自考筆記.自考串講.0020高等數(shù)學(xué)一小抄2013年版扈志明主編教材講義

1、前言高等數(shù)學(xué)一共6章第一章函數(shù)1.主要是對(duì)高中知識(shí)的復(fù)習(xí)；2.為今后知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)；3.本章知識(shí)在歷年考題中所占的分值并不多，一般是5分左右.第二章極限和連續(xù)主要是學(xué)習(xí)極限與連續(xù)的概念，是后面章節(jié)的基礎(chǔ)；本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為20左右.第三章導(dǎo)數(shù)與微分主要是學(xué)習(xí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，這是高數(shù)的核心概念.本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為15分左右.第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要是掌握微分中值定理的應(yīng)用，這一章容易出大題、難題；本章在歷年考題中所占分值為20分左右.第五章一元函數(shù)積分學(xué)主要學(xué)習(xí)不定積分和定積分，這又是高數(shù)的核心概念；本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為25分左右.第六章多元函數(shù)

2、微積分主要是學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分的計(jì)算；本章內(nèi)容在歷年考試題中所占分值為15分左右.第一章函數(shù)1.1 預(yù)備知識(shí)1.1.1 初等代數(shù)的幾個(gè)問(wèn)題1.一元二次方程關(guān)于x的方程ax2bxc0（a0），稱為一元二次方程，稱為此方程的判別式.（1）求根公式：當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根：當(dāng)0時(shí)，方程有一個(gè)二重實(shí)根：當(dāng)0時(shí)，方程有一對(duì)共軛復(fù)根：（2）根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：（3）一元二次函數(shù)（拋物線）：yax2bxc（a0），當(dāng)a0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0時(shí)，開口向下.對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)例1.若x3x2axb能被x23x2整除，則a、b是多少？結(jié)論：多項(xiàng)式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，則g（x

3、）0的根均為f（x）0的根.解：令x23x20，解得x1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程組兩個(gè)未知量x，y滿足的形如的方程組稱為二元一次方程組.當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.例2.已知方程組（1）若方程組有無(wú)窮多解，求a的值；（2）當(dāng)a6時(shí)，求方程組的解.解：（1）因?yàn)榉匠探M有無(wú)窮多組解，所以,解得a4.（2）當(dāng)a6是，原方程組變?yōu)?解得3.不等式（1）一元二次不等式考慮不等式ax2bxc0，如果記一元二次方程ax2bxc=0的兩個(gè)不同實(shí)根分別為x1，x2，且x1x2，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖形可知：當(dāng)a0時(shí)，這個(gè)不等式

4、的解集是xxx1或xx2；當(dāng)a0時(shí)，它的解集是xx1xx2.用類似的方法可以求解不等式ax2bxc0，ax2bxc0和ax2bxc0.例3.解不等式x25x60.解：令x25x60,（x2）（x3）0,得x2或x=3, 解集為（，23，）.例4.解不等式x2（1a）xa0.解：令x2（1a）xa0,（xa）（x1）0,得xa或x1,若a1，解集為（a，1）,如a1，解集為,若a1，解集為（1，a）.（2）絕對(duì)值不等式 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取不等式f（x）a0等價(jià)于f（x）a或f（x）a；不等式f（x）a等價(jià)于af（x）a.例5.解下列含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式：（1）2x35 （2

5、）3x17解：（1）原不等式等價(jià)于52x35解得：1x4.所以解集為1，4.（2）原不等式等價(jià)于3x17或3x17，3x17的解集為x2，3x17的解集為x,所以解集為（，2，）.例6.解不等式x22x53.解：原不等式等價(jià)于x22x53的解集為（，），x22x53的解集為（2，4），所以原不等式的解集為（2，4）.4.數(shù)列（1）等差數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的差為定值，即an1and，d稱為公差.通項(xiàng)公式：ana1（n1）d 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取前n項(xiàng)和公式：當(dāng)mnkl時(shí)，amanakal特別地有例7.設(shè)an是一個(gè)等差數(shù)列，且a2a3a10a1164，求a6a7和S12.解：因?yàn)?21

