一元二次方程韋達定理應用

1、.一元二次方程韋達定理應用一選擇題（共16小題）1若方程x2（m24）x+m=0的兩個根互為相反數(shù)，則m等于（）A2B2C2D42若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為1，則另一個根為（）A4B2C4D33設a，b是方程x2+x2017=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2016D20174一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這個方程根的情況是（）A有兩個正根B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對值大5已知m、n是方程x2+3x2=0的兩個實數(shù)根，則m2+4m+n+2mn的值為（）A1B3C5D96已知關于x

2、的一元二次方程x2+mx8=0的一個實數(shù)根為2，則另一實數(shù)根及m的值分別為（）A4，2B4，2C4，2D4，27一元二次方程x2+x1=0的兩根分別為x1，x2，則+=（）AB1CD8關于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于4，則k的取值范圍是（）Ak1Bk0C1k0D1k09已知方程x22（m21）x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，則m的值是（）Am=1Bm=1Cm=1Dm=010已知a、b是一元二次方程x23x2=0的兩根，那么+的值為（）ABCD11已知關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為2，則另一個根為（）A5B1C2D512已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，

3、x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=013設a、b是方程x2+x2014=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2012D201314關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結論：這兩個方程的根都負根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正確結論的個數(shù)是（）A0個B1個C2個D3個15（非課改）已知，是關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的兩個不相

4、等的實數(shù)根，且滿足+=1，則m的值是（）A3B1C3或1D3或116設a，b是方程x2+x2011=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2009B2010C2011D2012二填空題（共30小題）17已知：一元二次方程x26x+c=0有一個根為2，則另一根為 18一元二次方程x2+x2=0的兩根之積是 19若、是一元二次方程x2+2x6=0的兩根，則2+2= 20一元二次方程x2+mx+2m=0的兩個實根分別為x1，x2，若x1+x2=1，則x1x2= 21已知m、n是關于x的一元二次方程x23x+a=0的兩個解，若（m1）（n1）=6，則a的值為 22某學生在解一元二次方程x22x=

5、0時，只得出一個根是2，則被他漏掉的另一個根是x= 23已知a，b是方程x2x3=0的兩個根，則代數(shù)式a2+b+3的值為 24已知關于x的方程x22ax+a22a+2=0的兩個實數(shù)根x1，x2，滿足x12+x22=2，則a的值是 25如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是 26方程x23x+1=0中的兩根分別為a、b，則代數(shù)式a24ab的值為 27已知a+b=3，ab=7，則代數(shù)式2a2+b2+3b的值為 28已知x1，x2是關于x的方程x2+nx+n3=0的兩個實數(shù)根，且x1+x2=2，則x1x2= 29已知實數(shù)ab，且滿足（a+1）2=

6、33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2則的值為 30已知m，n是方程x2+2x5=0的兩個實數(shù)根，則m2mn+3m+n= 31閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關系式x1+x2=，x1x2=根據(jù)該材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩實數(shù)根，則的值為 32已知關于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2則正確結論的序號是 （填上你認為正確結論的所有序號）33若兩個不等實數(shù)m、n滿足條件：m22m1=0，n22n1=0，則m2+

7、n2的值是 34設x1，x2是方程x2x2013=0的兩實數(shù)根，則= 35設x1，x2是方程2x23x3=0的兩個實數(shù)根，則的值為 36若，是方程x23x+1=0的兩個根，則2+3= 37已知x1，x2是方程x2+4x+k=0的兩根，且2x1x2=7，則k= 38設x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的兩個根，2x1（x22+5x23）+a=2，則a= 39設和是方程x24x+3=0的二根，則+的值為 40已知實數(shù)a、b（ab）分別滿足，試求的值 41設A是方程x2x2009=0的所有根的絕對值之和，則A2= 42已知，為方程x2+4x+2=0的二實根，則3+14+50= 43若非零實數(shù)a

