轉換與化歸思想

1、淺談轉換與化歸思想轉化思想是數(shù)學中的一種基本卻很重要的思想。深究起來，轉化兩字中包含著截然不同的兩種思想，即轉換和化歸。這兩者其實表達了不同的思想方法，可以說是思維方式與操作方法的區(qū)別。一、 轉換思想（1）轉換思想的內涵轉換思想是指解決問題時策略、方法、指導思想的跳躍性變化，能跳出現(xiàn)有領域的局限，聯(lián)系相關領域，并用相關領域的思維方式來解決現(xiàn)有領域內的問題。要做到這一點，對思維能力的要求相對更高，必須對各個領域分別都有透徹的了解，更必須對各領域之間的聯(lián)系有較多的研究，在關鍵時刻才能隨心所欲地運用。 （2）轉換思想在同一學科中的應用轉換思想可以是在同一學科的不同知識模塊之間的變換，在解決問題時改變

2、解題方向。象數(shù)學學科中，數(shù)與式的互相轉換、數(shù)與形的互相轉換、文字語言與符號語言的互相轉換。比如，函數(shù)、方程、不等式是代數(shù)中的三大重要問題，而它們之間完全可以用三個知識模塊的不同方法解決其他模塊的各類問題。不等式恒成立問題可以轉換到用函數(shù)圖象解決，或者是二次方程根的分布，也可以轉換到二次函數(shù)與x軸的交點問題。再比如，數(shù)列問題用函數(shù)觀點來解釋，那更是我們數(shù)學課堂中一再強調的問題了?？催@樣一個問題：已知：，求證：。分析 這是一個純粹的代數(shù)證明問題，條件的變形是比較艱難的，所以希望把條件變形從而得到結論這條思路也有點令人望而生畏。再仔細觀察本題的條件、結論中所出現(xiàn)的形式，稍加聯(lián)系，我們完全可以想到：、

3、這些特殊形式在另一知識模塊三角函數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)，它們呈現(xiàn)出完全類似的規(guī)律性。解答由題意、，則可設， 即為 化簡得 所以， 則 小結 本題的解決了是發(fā)現(xiàn)了不同知識模塊中的類似規(guī)律，加以利用得到新的思路，本題的題設和結論中都沒有出現(xiàn)三角函數(shù)的形式，最終卻必須引進三角函數(shù)加以解決，思維已經(jīng)具有跳躍性，對一般學生來說解決起來還是比較棘手的。轉換思想對思維要求確實很高，但這一點還是能夠做到的。因為各學科都有對知識模塊的介紹，同時也有對各知識模塊之間橫向縱向的對比聯(lián)系的研究。典型的例子就是數(shù)與形之間的思維轉換，因為學生已經(jīng)在初中老師的指導下對代數(shù)與幾何分別有了研究，高中時不但分別進行了深化，更把兩門學科合而

4、為一，更多地注重兩者之間的對比聯(lián)系的研究。高中的平面解析幾何的實質就是用“解析法”即“代數(shù)的方法”解決幾何問題，已經(jīng)體現(xiàn)了幾何到代數(shù)的轉換，比如介紹某些代數(shù)形式的幾何表示（絕對值、不等式、方程的幾何意義），引入幾何圖形中圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線）的方程，都是為培養(yǎng)思維在數(shù)與形之間的跳躍作了準備。再比如物理學科中有“電場”與“磁場”的分別研究，也有對“電磁場”的綜合研究。所以學生在同學科內部的思維轉換應該能夠做到游刃有余。（3）轉換思想在不同學科中的應用轉換思想也可以是在同一學習領域的不同學科之間進行跳躍性變換，解決問題時采用不同的思維方式。比如解決數(shù)學問題時，可以在代數(shù)與幾何之間的互相轉換，