6、131013所以a2a11a3a1032,又因?yàn)?6713，所以a6a732,S12（a1a12）1226（a1a12）632192.（2）等比數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的商為定值，即，q稱為公比.通項(xiàng)公式：ana1qn-1前n項(xiàng)和公式：當(dāng)mnkl時(shí)，amanakal特別地有例8.設(shè)an是一個(gè)等比數(shù)列，且a312，a548，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q2a10a5q548（2）51536因?yàn)?6358所以a2a6a3a51248576.1.1.2 集合與邏輯符號(hào)1.集合的概念集合是指由一些特定的對(duì)象匯集的全體，其中每個(gè)對(duì)象叫做集合的元素.數(shù)集分類：N自然數(shù)集Z整數(shù)集Q有理數(shù)集R實(shí)數(shù)集C復(fù)數(shù)集合

7、2.元素與集合的關(guān)系元素a在集合A中，就說(shuō)a屬于A，記為aA；否則就說(shuō)a不屬于A，記為aA.3.集合與集合的關(guān)系集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱為A包含于B，或B包含A，也說(shuō)A是B的子集，記為A?B或者B?A. 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取若A?B，且B?A，就稱集合A與B相等，記作AB.例9.A1，2，Cxx23x20，則A和C是什么關(guān)系？解：解方程x23x20，得x1或x2.所以C1，2，從而AC.4.空集不含任何元素的集合稱為空集（記作）.規(guī)定空集為任何集合的子集.例10.xxR，x2105.集合的表示方法：列舉法，描述法一般的，有限集用列舉法，無(wú)限集用描述法閉區(qū)間

8、：a，bxaxb，xR；開區(qū)間：（a，b）xaxb，xR；半開半閉區(qū)間：左開右閉區(qū)間：（a，bxaxb，xR，左閉右開區(qū)間：a，b）xaxb，xR；（，bxxb，xR，a，xxa，xR；點(diǎn)a的鄰域：U（a，）（a，a），0，即U（a，）是一個(gè)以a為中心的開區(qū)間.在不強(qiáng)調(diào)鄰域的大小時(shí)，點(diǎn)a的鄰域也用Ua表示；點(diǎn)a的去心鄰域：N（a，）（a，a）（a，a），0.點(diǎn)a的去心鄰域也可以表示為Na.6.集合之間的運(yùn)算（1）并：由A、B中所有元素組成的集合稱為A和B的并集，記為AB.ABxxA或xB，ABBA.例11.已知：A1，2，3，4，B2，4，6，8，10，12，求：AB.解：AB1，2，3，4，

9、6，8，10，12.例12.已知：Ax1x5，Bx3x2，求：AB.解：ABx3x5.（2）交：由既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A和B的交集，記為AB.ABxxA且xB，ABBA更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取例13.已知：A1，2，3，4，B2、4、6、8、10、12，求：AB.解：AB2，4.例14.已知：Ax1x4，Bx3x3，求：AB.解：ABx1x3.（3）余集（差集）：由A中不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集，記為AB.ABxxA但xB.例15.已知：A1，2，3，4，B2，4，6，8，10，12，求：AB.解：AB1，3.7.一些邏輯符號(hào)p能推出q，記為pq，此

10、時(shí)稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果pq，qp同時(shí)成立，就成p與q等價(jià)，或者說(shuō)p與q互為充分必要條件（充要條件），記作pq.1.2函數(shù)的概念與圖形1.2.1 函數(shù)的概念1.定義設(shè)D是一個(gè)非空數(shù)集，f是定義在D上的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)xD，都有唯一的實(shí)數(shù)y通過(guò)f與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在D上的一個(gè)函數(shù)，記作yf（x），xD.也稱y是x的函數(shù)，其中x稱為自變量，y稱為因變量.當(dāng)x0D時(shí)，稱f（x0）為函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，函數(shù)值全體組成的數(shù)Wyyf（x），xD稱為函數(shù)的值域. 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取例1.已知：，求：y的定義域、值域.

