非線性狄拉克方程

1、非線性狄拉克方程評(píng)論王暢游數(shù)學(xué)系肯塔基大學(xué)列克星敦，肯塔基州40506，美國(guó)概論對(duì)于一個(gè)n維自旋流形M有一個(gè)固定的自旋結(jié)構(gòu)和自旋量叢M，我們可以證明對(duì)立方非線性下非線性Dirac方程弱解-正則性定理。這個(gè)定理回答了陳約斯特 - 王5提出了當(dāng)n=2一個(gè)規(guī)律性的問(wèn)題。介紹線性狄拉克方程，包括二維空間中的黎曼-柯西方程，是橢圓方程中最基本的一階系統(tǒng)。在學(xué)習(xí)狄拉克調(diào)和映射的曲率項(xiàng)從一個(gè)黎曼曲面到一個(gè)黎曼流形課程時(shí)，陳-王-約斯特 4，5 介紹了立方非線性非線性狄拉克方程i=j,k,l=1NHjklij,kl,1iN. (1)在二維空間中，非線性狄拉克方程的一個(gè)有趣的特點(diǎn)

2、是，它是共形不變的，具有臨界非線性，此時(shí)經(jīng)典方法不能適用。因此，研究方程（1）弱解的正則性是一個(gè)有趣的問(wèn)題。這篇文章為方程（1）的一般規(guī)律提供一個(gè)基本證明。為了描述這個(gè)規(guī)律，首先簡(jiǎn)要回顧了自旋流形的一些背景材料。有興趣的讀者可以參考勞森michelsohn 6 ，陳約斯特李王 2，3 的更多細(xì)節(jié)。對(duì)于n2，M,g是一個(gè)給定自旋結(jié)構(gòu)和相關(guān)旋量叢的自旋流形。設(shè).,.是上的一個(gè)哈密頓度量，是上兼容.,.與g的Levi-Civita連接. 上的狄拉克算符定義為=ee， e=1n是M上的局部正交場(chǎng)，:TMC是克利福德乘法。把（1）式寫(xiě)成如下形式=Hjklj,kl (2)此時(shí)=1,NN, N1,Hjkl=

3、Hjkl1,HjklNCM,RN,我們推薦讀者參考書(shū)目5第一章，作者討論了兩個(gè)有趣的例子中（2）式結(jié)果很自然地可以得到。第一個(gè)例子是狄拉克-調(diào)和映射,相關(guān)的狄拉克曲率項(xiàng)諧波能量泛函，超弦理論中的一個(gè)非線性模型，其中關(guān)于的非線性狄拉克方程簡(jiǎn)化為（2）的時(shí)候是常數(shù)映射第二個(gè)例子是極小曲面X沉浸在R3的全純形式和亞純函數(shù)的Weierstrass表達(dá)式，其中方程（2）的形式自然出現(xiàn)。這表明方程（2）的基本函數(shù)空間為L(zhǎng)4M。正如參考書(shū)目5所指出的那樣，方程（2）的任意一個(gè)弱解是光滑的并且規(guī)定對(duì)于任意的p4 ，LPM。在 5 中，作者證明了當(dāng)n=2時(shí)方程（2）三個(gè)有趣的解析性質(zhì)：（i）在L4極小面積規(guī)范條

4、件下，估計(jì)方程（2）平滑解的梯度，（ii）可剔除的孤立奇點(diǎn)定理，及（iii）順序弱收斂光滑解的能量身份定理。猜想1.1：當(dāng)n=2時(shí)，對(duì)于方程（2）的任意弱解L4M是光滑的。在這篇文章中，猜想1.1得到了肯定的回答。事實(shí)上，我們證明了任何維度下方程弱解的一般性正則定理。這個(gè)想法是基于在Morrey空間之間的Riesz電位估計(jì)法，參考亞當(dāng)斯 1 。王旭已用類似方法證明了高階狄拉克調(diào)和映射的正則性 7 。該證明是非常普遍的，可以適用于其他類似的問(wèn)題說(shuō)明我們的結(jié)果之前，讓我們先回憶方程（2）弱解的定義。定義1.2：切面L4N是方程（2）的一個(gè)弱解，若M ,=M Hjklj,kl,對(duì)任意光滑部分CN均成

5、立，M的單射半徑為iM且iM0，Brx為空間M中的測(cè)地線球半徑0r0， L4N是狄拉克方程（2）的一個(gè)弱解并且當(dāng)x0M， 0r012iMsupxBrx,0rr01rn-2Brx 404則CBr02x0。根據(jù)Holder不等式得，當(dāng)n2時(shí)，1rn-2Brx 4Brx 2n2n因此。我們可以立即得到定理1.3.推論1.4：n2時(shí)若L2nN是狄拉克方程（2）的弱解，則CN很明顯當(dāng)n=2時(shí)，推論1.4可得出猜想1.1。2證明定理1.3這一部分用來(lái)證明定理1.3，由于該規(guī)律是局部的，假定在簡(jiǎn)單的圖像下，對(duì)于x0M,以g為度規(guī)的測(cè)地線球Bi Mx0M，用B2,g0來(lái)描述。B2Rn是以原點(diǎn)為球心，半徑為2的

6、球體，g0是Rn上的歐幾里得度量。同時(shí)假設(shè) B2=B2CL，矩陣L=C此時(shí)我們回顧下morrey空間的定義。定義2.1：1pn,0n，且 URn，morrey空間Mp,U定義為Mp,UfLlocpU:fMp,U+其中fMp,Up=supr-nBr fp:BrU很容易看出當(dāng)1pn,Mp,ULpU,Mp,nU=LpU 從定標(biāo)的角度來(lái)看Mp,pU與LnU相似。 很顯然定理1.3中的條件（4）等價(jià)于M4,2Br0x00因此定理1.3可由以下引理得出。引理2.2:對(duì)于任意的4p0使得若M4,2B1是方程(2)的弱解且M4,2B10則LpB116,CNL，進(jìn)一步來(lái)說(shuō)CB116,CNL且lC0B116C0,

7、l,l1證明將算符作用于方程（2），可以得到當(dāng)1iN2i=Hjklij,kl通過(guò)Lichnerowitz公式cf.6,我們可以得到-i=2i因此可得-i= Hjklij,kl當(dāng)m=1,2，假設(shè)mC0B1,0m1,且在B21-2m上的m1。當(dāng)1iN定義fmi:RnCLfmix=Rn Gx,yyym3Hjklij,klydy其中Gx,y是在在Rn的基礎(chǔ)解。當(dāng)1iN定義gmi:B1C且i=fmi+gmi（9）直接計(jì)算表明當(dāng)m=1，2，1iN，-fmi=m3Hjklij,kl =Hjklij,kl in B21-2m（10）上式與（7）式表明gmi=0 in B21-2m由（8）式可得當(dāng)m=1,2，1iN時(shí)fmixCRn x-y1-nmyy3dy=CI1m33x其中I1fx=Rn x-y1-nfydy,f:RnR是一階Riesz位勢(shì)。此時(shí)回顧下Morrey空間中的亞當(dāng)斯不等式（cf.1）:I1fMq-q,RnCfMq,Rn,1q0使得C022.然后可以得到M4,2Bx02M4,2B1,x0B14.由(18)式迭代可得M4,2Brx0Cr2M4,2B1,x0B14且0r14.特別是，對(duì)于任意的113可得r21-nBrx0 4CB1 4,x0B14且0r4,LpB116且LpB116Cn,pM4,2B1.因?yàn)镃3,由