第六章多元函數(shù)微分學 課件

1、第六章,多,元,函,數(shù),微,分,學,(,一,),本,章,內(nèi),容,小,結(jié),(,二,),常見問題分類及解法,(,三,),思,考,題,(,四,),課,堂,練,習,(,一,),本章內(nèi)容小結(jié),一、主要內(nèi)容,1,、空間解析幾何簡介,2,、矢量的概念，線性運算及坐標表示，兩向量的數(shù)量積與,向量積。,3,、平面的點法式與一般式方程，直線的標準式與一般式方,程，曲面與空間曲線，常見的二次曲面。,4,、多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限與連續(xù)。,5,、偏導數(shù)與全微分。,6,、多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法。,7,、多元函數(shù)的極值、最大值和最小值。,二、對學習的建議,本章的第二節(jié)和第三節(jié)是空間解析幾何較深入的內(nèi)容，學,時

2、較少的專業(yè)可以不學或選學，而對有些專業(yè)，如計算機專業(yè)，,建筑工程專業(yè)，應該是必修的內(nèi)容，為了配合本章內(nèi)容的學習，,特提出如下建議，供讀者參考。,1,、直線、平面方程是用坐標法與向量相結(jié)合的方法建立起,來的。學習空間解析幾何不僅要熟悉以上圖形，更應深入理解,采用數(shù)、形結(jié)合及運用向量研究空間圖形的基本思想和方法。,2,、學習空間解析幾何部分，應注意對空間圖形想像力的培,養(yǎng)，這也是學習多元函數(shù)微分的需要。球面、柱面、錐面及旋,轉(zhuǎn)曲面都比較重要，讀者能夠根據(jù)它們的方程辨認，并畫出它,們的圖形。,3,、多元函數(shù)微分學與一元函數(shù)微分學是相對應的，學習,這一部分內(nèi)容，應注意用對比的方法，先回顧一下一元函數(shù)的

3、,有關(guān)內(nèi)容對理解和掌握多元函數(shù)相應的內(nèi)容是有幫助的。,4,、偏導數(shù)與復合函數(shù)的求導法則是本章的重點，讀者務,必理解偏導數(shù)的概念及幾何意義，并通過較多的練習，熟練、,靈活的掌握連鎖法則，確保求導的正確性。,5,、求解最值問題是多元函數(shù)微分學的重要應用，應給予,足夠的重視。在實際問題求解中，關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式和約,束條件關(guān)系式。建立函數(shù)關(guān)系式的能力，可通過一些習題來加,強。若求出駐點是惟一的，而最值又存在，則該駐點的函數(shù)值,三、本章關(guān)鍵詞,就是最值。因此求最值的應用問題，實際上就是求函數(shù)的駐,點。,空間解析幾何,矢量,曲面與曲線,偏導數(shù),全微分,多元復合函數(shù)求導,多元函數(shù)極值,(,二,),常見問

4、題分類及解法,一、求二元函數(shù)定義域的方法,0,1,2,2,0,1,2,二元函數(shù)定義域的求法與一元函數(shù)定義域的求法相同，,即考慮分式的分母不能為零；負數(shù)不能開偶次方，零與負數(shù),無對數(shù)，反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的自變量部分只能在,-1,與,1,之間取值，正切函數(shù)的自變量部分不能等于,，,，,，,，余切函數(shù)的自變量部分不能等于,，,，,，,，,?？紤]到以上這些因素，建立不等式組，,求出其解的交集，就是二元函數(shù)的定義域。定義域的代數(shù)表,達式為,k,k,k,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),|,滿足的條件,D,x,y,x,y,?,2,2,l,n,(,),1,求,函,數(shù),的,定,義,域,并

5、,做,出,定,義,域,的,圖,形,。,y,z,yx,x,y,?,?,?,?,例,1,解,y,O,x,1,?,2,2,2,2,0,0,0,0,1,y,x,y,x,y,y,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,要,使,函,數(shù),有,意,義,，,只,需,，,，,1,，,即,，,，,2,2,(,),|,0,1,故,定,義,域,：,，,D,x,y,y,y,xx,y,?,?,?,?,?,定,義,域,圖,形,如,圖,6,-,1,所,示,.,圖,6-1,例,1,函數(shù)定義域,二、求二元函數(shù)偏導數(shù)的方法,1,、利用一元函數(shù)求導法，只要記住對一個變量求導時，把,另一個變量暫時看作常量就行。,a,r,

6、c,t,a,n,求,的,偏,導,數(shù),。,x,z,y,?,例,2,解,2,2,2,1,1,1,，,z,y,x,y,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,.,1,z,x,x,y,y,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,、二元復合函數(shù)求偏導數(shù)可引入中間變量，一般抽象的函,數(shù)求偏導數(shù)也要引入中間變量。,2,2,求,的,偏,導,數(shù),。,x,y,zy,e,?,?,例,2,解,2,2,令,，,，,uy,x,y,?,?,?,?,則,z,u,e,?,?,z,x,?,?,z,u,z,u,x,x,?