8、，b（ab）滿足a2a2007=0，b2b2007=0，則：= 44已知2是一元二次方程x24x+c=0的一個根，則方程的另一個根是 45已知關于x的方程x2（a+b）x+ab2=0x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論：（1）x1x2；（2）x1x2ab；（3 ）x12+x22a2+b2，則正確結論的序號是 （在橫線上填上所有正確結論的序號）46如果關于x的一元二次方程2x22x+3m1=0有兩個實數(shù)根x1，x2，且它們滿足不等式，則實數(shù)m的取值范圍是 三解答題（共4小題）47已知關于x的一元二次方程 x2+3xm=0有實數(shù)根（1）求m的取值范圍（2）若兩實數(shù)根分別為x1和x2，且，

9、求m的值48已知一元二次方程2x26x1=0的兩實數(shù)根為x1、x2，不解方程，求代數(shù)式的值49已知關于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k使得x1x2x12x220成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由50填表解題：方程兩根x1，x2x1+x2=x1x2=x2+2x+1=0x23x4=0x2+4x7=0上表你能猜想若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a不等0）的兩根則x1+x2= ，x1x2= 利用你的猜想解下列問題：（1）若x1，x2是方程x22x3=0的兩根求，x12+x22和（x1+2）（x2

10、+2）的值（2）已知2+是方程x24x+c=0的一個根，求方程的另一個根及c的值一元二次方程韋達定理應用參考答案與試題解析一選擇題（共16小題）1（2017邕寧區(qū)校級模擬）若方程x2（m24）x+m=0的兩個根互為相反數(shù)，則m等于（）A2B2C2D4【分析】設這兩根是、，根據(jù)根與系數(shù)的關系及相反數(shù)的定義可知：+=m24=0，進而可以求出m的值【解答】解：方程x2（m24）x+m=0的兩個根是互為相反數(shù)，設這兩根是、，則+=m24=0，解得：m=2，但當m=2時，原方程為：x2+2=0，方程沒有實數(shù)根，故m=2故選A【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系及其應用，注意最后所求的值一定要代入

11、檢驗2（2017西青區(qū)一模）若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為1，則另一個根為（）A4B2C4D3【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，利用兩根和，兩根積，即可求出另一根【解答】解：設一元二次方程的另一根為x1，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得1+x1=3，解得：x1=4故選A【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關系為：x1+x2=，x1x2=3（2017黔東南州二模）設a，b是方程x2+x2017=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2016D2017【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得

12、到a2=a+2017，則a2+2a+b=2017+a+b，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b=1，再利用整體代入的方法計算【解答】解：a是方程x2+x2017=0的根，a2+a2017=0，a2=a+2017，a2+2a+b=a+2017+2a+b=2017+a+b，a，b是方程x2+x2017=0的兩個實數(shù)根，a+b=1，a2+2a+b=20171=2016故選C【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程的解4（2017和平區(qū)校級模擬）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這

13、個方程根的情況是（）A有兩個正根B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對值大【分析】根據(jù)根的判別式=b24ac的符號，就可判斷出一元二次方程的根的情況；由根與系數(shù)的關系可以判定兩根的正負情況【解答】解：a0，b0，c0，=b24ac0，0，0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根異號，正根的絕對值較大故選：C【點評】此題考查了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根5（2017章丘市二模）已知m、n是方程x2+3x2=0的兩個實數(shù)根，則m2+4m

14、+n+2mn的值為（）A1B3C5D9【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解即可得出m+n=3、mn=2、m2+3m=2，將其代入m2+4m+n+2mn中即可求出結論【解答】解：m、n是方程x2+3x2=0的兩個實數(shù)根，m+n=3，mn=2，m2+3m=2，m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2322=5故選C【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，熟練掌握x1+x2=、x1x2=是解題的關鍵6（2016雅安）已知關于x的一元二次方程x2+mx8=0的一個實數(shù)根為2，則另一實數(shù)根及m的值分別為（）A4，2B4，2C4，2D4，2【分析】根據(jù)題意，利用根與系

15、數(shù)的關系式列出關系式，確定出另一根及m的值即可【解答】解：由根與系數(shù)的關系式得：2x2=8，2+x2=m=2，解得：x2=4，m=2，則另一實數(shù)根及m的值分別為4，2，故選D【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵7（2014春臨安市校級期末）一元二次方程x2+x1=0的兩根分別為x1，x2，則+=（）AB1CD【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=1，x1x2=1，然后把+進行通分，再利用整體代入的方法進行計算【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2=1，x1x2=1，所以+=1故選B【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)