11、解：令1x20，解得：1x1,所以定義域?yàn)?，1.因?yàn)?1x21，所以01，所以值域?yàn)?，1.例2.已知：，求：y的定義域、值域.解：根據(jù)題意，得，解得1x1，所以定義域?yàn)椋?，1），因?yàn)?01，從而，所以值域?yàn)?，）.2.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域.約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.在具體問(wèn)題中定義域會(huì)根據(jù)實(shí)際需要而有所變化.例3.判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否相等，（1）yx3； （2）.例4.求函數(shù)的定義域.解：根據(jù)題意，得解得:2x3或3x5，所以定義域?yàn)?，3）（3，5）.3.函數(shù)的表示法：表達(dá)式法（解析法）、圖形法、數(shù)表法.1.2.2 函數(shù)的圖形1.函數(shù)圖形的概

12、念函數(shù)yf（x），xD的圖形是指在xOy平面上的點(diǎn)集（x,y）yf（x），xD.常見的幾個(gè)冪函數(shù)的圖形：更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取2.函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性函數(shù)f（x），xD，存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m、M，滿足條件：對(duì)于D中所有的x都有不等式mf（x）M，則稱函數(shù)f（x）在D上有界，否則稱無(wú)界.例5.判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界，（1）y=sinx， （2）.（2）單調(diào)性設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，如果對(duì)于區(qū)間D上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)增加，稱f（x）是D上的單調(diào)增加函數(shù)，稱D是函數(shù)f（x）的單調(diào)增加區(qū)間.設(shè)函數(shù)f（

13、x）在區(qū)間D上有定義，如果對(duì)于區(qū)間D上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)減少，稱f（x）是D上的單調(diào)減少函數(shù)，稱D是函數(shù)f（x）的單調(diào)減少區(qū)間. 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取例6.求y x2的單調(diào)性.解：任取x1x20，x12x22（x1x2）（x1x2）0,所以yx2在（，0）上單調(diào)減少.同理可得：y x2在（0，）上單調(diào)增加.例7.求y sinx的單調(diào)性.解： ysinx的圖像如圖，y=sinx在（2k，2k）上單調(diào)增加，在（2k，2k）上單調(diào)減少.（3）奇偶性設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于任意的xD，有 f（x）f（x）， 稱

14、f（x） 為偶函數(shù)；設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于任意的xD，有 f（x）f（x）， 稱 f（x） 為奇函數(shù). 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取例8.判斷下面函數(shù)的奇偶性（1）（2）解：（1）因?yàn)椋远x域?yàn)镽.所以f（x）為奇函數(shù).（2）因?yàn)閍xa-x0，故x 0，所以定義域?yàn)椋ǎ?）（0，）.所以f（x）為奇函數(shù).（4）冪函數(shù)的性質(zhì)形如yx的函數(shù)為冪函數(shù)，其中為任意常數(shù).性質(zhì)：對(duì)任意實(shí)數(shù)，曲線yx都通過(guò)平面上的點(diǎn)（1，1）；0時(shí)，yx在（0，+）單調(diào)增加；0時(shí)，yx在（0，+）單調(diào)減少；為正整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域是（，+）；為偶數(shù)時(shí)，yx為偶函數(shù)；為奇數(shù)時(shí)，y x為奇函數(shù)；為負(fù)整數(shù)時(shí)，冪函

15、數(shù)的定義域是（，0）（0，+）.冪函數(shù)yx（是常數(shù)）的圖形：1.2.3 分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).例9.畫出符號(hào)函數(shù)的圖形：更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取例10.畫出下面分段函數(shù)的圖形：例11.求下面分段函數(shù)定義域并畫出圖形.1.3三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)1.4 函數(shù)運(yùn)算1.4.1函數(shù)的四則運(yùn)算定義1.10 設(shè)函數(shù)f（x），g（x）都在D上有定義，kR，則對(duì)它們進(jìn)行四則運(yùn)算的結(jié)果還是一個(gè)函數(shù)，它們的定義域不變（除法運(yùn)算時(shí)除數(shù)為0的點(diǎn)除外），而函數(shù)值的對(duì)應(yīng)定義如下：（1）加法運(yùn)算 （fg）（x）f（x）g（x），xD .（2）數(shù)