7、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,e,u,e,x,?,?,?,?,2,2,2,x,y,x,y,e,?,?,z,y,?,?,z,u,z,u,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,e,u,e,y,?,?,?,?,2,2,2,(,1,2,),.,x,y,e,y,?,?,?,注：因函數(shù)解析式明顯給出，也可直接求偏導。,2,設(shè),，,求,偏,導,數(shù),。,x,z,f,xy,y,?,?,?,?,?,?,?,?,例,4,2,設(shè),，,，,x,u,v,x,y,y,?,?,?,解,(,),則,z,f,u,v,?,z,x,?,?,z,u,z,v,u,x,v,x,?,?,?,

8、?,?,?,?,?,?,?,1,u,v,f,f,y,?,?,?,?,z,y,?,?,z,u,z,v,u,y,v,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,.,u,v,x,f,y,f,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,、求隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)。,一般有如下三種方法：,(,1,),公,式,法,2,2,l,n,a,r,c,t,a,n,(,),求,由,方,程,所,確,定,隱,函,數(shù),的,導,數(shù),。,y,x,y,yfx,x,?,?,例,5,解,2,2,1,(,),l,n,(,)a,r,c,t,a,n,2,設(shè),，,y,F,x,y,x,y,x,?,?,?,則,x,F,2,2,2,

9、2,1,1,x,y,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,x,y,x,y,?,?,?,y,F,2,2,2,1,1,1,y,x,x,y,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,y,x,x,y,?,?,?,.,所,以,x,y,F,d,y,x,y,d,x,F,x,y,?,?,?,?,?,(,2,),全,微,分,法,2,2,2,(,),(,),求,由,方,程,確,定,的,隱,函,數(shù),z,的,偏,導,數(shù),。,其,中,可,微,。,x,y,zf,xyz,z,x,y,f,?,?,?,?,?,?,例,6,解,因,為,等,號,右,端,為

10、,抽,象,函,數(shù),，,2,2,2,.,故,設(shè),中,間,變,量,u,xy,z,?,?,?,(,),則,原,方,程,為,，,x,y,z,f,u,?,?,?,(,),(,),所,以,，,d,x,y,z,d,f,u,?,?,?,因此有,d,x,d,y,d,z,?,?,2,2,2,(,)(,),f,u,d,x,y,z,?,?,?,?,(,),(,2,2,2,),f,u,x,d,x,y,d,y,z,d,z,?,?,?,x,y,d,xd,yz,d,xz,d,y,?,?,?,(,),(,),f,udu,?,?,(,),2,22,(,),x,y,f,u,x,d,x,y,d,y,z,z,d,x,z,d,y,?,?

11、,?,?,?,1,2,(,),2,(,),1,2,(,),2,(,),x,x,y,y,z,x,f,u,z,z,f,u,d,x,z,y,f,u,z,z,f,u,d,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,?,所,以,1,2,(,),1,2,(,),x,x,f,u,z,z,f,u,?,?,?,?,?,1,2,(,),.,1,2,(,),y,y,f,u,z,z,f,u,?,?,?,?,?,(,3,),對,隱,函,數(shù),求,，,可,對,方,程,兩,端,求,導,。,注,意,是,的,函,數(shù),，,暫,時,看,作,常,數(shù),，,若,求,，,方,程,兩,端,對,求,導,，,注,意,是,的,函,數(shù),，,暫

12、,時,看,作,常,數(shù),。,如,例,6,。,z,x,z,x,x,z,y,y,z,y,y,x,?,?,?,?,1,(,),(,2,2,),，,x,x,z,f,u,xz,z,?,?,?,?,1,2,(,),1,2,(,),；,x,x,f,u,z,z,f,u,?,?,?,?,?,1,(,),(,22),，,y,y,z,fuy,z,z,?,?,?,?,1,2,(,),.,1,2,(,),y,y,f,u,z,z,f,u,?,?,?,?,?,求出函數(shù)的二階偏導數(shù),.,就每一個駐點考察,B,2,-,AC,的正負，判定極值點,.,若有極,值，再根據(jù),A,(,或,C,),的正負判斷其為極大還是極小值，進,而討論極

13、值與最值,.,若是應用問題，需根據(jù)題目條件首先寫出取極值的目標函,數(shù)，求出駐點，若駐點惟一，最值又存在，則此點即為所求，,不需驗證，依題意，指出駐點處為最大或最小值即可,.,三、求二元函數(shù)的極值與最值的方法,1,、基本步驟,求出函數(shù)的一階偏導數(shù)，解出駐點,.,3,3,(,),3,求,的,極,值,。,f,x,x,y,x,y,?,?,?,例,7,解,2,2,3,3,3,3,，,x,y,f,x,y,f,y,x,?,?,?,?,解,得,駐,點,(,0,0,),，,(,1,1,),，,6,3,6,又,，,，,x,x,x,y,y,y,f,x,f,f,y,?,?,?,?,2,9,0,對,于,點,(,0,0,