16、的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=8（2013秋沙灣區(qū)期末）關于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于4，則k的取值范圍是（）Ak1Bk0C1k0D1k0【分析】根據(jù)根的判別式求出k1，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出（2k+4）4，求出k0，即可求出答案【解答】解：設x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根是a b，由根與系數(shù)的關系得：a+b=（2k+4），關于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于4（2k+4）4，k0，b24ac=2（k+2）241k2=8k+80，k1，即k的取值范圍是1k0故選D【點評】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)

17、的關系，注意：應用根與系數(shù)的關系式的前提條件是b24ac0，a09（2011金堂縣二模）已知方程x22（m21）x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，則m的值是（）Am=1Bm=1Cm=1Dm=0【分析】由于方程x22（m21）x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，設這兩根是、，根據(jù)根與系數(shù)的關系、相反數(shù)的定義可知：+=2（m21）=0，由此得到關于m的方程，進而可以求出m的值【解答】解：方程x22（m21）x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，設這兩根是、，根據(jù)根與系數(shù)的關系、相反數(shù)的定義可知+=2（m21）=0，進而求得m=1，但當m=1時，原方程為：x2+3=0，方程沒有實數(shù)根，m=1故選B【點評】

18、本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系及其應用，最后所求的值一定要代入判別式檢驗10（2016寧津縣二模）已知a、b是一元二次方程x23x2=0的兩根，那么+的值為（）ABCD【分析】根據(jù)，由一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系求得兩根之積與兩根之和，代入數(shù)值計算即可【解答】解：方程x23x2=0的兩根為a，b，a+b=3，ab=2，=故選：D【點評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系的知識，注意若二次項系數(shù)不為1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=，掌握根與系數(shù)的關系是解此題的關鍵11（2016棗莊）已知關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為

19、2，則另一個根為（）A5B1C2D5【分析】根據(jù)關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為2，可以設出另一個根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系可以求得另一個根的值，本題得以解決【解答】解：關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為2，設另一個根為m，2+m=，解得，m=1，故選B【點評】本題考查根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是明確兩根之和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)比值的相反數(shù)12（2015來賓）已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=0【分析】根據(jù)以x1，x2為根的一元二次方程是x

20、2（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程進行判斷即可【解答】解：以x1，x2為根的一元二次方程x27x+12=0，故選：A【點評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握以x1，x2為根的一元二次方程是x2（x1+x2）x+x1，x2=0是具體點關鍵13（2015江陽區(qū)二模）設a、b是方程x2+x2014=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2012D2013【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關系，求出a+b=1；然后根據(jù)a是方程x2+x2014=0的實數(shù)根，可得a2+a2014=0，據(jù)此求出a2+2a+b的值為多少即可【解答】解：a、b是方程x2+x2014=0的

21、兩個實數(shù)根，a+b=1；又a2+a2014=0，a2+a=2014，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2014+（1）=2013即a2+2a+b的值為2013故選：D【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=，反過來也成立，即=（x1+x2），=x1x214（2015南充）關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結論：這兩個方程的

22、根都負根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正確結論的個數(shù)是（）A0個B1個C2個D3個【分析】根據(jù)題意，以及根與系數(shù)的關系，可知兩個整數(shù)根都是負數(shù)；根據(jù)根的判別式，以及題意可以得出m22n0以及n22m0，進而得解；可以采用根與系數(shù)關系進行解答，據(jù)此即可得解【解答】解：兩個整數(shù)根且乘積為正，兩個根同號，由韋達定理有，x1x2=2n0，y1y2=2m0，y1+y2=2n0，x1+x2=2m0，這兩個方程的根都為負根，正確；由根判別式有：=b24ac=4m28n0，=b24ac=4n28m0，4m28n0，4n28m0，m22n0，n22m0，m22m+1+n22n+1=m22n+n2

23、2m+22，（m1）2+（n1）22，正確；由根與系數(shù)關系可得2m2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）1，由y1、y2均為負整數(shù)，故（y1+1）（y2+1）0，故2m2n1，同理可得：2n2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）1，得2n2m1，即2m2n1，故正確故選：D【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，以及一元二次方程的根的判別式，有一定的難度，注意總結15（2013呼和浩特）（非課改）已知，是關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足+=1，則m的值是（）A3B1C3或1D3或1【分析】由于方程有兩個不相等的實數(shù)根可得0

