工程力學(xué)彎曲應(yīng)力

1、pPP第10章彎曲應(yīng)力10-1 itt 曲純彎曲：只有力而無0的平面彎曲.橫力彎曲或剪切彎曲： 既有財(cái)又有0的平面彎曲.橫力彎曲（剪切彎曲）：橫截面上同時有剪力和彎矩.純彎曲：如果橫截面上剪力等于零，而彎矩為一常數(shù)，即只有正應(yīng)力而無 剪應(yīng)力.（由實(shí)驗(yàn)觀察得如下現(xiàn)象：）a變形后，所有橫向線仍保持為直線，只是相對傾斜了一個角度。b.變形后，所有縱向線變成曲線， 仍保持平行;上、下部分的縱向線分 別縮短和伸長。中性層與橫截面的交線。中性層：梁內(nèi)存在一個縱向?qū)樱?變形時，該層的縱向纖維即不伸長 也不縮短，稱為中性層。中性軸： 根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀察到的現(xiàn)象相一致，可提出如下假設(shè):a

2、.平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉(zhuǎn)過一個角度，仍垂直于變形后梁的軸線。b.各縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組成,纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓為了研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律及計(jì)算, 要綜合考慮變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系及靜力平衡關(guān)系。1、幾何關(guān)系研究距中性層y處縱向纖維ub的變形:原長 ab oyo1 pd(p 變形后 ab = (p+ y)d(p(/? + y)dcp- pdcp ys =pd(ppp中性層彎曲后的曲率半徑2、物理關(guān)系(7 = 8E =EPy3、靜力學(xué)關(guān)系yMsFN = cdA = 0J A=0ycrdA = MMz(1)確定中性軸的

3、位置crdAAM=f 空 dA* p= -ydA = O pJA靜矩Sr = f ydAO 橫截面對z軸的掙矩J A人 ydA =ycA = O=yc=O中性軸 Z 一定通過橫截面形丿y結(jié)論：中 性軸通過形心，與形心軸重合.M廠AP(3)導(dǎo)出彎曲正應(yīng)力公式M z = J ycrdAE慣性矩y2dA = M P Ai z = L bdAP EIzEl截面的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力Z免軍出：My三.正應(yīng)力衣式的使用條件1、平面彎曲；2、具有縱向?qū)ΨQ面的梁；3、材料在彈性范圍內(nèi)。 10-2橫力彎曲時的正應(yīng)力橫截面上的最大正應(yīng)力(Jmax全梁的最大正應(yīng)力bmaxmax(1)等直梁令 W7 =

4、-Q抗彎截面模量/max圓形：矩形:空(1)32空心圓:(2) 變截面梁：綜合考慮M和十 確定1Z(3) 無水平對稱軸的梁最大彎曲拉應(yīng)力最大彎曲壓應(yīng)力t maxMmax”c max彎曲強(qiáng)度條件嘰=氣嚴(yán)w Q抗拉壓強(qiáng)度不等的材料max y 2 max例題：1、一外伸梁受力如圖所示，材料的許用應(yīng)力c=160MPa,橫截面 為h/b=3的矩形，試確定此梁橫截面尺寸h和b。20lcN mB-ukN/mnmnunm 例2：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用理截面，已z/zz沁N知材料的容許拉應(yīng)力為b+ = 40MPa，容許壓應(yīng)力b_ = lOOMPa 試校核梁的強(qiáng)度。Lz2加il-lVKN/mrrrm

5、A10KNMy20KNIs*齋2UKNM解（一）作梁的彎矩圖如圖 最大正彎矩Mc = IOKNjm最大負(fù)彎矩Ma = 20KN.m（二）確定中性軸的位置截面形心距底邊7/lfi30 x 170 x 85 + 30 x 200 x 185兒 _30 x 170 + 30 x 200=139mm(三)截面對中性軸的慣性矩=200x3()3 *20()%30%462 + 恥+ 30xl70x542 z 12 12= 40.3x106 加 （四）校核梁的強(qiáng)度（繪出應(yīng)力分布圖）1QKZM20KNM1-拉應(yīng)力強(qiáng)度校核A截面為負(fù)彎矩，上部受拉+mab Amax=-?AJ11zc截面為正彎矩，下部受拉+Meb

6、 Cmax=yJ2max+_必刃2b Cmax 一 :=34.5MPa V 0+ = 40MPa拉應(yīng)力強(qiáng)度足夠。由于Me% ，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣10-4青曲剪應(yīng)力1、矩形我面梁ID矩形截面梁的剪應(yīng)力（推導(dǎo)略）在推導(dǎo)矩形截面梁的剪應(yīng)力公式時，作如下兩點(diǎn)假設(shè):假設(shè)矩形截面上剪應(yīng)力萬的方向和剪力0的方向相同。IB假設(shè)截面上剪應(yīng)力萬沿寬度“是均勻分布的。C *導(dǎo)出的剪應(yīng)力計(jì)算式為：=式中:I jbIDQ橫截面上剪力IDS；需求剪應(yīng)力處，水平線以下（或以上）部分崔面積對中性軸的靜矩。4個橫截面對中性軸的慣性矩。ID一需求剪應(yīng)力處橫截面寬度02-4/)從上式可知，剪應(yīng)力分布是沿 梁的高度按拋物線

7、規(guī)律分布C才2bymax圖7-4ID在y =處 = o； 在y = 0處，剪應(yīng)力最大，即:二 30 二 30Tmax = 2bh = 2A最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力平今的15倍。2.工字型截面梁的剪應(yīng)力ID主要考慮工字型截面梁腹板上的剪應(yīng)力計(jì)算OIDID2his圖中因陰影部分面積對中性軸之 靜矩。翼緣可按照矩形截面梁的剪應(yīng)力公式計(jì)算:TmhiC V *式中：一腹板寬度圖7-5=2 2止一虬+q空）2 442 4（按拋物線規(guī)律分布） 由式可知：歹=令時，廠最小;y = 0 時,b圖7-53.圓形截面梁橫截面上的最大剪應(yīng)力IB園最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處T =1Q max a 43 A最大剪應(yīng)力是

8、平均剪應(yīng)力卸=弓的1U4心3借。最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處:b.薄壁圓截面最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力平晉的2倍。IDID4. 剪應(yīng)力強(qiáng)度條件IDID梁內(nèi)最大剪應(yīng)力一般發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸 上，若以表示中性軸以下（或以上）部分面積對中性軸 的靜矩，則梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為：7max久X十（7 - 9）ID在校核梁的強(qiáng)度或進(jìn)行截面設(shè)計(jì)時，必須同時滿足梁的 正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。在工程中，通常先按正 應(yīng)力亟度條程喪鼻由截窗尺寸，燕后進(jìn)行剪血力強(qiáng)鹿校核。例題：試為圖示外伸梁選擇一工字形截面，材料的許用應(yīng)力 c=160MPa, T=80MPa。| 10kN| 20kN15kNQ ffi 一十1 5kN10kN20kN m1 選擇合理的形狀和截面Mf X =苗 W bMmax 9叫r zw.較大可以提高梁的彎曲強(qiáng)度（P107表7.1）2 適當(dāng)布置載荷和支座的位置仃q4iiniinnBllllllliu .1A/ .L_6. 2/1q0.025才00.02川適當(dāng)布置載荷和支座的位置 可以降低最大彎曲數(shù)值提高 梁的彎曲強(qiáng)度3 等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁:梁上各橫截面上的最 大應(yīng)力