5、另外，物理中的行程問題、化學中的濃度問題都可以轉換到數(shù)學模型來解決?；瘜W中典型的濃度問題：克糖溶于水中形成克糖水，其濃度為；若加入克溶質糖，雖然溶質溶液的質量同時增加，但可以得到加糖后的濃度必然要大于原來溶液的濃度。這個結論完全可以由數(shù)學學科中不等式部分的知識加以證明：根據(jù)實際情況：， ，因為 ， ，所以即同樣，物理中的勻加速運動：物體初始速度為米/秒，加速度為米/秒2，則經(jīng)過秒后的即時速度為。這公式稍加變形就是數(shù)學中的函數(shù)，當時，它是一次函數(shù)，圖象為一條直線，當時，它是二次函數(shù)，圖象為一條拋物線，完全可以脫離物理，用研究函數(shù)的方法來研究物體的即時速度什么時刻最大，是怎樣變化的?？梢哉f，轉換思

6、想最重要的作用應該就是在不同學科之間的跳躍性思維，這也是目前高中學生比較薄弱的環(huán)節(jié)，比如數(shù)學、物理、化學，雖然學生們分別學習了三門學科，但對它們的聯(lián)系卻缺少研究，所以學科滲透類問題都是比較令學生頭疼的，也是應用題總顯得那么高深莫測的原因，更使理論與實際應用脫離，學不能致用。由此，高中新課程改革中把課程整合放在了很重要的地位。二、 化歸思想 （1）化歸思想的內涵化歸思想相對轉換來說，是在解決問題時改變問題的形式，用一些技巧性的處理方法和手段把問題變得更顯化明了、更熟悉常見、更和諧統(tǒng)一，但并沒有改變問題所屬的領域。化歸思想包括三要素：化歸的對象、化歸的原則、化歸的方法。所以掌握化歸思想必須：抓住化

7、歸的對象也就是當前需要解決的問題；化歸時應遵循簡單化、熟悉化、和諧化的基本原則；中學常用的化歸方法有恒等變換法：包括分解法、配方法、代定系數(shù)法等；映射反演法：包括換元法、對數(shù)法、坐標法、仿射法等。（2）實施化歸的關鍵為了有效地實施化歸，我們首先必須實現(xiàn)問題的“規(guī)范化”，即掌握一些“常規(guī)性問題”。 這里“常規(guī)性問題”就是指我們課堂上所說的具有確定的解題方法和解題程序的問題，或者可以說是模式型問題。然后再把其他問題“規(guī)范化”，一般我們采用的化歸方向是：化未知為已知、化難為易、化繁為簡、化一般為特殊、化抽象為具體、正難則化反、化新知識到舊知識、化不熟悉到熟悉等等。1在三角函數(shù)中，對于角有六個三角函數(shù)

8、、。但我們研究其中眾多的公式時并不需要同時研究六個，只需要研究、三個就可以，其余三個可以利用它們之間的倒數(shù)關系進行化歸；在解題時的“切割化弦”思想也是把后四個函數(shù)都化為、來解決。2在立體幾何中，點、線、面之間的復雜關系是讓人很頭疼的 ，我們也采用了化歸的思想使得需要考慮的問題更少更簡單。下面是立體幾何中常用幾種的化歸方法。方法一：位置關系互化。正方體 ABCD-A1B1C1D1是我們研究的典型空間圖形之一，它內部各種面對角線、體對角線與各表面、對角面形成的線線距離、線面距離、面面距離我們都作了深入研究，所以涉及到正方體中的各種距離問題我們就盡量向上述距離問題化歸。方法二：化高維到低維。例：如右

9、圖，直三棱柱ABC-A1B1C1，BCA=900，點D1、F1分別是棱A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，求異面直線BD1與AF1所成的角。分析本題中的直線BD1與AF1是三維空間內的異面直線，常用的化歸方法就是把直線經(jīng)過平移變?yōu)槎S空間內兩條相交直線，即在平面內求兩直線所成角。作法：如右圖，沿平面BCB1C1補出一個與ABC-A1B1C1完全全等的圖形，最終構成一個正方體ABCE-A1B1C1E1，取B1E1的中點G1，連接BG1，則AF1BG1。所以，異面直線BD1與AF1所成的角即為平面BD1G1內兩條相交直線BD1與BG1所成角D1BG1，然后在D1BG1中求此角。這是把三維空間內的問題降維化歸到二維平面內的問題來解決，是立體幾何中常用的化歸思想。當然，我們既然總是說“轉化”，那就意味著轉換與化歸在本質區(qū)別的同時也是緊密聯(lián)系的，既有宏觀上學科之間的轉化，也