24、，由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關系和+=1，可以求出m的值，最后求出符合題意的m值【解答】解：根據(jù)條件知：+=（2m+3），=m2，=1，即m22m3=0，所以，得，解得m=3故選A【點評】1、考查一元二次方程根與系數(shù)關系與根的判別式及不等式組的綜合應用能力一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關系為：x1+x2=，x1x2=16（2013濟南模擬）設a，b是方程x2+x2011=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2009B20

25、10C2011D2012【分析】由于a，b是方程x2+x2011=0的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關系可以得到a+b=1，并且a2+a2011=0，然后把a2+2a+b可以變?yōu)閍2+a+a+b，把前面的值代入即可求出結果【解答】解：a，b是方程x2+x2011=0的兩個實數(shù)根，a+b=1，并且a2+a2011=0，a2+a=2011，a2+2a+b=a2+a+a+b=20111=2010故選B【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法二填空題（共30小題）17（2017東臺市一模）已知：一元二次方程x26x+c=0有一個根為2，則另一根為

26、4【分析】設方程另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到2+t=6，然后解一次方程即可【解答】解：設方程另一根為t，根據(jù)題意得2+t=6，解得t=4故答案為4【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=18（2017啟東市一模）一元二次方程x2+x2=0的兩根之積是2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系，即可求得答案【解答】解：設一元二次方程x2+x2=0的兩根分別為，=2一元二次方程x2+x2=0的兩根之積是2故答案為：2【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系解題的關鍵是熟記公式19（2017慶云縣一模）若、是一元二次方程x2+2

27、x6=0的兩根，則2+2=16【分析】利用根與系數(shù)的關系可得出+和，且2+2=（+）22，代入計算即可【解答】解：、是一元二次方程x2+2x6=0的兩根，+=2，=6，2+2=（+）22=（2）22（6）=4+12=16，故答案為：16【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，把2+2化成（+）22是解題的關鍵20（2017曲靖模擬）一元二次方程x2+mx+2m=0的兩個實根分別為x1，x2，若x1+x2=1，則x1x2=2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后計算x1x2的值【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2=m=1，x1x2=2m，所以m=

28、1，所以x1x2=2故答案為2【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=21（2017黃石模擬）已知m、n是關于x的一元二次方程x23x+a=0的兩個解，若（m1）（n1）=6，則a的值為4【分析】由m、n是關于x的一元二次方程x23x+a=0的兩個解，得出m+n=3，mn=a，整理（m1）（n1）=6，整體代入求得a的數(shù)值即可【解答】解：m、n是關于x的一元二次方程x23x+a=0的兩個解，m+n=3，mn=a，（m1）（n1）=6，mn（m+n）+1=6即a3+1=6解得a=4故答案為：4【點評】此題考查了一元

29、二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=22（2016長沙模擬）某學生在解一元二次方程x22x=0時，只得出一個根是2，則被他漏掉的另一個根是x=0【分析】設方程x22x=0的兩根根為x1、x2，由根與系數(shù)的關系可得出x1+x2=2，再結合x1=2即可求出x2的值【解答】解：設方程x22x=0的兩根根為x1、x2，x1+x2=2，x1=2，x2=0故答案為：0【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關系找出x1+x2=2本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關系找出兩根之和與兩根之積是關鍵

30、23（2015泗洪縣校級模擬）已知a，b是方程x2x3=0的兩個根，則代數(shù)式a2+b+3的值為7【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2a3=0，即a2=a+3，則a2+b+3化簡為a+b+6，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b=1，然后利用整體代入的方法計算即可【解答】解：a是方程x2x3=0的根，a2a3=0，a2=a+3，a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，a，b是方程x2x3=0的兩個根，a+b=1，a2+b+3=1+6=7故答案為7【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程的解2

