范圍為0x，得s=1+2+3=6；將s的值代入分式方程，求出a的值；（3）第1步：首先確定何時(shí)四邊形DEFG的面積最大如答圖1

23、，四邊形DEFG是一個(gè)梯形，將其面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，這個(gè)代數(shù)式是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)其最值求出未知數(shù)的值，進(jìn)而得到面積最大時(shí)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；第2步：利用幾何性質(zhì)確定PD+PE最小的條件，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)如答圖2，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE，與x軸交于點(diǎn)P根據(jù)軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD+PE最小利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：（1）二次函數(shù)y2=x2+mx+b經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）與A（2，0），解得l：y1=x+1；C：y2=x2+4x+1y2=x2+4x+1=（x2）2+5，ymax=5；（2）聯(lián)立y1與y2得：x+1=x2+4x+

24、1，解得x=0或x=，當(dāng)x=時(shí)，y1=+1=，C（，）使y2y1成立的x的取值范圍為0x，s=1+2+3=6代入方程得解得a=；（3）點(diǎn)D、E在直線l：y1=x+1上，設(shè)D（p，p+1），E（q，q+1），其中qp0如答圖1，過點(diǎn)E作EHDG于點(diǎn)H，則EH=qp，DH=（qp）在RtDEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（qp）2+（qp）2=（）2，解得qp=2，即q=p+2EH=2，E（p+2，p+2）當(dāng)x=p時(shí)，y2=p2+4p+1，G（p，p2+4p+1），DG=（p2+4p+1）（p+1）=p2+p；當(dāng)x=p+2時(shí)，y2=（p+2）2+4（p+2）+1=p2+5，F(xiàn)（p+

25、2，p2+5）EF=（p2+5）（p+2）=p2p+3S四邊形DEFG=（DG+EF）EH=（p2+p）+（p2p+3）2=2p2+3p+3當(dāng)p=時(shí)，四邊形DEFG的面積取得最大值，D（，）、E（，）如答圖2所示，過點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，則D（，）；連接DE，交x軸于點(diǎn)P，PD+PE=PD+PE=DE，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD+PE最小設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b，則有，解得直線DE的解析式為：y=x令y=0，得x=，P（，0）（2014海南,第24題14分）如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)

26、（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小？請(qǐng)說明理由分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，1）；連接PM2

27、，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最小解答：解：（1）對(duì)稱軸為直線x=2，設(shè)拋物線解析式為y=a（x2）2+k將A（1，0），C（0，5）代入得：，解得，y=（x2）2+9=x2+4x+5（2）當(dāng)a=1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2設(shè)P（x，x2+4x+5），如答圖2，過點(diǎn)P作PNy軸于點(diǎn)N，則PN=x，ON=x2+4x+5，MN=ONOM=x2+4x+4S四邊形MEFP=S梯形OFPNSPMNSOME=（PN+OF）ONPNMNOMOE=（x+2）（x2+4x+5）x（x2+4x+4）11=x2+x+=（x）2+當(dāng)x=時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)

28、為（，）（3）M（0，1），C（0，5），PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3令y=x2+4x+5=3，解得x=2點(diǎn)P在第一象限，P（2+，3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最小設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，1）代入得：，解得：m=，n=，y=x當(dāng)y=0時(shí)，解得x=F（，0）a+1=，a=a=時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計(jì)算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對(duì)稱最短路線的性質(zhì)試題計(jì)算量偏大，注意認(rèn)真計(jì)算（2013湖南張家界，25，12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=O