16、乘運(yùn)算 （kf）（x）kf（x），xD.（3）乘法運(yùn)算 （fg）（x）f（x）g（x），xD .（4） 除法運(yùn)算 g（x）0， xD.其中等號(hào)左端括號(hào)表示對(duì)兩個(gè)函數(shù)f，g 進(jìn)行運(yùn)算后所得的函數(shù)，它在x處的值等于右端的值. 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取例1. 已知f（x）=ln（1x），g（x）=1cosx，求 .解 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ln（1x）的定義域?yàn)椋?，+），函數(shù)g（x）=1cosx 的定義域?yàn)椋ǎ?），且當(dāng)x=2 k（k為整數(shù)）時(shí)，g（x）=0，所以，x（1， +）2k（k為整數(shù)）1.4.2復(fù)合函數(shù)如有函數(shù)f（x）和g（x）,它們的定義域分別為Df和Dg ，值域分別是 Zf

17、 和Zg. 當(dāng)ZgDf 時(shí)，對(duì)于任意xDg,都有唯一的g（x）ZgDf,，從而有唯一的f（g（x）Zf與xDg對(duì)應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)從Dg到Zf的函數(shù)，此函數(shù)稱為 f和g的復(fù)合函數(shù)，記作 重點(diǎn)是學(xué)會(huì)函數(shù)的分解與復(fù)合。例2. 分解下列復(fù)合函數(shù)（1） ；（2） 。解：（1）y=arcsinu，y=av， （2）y=sin2u，u=lnv，v=x3+1例3.求下列復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式和定義域（1）f（x）=lgx，g（x）=2x （2）f（x）=arcsinx， 解：（1）f（g（x）=lg2x=xlg2，定義域?yàn)镽，（2） ， 令 解得：1x2，所以定義域?yàn)?,2.例4. 求下列復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式（1）

18、 設(shè)，求 。解：令x1=t，則x=t+1，則f（t）=（t+1）31=t3+3t2+3t,所以f（x） =x3+3x2+3x.（2） 設(shè) ，求 。解：x+1=t,則x=t1，更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取當(dāng)0t11，即1t2時(shí)，g（t）=（t1）2=t22t+1，當(dāng)1t12，即2f（x） （D） f（f（x）f（x） 答案：B解析：令f（x）0，得xR，所以f（f（x）=f（x）.（4）已知 若f（g（x）=lnx,則g（x）=（）.（A） （B） （C） （D） 答案：B解析：令x1=t，則x=t+1，則 所以 所以 1.4.3初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)常見的六類函數(shù)，即常數(shù)函數(shù)、冪函

19、數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，稱為基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取1.5經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)1.5.1需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)商品需求量Q與其價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系QQ（P）稱為需求函數(shù).一般地，需求函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù).常見的幾種需求函數(shù)模型如下：（1）線性需求函數(shù)：QabP，其中a，b是非負(fù)常數(shù).（2）二次曲線需求函數(shù)：QabPcP2，其中a,b,c 是非負(fù)常數(shù).（3）指數(shù)需求函數(shù)：QAebp，其中A，b是非負(fù)常數(shù).2.供給函數(shù)商品供給量S與其價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系

20、SS（P）稱為供給函數(shù).一般地，供給函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù).常見的幾種供給函數(shù)模型如下：（1）線性供給函數(shù)：SabP，其中a，b是非負(fù)常數(shù).（2）二次曲線供給函數(shù)：SabPcP2，其中a，b，c是非負(fù)常數(shù).（3）指數(shù)供給函數(shù)：SAebP，其中A，b是非負(fù)常數(shù).當(dāng)供給量與需求量相等，即 時(shí)，這時(shí)的價(jià)格 稱為均衡價(jià)格；這時(shí)的商品數(shù)量 稱為均衡數(shù)量.例1.已知某種商品的需求量Q和供給量S與其價(jià)格P滿足的關(guān)系式分別為Q220QP990和3S2P1230，求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量.解：令QS，由Q220QP990與3S2P1230，得 由3S2P1230與 ，解得S1（舍去）和S6.當(dāng)S6時(shí)，解得P15.故均衡價(jià)格為15，均衡數(shù)量為6.1.5.2成本函數(shù) 更多內(nèi)容請(qǐng)與QQ：67460666索取一般地，總成本C可分為兩部分，分別是固定成本C1和可變成本C2