31、4（2013秋密山市校級期中）已知關于x的方程x22ax+a22a+2=0的兩個實數(shù)根x1，x2，滿足x12+x22=2，則a的值是1【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系，根據(jù)x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即可得到關于a的方程，求出a的值【解答】解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系知：x1+x2=2a，x1x2=a22a+2x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2a）22（a22a+2）=2a2+4a4=2解a2+2a3=0，得a1=3，a2=1又方程有兩實數(shù)根，0即（2a）24（a22a+2）0解得a1a=3舍去a=1【點評】應用了根與系數(shù)的關系得到方程兩根的和與兩根的積，根據(jù)

32、兩根的平方和可以用兩根的和與兩根的積表示，即可把求a的值的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題25（2012德清縣自主招生）如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是3k4【分析】根據(jù)原方程可得出：x1=0，x22x+=0；根據(jù)根與系數(shù)的關系，可求出方程的x1+x2和x1x2的表達式，然后根據(jù)三角形三邊關系定理求出k的取值范圍【解答】解：由題意，得：x1=0，x22x+=0；設x22x+=0的兩根分別是m、n（mn）；則m+n=2，mn=；mn=；根據(jù)三角形三邊關系定理，得：mn1m+n，即12；，解得3k4【點評】此題主要考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關

33、系以及三角形三邊關系定理26（2012廈門模擬）方程x23x+1=0中的兩根分別為a、b，則代數(shù)式a24ab的值為4【分析】根據(jù)已知方程x23x+1=0中的兩根分別為a、b，得出a+b=3，ab=1，a23a+1=0，求出a23a=1，代入a24ab=a23aab求出即可【解答】解：方程x23x+1=0中的兩根分別為a、b，a+b=3，ab=1，a23a+1=0，a23a=1，a24ab=a23aab，=1（a+b），=13，=4，故答案為：4【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程的解的應用，本題題型較好，具有一定的代表性，用了整體代入（a+b和a23a分別當作一個整體）的思想27已知

34、a+b=3，ab=7，則代數(shù)式2a2+b2+3b的值為39【分析】由a+b=3，ab=7可得a，b是方程X23X7=0的根，再利用代數(shù)式的變形代入所求代數(shù)式即可求值【解答】解：a+b=3 ab=7，a，b是方程X23X7=0的根a23a7=0，a2=3a+7； b23b7=0，b2=3b+7；2a2+b2+3b=6a+14+3b+7+3b=6（a+b）+21=18+21=39，故答案為：39【點評】本題考查利用根與系數(shù)的關系構造一元二次方程，解題的關系是把所求代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化，屬于基礎題28（2016冷水江市三模）已知x1，x2是關于x的方程x2+nx+n3=0的兩個實數(shù)根，且x1+x2=2，則

35、x1x2=1【分析】利用根與系數(shù)的關系求出n的值，再利用利用根與系數(shù)的關系求出兩根之積即可【解答】解：x1，x2是關于x的方程x2+nx+n3=0的兩個實數(shù)根，且x1+x2=2，n=2，即n=2，x1x2=n3=23=1故答案為：1【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是利用根與系數(shù)的關系求出n的值29（2015黃岡中學自主招生）已知實數(shù)ab，且滿足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2則的值為23【分析】根據(jù)已知條件“（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2”求出a+1、b+1是關于x的方程x2+3x3=0的兩個根，然后再根據(jù)根與系數(shù)的關系求得

36、a+b=5，ab=1；最后將其代入化簡后的二次根式并求值即可【解答】解：（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2（a+1）2+3（a+1）3=0，（b+1）2+3（b+1）3=0，顯然，a+1、b+1是關于x的方程x2+3x3=0的兩個根，x1+x2=3，即a+1+b+1=3，a+b=5；x1x2=3，即（a+1）（b+1）=ab+（a+b）+1=3，ab=1，a=，b=；，=b|b|+a|a|，=（b+a）22ab，=25+2，=23；故答案是：23【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系、二次根式的化簡求值解答此題時，如果先根據(jù)已知條件求得a、b的值，然后將其代入所求的代數(shù)式求值

37、，那計算過程是相當?shù)姆爆嵏鶕?jù)已知條件“（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2”可以知，“（a+1）2+3（a+1）3=0，（b+1）2+3（b+1）3=0”，仔細觀察這兩個等式可知：a+1、b+1是關于x的方程x2+3x3=0的兩個根然后再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系求得a與b的數(shù)量關系，并將其代入所求的代數(shù)式求值這樣，計算會變得簡單多了30（2014呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x5=0的兩個實數(shù)根，則m2mn+3m+n=8【分析】根據(jù)m+n=2，mn=5，直接求出m、n即可解題【解答】解：m、n是方程x2+2x5=0的兩個實數(shù)根，mn=5，m+n=2，m2+2m