14、),，,，,B,A,C,?,?,?,(,),在,點,(,0,，,0,),不,取,極,值,；,fx,2,2,7,0,6,0,對,于,點,(,1,1,),，,，,，,B,A,C,A,?,?,?,?,?,?,(,),1,.,在,點,(,1,1,),取,得,極,小,值,(,1,1,),f,x,f,?,?,1,1,2,2,1,2,1,2,2,2,1,1,2,2,1,2,6,1,0,.,4,2,設(shè),有,需,求,函,數(shù),，,其,中,，分,別,是,對,兩,種,商,品,的,需,求,量,，,，,是,相,應,的,價,格,，,生,產(chǎn),兩,種,商,品,的,總,成,本,函,數(shù),是,，,問,兩,種,商,品,生,產(chǎn),多,少,

15、時,，,可,獲,得,最,大,利,潤,？,Q,P,Q,P,Q,Q,P,P,K,Q,Q,Q,Q,?,?,?,?,?,?,?,例,8,解,1,1,2,2,2,6,4,0,4,由,需,求,函,數(shù),知,，,P,Q,P,Q,?,?,故,總,利,潤,函,數(shù),為,L,11,2,2,P,Q,P,Q,K,?,?,?,2,2,2,2,11,2,2,1,1,2,2,2,6,4,0,4,2,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,?,?,?,?,?,?,2,2,1,1,2,2,1,2,2,62,4,052,Q,Q,Q,Q,Q,Q,?,?,?,?,1,2,1,2,2,1,2,6,4,2,0,4,0,1,0,2,0,解,方,程,組

16、,，,Q,Q,L,Q,Q,LQ,Q,?,?,?,?,?,?,?,?,得,駐,點,(,5,3,),1,1,1,2,2,2,4,2,1,0,而,，,，,Q,Q,Q,Q,Q,Q,L,L,L,?,?,?,?,?,?,2,3,6,04,0,.,所,以,，,且,B,A,C,A,?,?,?,?,?,?,?,于是，生產(chǎn)第一種商品,5,單位，第二種商品,3,單位時利潤最,大。,(,此題在求出駐點后，也可根據(jù)步驟，直接得出結(jié)果,!),2,、若是條件極值問題，利用拉格朗日乘數(shù)法,其關(guān)鍵在于根據(jù)問題寫出要求極值的目標函數(shù)與條件函,數(shù)。構(gòu)造出拉格朗日函數(shù)，求出駐點。之后，根據(jù)問題的實,際性，定出極大值或極小值。,2,2

17、,1,拋,物,面,被,平,面,截,得,一,個,橢,圓,。,求,原,點,到,這,橢,圓,的,最,長,和,最,短,距,離,。,z,x,y,x,y,z,?,?,?,?,?,例,9,解,(,),設(shè),橢,圓,上,任,一,點,x,y,z,2,2,2,原,點,到,它,的,距,離,為,，,d,xyz,?,?,?,2,2,2,2,.,取,目,標,函,數(shù),為,d,x,y,z,?,2,2,2,2,2,1,問,題,即,為,在,條,件,，,的,條,件,下,的,極,值,.,xyz,z,xy,x,y,z,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,2,2,(,),(,),(,1,),2,2,

18、0,2,2,0,2,0,1,拉,格,朗,日,函,數(shù),為,x,y,z,F,x,y,z,x,y,z,x,y,z,x,y,z,F,x,x,F,y,y,F,z,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,2,1,2,1,3,1,3,2,2,1,3,1,3,2,2,2,3,2,3,，,解方程組得,，,，,x,x,y,y,z,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

19、?,顯,然,2,2,2,m,a,x,2,2,2,9,5,3,，,d,x,y,z,?,?,?,2,2,2,m,i,n,1,1,1,9,5,3,.,d,x,y,z,?,?,?,(,三,),思考題,答,案,答,案,答,案,答,案,?,?,?,?,0,0,1,?,、,可,微,二,元,函,數(shù),在,點處,取,得,極,值,的,必,要,條,件,是,什,么,Z,f,x,y,x,y,?,2,、,對,于,條,件,極,值,問,題,，,我,們,解,決,它,的,關(guān),鍵,是,什,么,?,3,、,“,多,元,函,數(shù),定,義,域,的,求,法,與,一,元,函,數(shù),定,義,域,的,求,法,相,同,”,該,命,題,正,確,嗎,?,4,、,二,元,函,數(shù),在,某,點,處,偏,導,數(shù),存,在,與,可,微,之,間,有,何,關(guān),系,?,(,四,),課堂練習題,答,案,答,案,答,案,答,案,?,?,?,?,2,2,1,l,n,.,、,求,由,方,程,所,確,定,的,隱,函,數(shù),的,導,數(shù),x,x,y,x,y,y,y,f,?,?,?,?,2,2,2,.,，,求,、,y,y,x,z,Z,x,d,?,?,?,?,2,3,s,i,n,.,、,，,，,，,求,d,z,Z,fu,v,u,t,v,t,d,t,?,?,?,?,?,2,2,0,1,l,n,4,l,i,m,.,1,、,求,x,x,y,e,y,x,y,?,?,?,?,?,返,