線性代數(shù) 線性方程組的基本概念.ppt

1、,第四章 線性方程組,4.1 線性方程組的基本概念,下面將討論一般線性方程組。,在第一章中，討論了方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等的,而實(shí)際問(wèn)題中，方程組的方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù),不一定相等。,一、線性方程組的幾種表示形式,方程組，,需要探討的問(wèn)題,是第 i 個(gè)方程第 j 個(gè)未知量 xj 的系數(shù)，,1. 線性方程組的一般形式,為常數(shù)項(xiàng)。,否則稱為齊次線性方程組 (或者導(dǎo)出組)。,一、線性方程組的幾種表示形式,1. 線性方程組的一般形式,一、線性方程組的幾種表示形式,2. 線性方程組的矩陣形式,簡(jiǎn)記為,1. 線性方程組的一般形式,一、線性方程組的幾種表示形式,2. 線性方程組的矩陣形式,3. 線性方

2、程組的向量形式,令,對(duì)于線性方程組,則得到向量形式為,即,將右端項(xiàng)表示成系數(shù)陣的列向量的線性組合,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,若 A X = b 有解，,則 b 可由 線性表示，,故向量組 與 等價(jià)，,充分性,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,線性方程組 A X = b 有解的充要條件是,定理,證明,故 b 可由 的線性表示，,則 的極大線性無(wú)關(guān)組也是,即得 A X = b 有解。,的極大線性無(wú)關(guān)組，,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,2. 線性方程組解的惟一性,即 A X = b 的解是惟一的。,即存在

3、 ，使得,(1) 若,則 線性無(wú)關(guān)，,故 b 只能由 的惟一地線性表示，,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,2. 線性方程組解的惟一性,證明,故 A X = b 的解不惟一。,(2) 若,線性相關(guān)，,即存在不全為零的 ，使得,可見(jiàn) 也是 A X = b 的解，,則,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,2. 線性方程組解的惟一性,對(duì)于線性方程組 A X = b， 有,(2) 當(dāng) 時(shí)，方程組有唯一解;,(1) 當(dāng) 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解;,(3) 當(dāng) 時(shí)，方程組有無(wú)解。,有非零解,有非零解,二、線性方程組解的存在性與惟一性,3. 關(guān)于齊次線性方程組的一些結(jié)論,(3) 若 m = n ，即 A 為方陣，則,(1) 一定有(零)解。,則必有非零解。,(2) 只有零解,只有零解,特別，若 m n ，即方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，,對(duì)于齊次線性方程組 有如下結(jié)論：,三、等價(jià)的線性方程組,若存在可逆矩陣 P ，使 P A = B ，則線性方程組,定理,證明,A X = b 與 B X = P b 等價(jià)(同解)。,由,由,故線性方程組 A X = b 與 B X = P b 等價(jià)。,三、等價(jià)的線性方程組,定理的重要意義,則線性方程組 A