38、5=0m2=52mm2mn+3m+n=（52m）（5）+3m+n=10+m+n=102=8故答案為：8【點評】此題主要考查了一元二次方程根根的計算公式，根據(jù)題意得出m和n的值是解決問題的關鍵31（2015港南區(qū)二模）閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關系式x1+x2=，x1x2=根據(jù)該材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩實數(shù)根，則的值為7【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，可以求得兩根之積或兩根之和，根據(jù)=，代入數(shù)值計算即可【解答】解：x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩個實數(shù)根，x1+x2=3，x1x2=1=7故答

39、案為：7【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法32（2013自貢）已知關于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2則正確結論的序號是（填上你認為正確結論的所有序號）【分析】（1）可以利用方程的判別式就可以判定是否正確；（2）根據(jù)兩根之積就可以判定是否正確；（3）利用根與系數(shù)的關系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正確【解答】解：方程x2（a+b）x+ab1=0中，=（a+b）24（ab1）=（ab）2+40，x1x2故正確；x1

40、x2=ab1ab，故正確；x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（a+b）22ab+2=a2+b2+2a2+b2，即x12+x22a2+b2故錯誤；綜上所述，正確的結論序號是：故答案是：【點評】本題考查的是一元二次方程根的情況與判別式的關系，及一元二次方程根與系數(shù)的關系，需同學們熟練掌握33（2013黔東南州）若兩個不等實數(shù)m、n滿足條件：m22m1=0，n22n1=0，則m2+n2的值是6【分析】根據(jù)題意知，m、n是關于x的方程x22x1=0的兩個根，所以利用根與系數(shù)的關系來求m2+n2的值【解答】解：由題意知，m、n是關于x的方程

41、x22x1=0的兩個根，則m+n=2，mn=1所以，m2+n2=（m+n）22mn=222（1）=6故答案是：6【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法34（2013荊門）設x1，x2是方程x2x2013=0的兩實數(shù)根，則=2014【分析】由原方程可以得到x2=x+2013，x=x22013；然后根據(jù)一元二次方程解的定義知，x12=x1+2013，x1=x122013由根與系數(shù)的關系知x1+x2=1，所以將其代入變形后的所求代數(shù)式求值【解答】解：x2x2013=0，x2=x+2013，x=x22013，又x1，x2是方程x2x2013

42、=0的兩實數(shù)根，x1+x2=1，=x1+2013x2+x22013，=x1（x1+2013）+2013x2+x22013，=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x22013，=x1+x2+2013（x1+x2）+20132013，=1+2013，=2014，故答案是：2014【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解的定義對所求代數(shù)式的變形是解答此題的難點35（2013攀枝花）設x1，x2是方程2x23x3=0的兩個實數(shù)根，則的值為【分析】利用根與系數(shù)的關系求出兩根之和與兩根之積，所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計算，變形后將各自的值代入計算即可求出值【解答】解：x1

43、，x2是方程2x23x3=0的兩個實數(shù)根，x1+x2=，x1x2=，則原式=故答案為：【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵36（2012成都模擬）若，是方程x23x+1=0的兩個根，則2+3=0【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義可以求得23=1 、由根與系數(shù)的關系知=1 ；然后將代入所求的代數(shù)式求值即可【解答】解：，是方程x23x+1=0的兩個根，23+1=0，即23=1，=1；2+3=1+1=0；故答案是：0【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義、根與系數(shù)的關系解題的關鍵是正確理解一元二次方程的解的定義37（2011莆田模擬）已知x1，x2是方程x2+

44、4x+k=0的兩根，且2x1x2=7，則k=5【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=4，而2x1x2=7，然后解由所組成的方程組得x1=1，x2=5，最后利用x1x2=k求得k的值【解答】解：x1，x2是方程x2+4x+k=0的兩根，x1+x2=4，而2x1x2=7，解由所組成的方程組得x1=1，x2=5，x1x2=k，k=5故答案為：5【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)的關系：若方程兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=38（2010南通）設x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的兩個根，2x1（x22+5x23）+a=2，則a=8【分析】先根據(jù)根與系

45、數(shù)的關系，求出x1+x2，x1x2的值，然后化簡所求代數(shù)式，把x1+x2，x1x2的值整體代入求值即可【解答】解：根據(jù)題意可得x1+x2=4，x1x2=3，又2x1（x22+5x23）+a=2，2x1x22+10x1x26x1+a=2，6x2+10x1x26x1+a=2，6（x1+x2）+10x1x2+a=2，6（4）+10（3）+a=2，a=8故答案為：8【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程的兩個根x1、x2具有這樣的關系：x1+x2=，x1x2=39（2010長沙校級自主招生）設和是方程x24x+3=0的二根，則+的值為4【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得出+=，代入求出即可【解答】解

46、：和是方程x24x+3=0的二根，+=4，故答案為：4【點評】本題主要考查對根與系數(shù)的關系的理解和掌握，能熟練地根據(jù)根與系數(shù)的關系進行計算是解此題的關鍵40（2010寧陽縣模擬）已知實數(shù)a、b（ab）分別滿足，試求的值【分析】由題意實數(shù)a、b分別滿足，可知a，b是方程x23x+=0的兩根，可得a+b=3，ab=，然后再代入求解【解答】解：實數(shù)a、b分別滿足，a，b是方程x23x+=0的兩根，a+b=3，ab=，=；故答案為【點評】此題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，關鍵是要根據(jù)題意找到這個方程，此題是一道很好的題41（2009河南模擬）設A是方程x2x2009=0的所有根的絕對值之和，則A

47、2=10045【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，求得A可表示成兩根之差的絕對值，然后代入兩根之積與兩根之和求得A2的值【解答】解：對于方程x2x2009=0，設其兩根是m，n必有m+n=，mn=2009mn=20090，m，n異號所以A=|m|+|n|=|mn|則A2=（mn）2=（m+n）24mn=10045故本題答案為：10045【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系根與系數(shù)的關系為：x1+x2=，x1x2=42（2008鄂州）已知，為方程x2+4x+2=0的二實根，則3+14+50=2【分析】由于，為方程x2+4x+2=0的二實根，根據(jù)根與系數(shù)的關系和方程的解的意義知，+=4

48、，2+4+2=0，3=422=4（42）2=14+8，代入3+14+50中，即可求解【解答】解：、是x2+4x+2=0的二實根+=42+4+2=02=423=422=4（42）2=14+83+14+50=14+8+14+50=14（+）+58=14（4）+58=56+58=2故本題答案為：2【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系根與系數(shù)的關系為：x1+x2=，x1x2=43（2007瀘州）若非零實數(shù)a，b（ab）滿足a2a2007=0，b2b2007=0，則：=【分析】根據(jù)已知將兩式相加減，得出a+b=1，ab=2007，根據(jù)=，就可以求出代數(shù)式的值【解答】解：若非零實數(shù)a，b（ab）滿足

49、a2a+2007=0，b2b+2007=0，得（ab）（a+b1）=0，ab，a+b=1，+（a+b）22ab（a+b）4014=0，a+b=1，ab=2007，=故填空答案為【點評】首先根據(jù)兩個方程的共同特點，可以把它們相加減，得出ab=2007，a+b=1進而求出是解題關鍵44（2006肇慶）已知2是一元二次方程x24x+c=0的一個根，則方程的另一個根是【分析】通過觀察原方程可知，常數(shù)項是一未知數(shù)，而一次項系數(shù)為常數(shù)，因此可用兩根之和公式進行計算，將2代入計算即可【解答】解：設方程的另一根為x1，又x=2，由根與系數(shù)關系，得x1+2=4，解得x1=2+【點評】解決此類題目時要認真審題，確定好各系數(shù)的數(shù)值與正負，然后適當選擇一個根與系數(shù)的關系式求解45（2004廈門）已知關于x的方程x2（a+b）x+ab2=0x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論：（1）x1x2；（2）x1x2ab；（3 ）x12+x22a2+b2，則正確結論的序號是（1