數(shù)學分析專題選講教案(4.1)

1、楚雄師范學院數(shù)學系課程教案-數(shù)學分析專題選講教案4-1-教案11 (數(shù)學分析專題選講,周學時三節(jié),單四雙二)周 次 第7周 (2009.4.6-2009.4.12)課 題第四專題 定積分中的若干基本方法4.1定積分與極限4.2積分上限函數(shù)學 時2學時教學內容（主要）一.定積分與極限一.積分上限函數(shù)教 學 目 標1.深刻理解定積分與極限的關系2.能熟練應用定積分求極限3.深刻理解積分上限函數(shù)4.能熟練應用積分上限函數(shù)性質解決問題教學重點1.應用定積分求極限的技能技巧2.應用積分上限函數(shù)性質解決問題的技能技巧教學難點1.應用定積分求極限的技能技巧2.應用積分上限函數(shù)性質解決問題的技能技巧教學方法與

2、手段1.分析教學方法、對比教學方法、探索式的教學方法、討論教學方法、綜合教學方法 2.借助多媒體輔助教學教 學 進 程 (教學設計)第四專題 定積分中的若干基本方法4.1 定積分與極限若在可積，則對任意的分法,對任意的,令,有.().若將分成等份,則, ,.(1).取,則.(2).取,則.特別.().若將分成份,則(1).取,則.(2).取,則.().若將分成份,使點分構成等比數(shù)列,則, ,.(1).取,則.(2).取,則.例1.求下列極限 (1).;(2).;(3).解:(1).=.(2).=. .(3).=.例2.證明:存在正數(shù)，對，有 .證明:因為=,于是存在正數(shù),對,有,即 .例3.證

3、明:. 證明:令,則 = =.故 .例4.證明:.證明:分法將分成份,其中,.取,則.例5.證明: .證明:令,則,故.又 ,故 .例6.證明:.解:因為,且,故 .例7.證明:.證明:令,則.而 ,故.例8.證明:.證明:令,則.于是 ,故.因此 .4.2 積分上限函數(shù)定理1.若在連續(xù),則在可導,且.定理2.若在可積,則在連續(xù).例1.設在連續(xù),且,證明:存在,使得. 證明:令,則因在連續(xù),故. 而 ,故,于是由中值定理,存在使得,即存在,使得.例2.設有二階連續(xù)導數(shù),且,時,與是同階無窮小,求. 證明:因為 ,故 , 于是時,即時,與是同階無窮小.例3.設在連續(xù),且.求.證明:(1).由于,

4、故,于是. 當時,故.當,.故 例4.設在單調不減,且,且證明:(1).在內連續(xù);(2).討論取何值時,在單增.解:(1).時,顯然連續(xù).因為,故,于是在右連續(xù).因此在連續(xù). (2).因為 =.故時,在單增.例5.設是上的任一非負的連續(xù)函數(shù),證明:存在唯一的使得在區(qū)間上以為高的矩形面積,等于在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積,即.證明:(1).令,則 . 因為在連續(xù),在內可導,且,于是由中值定理,存在使,即. （2）.因為,于是在單調,故是唯一的.例6.設,在可導,且 ,證明:存在使,.證明:令 ,則,且 .故.于是,由中值定理存在使,即存在使. 又由中值定理,存在使,即存在使.例7.設在具有四階連續(xù)導數(shù),.證明:存在使.證明:,我們有 （在0與之間）.因在連續(xù),故存在與使,于是, .故由連續(xù)函數(shù)的介值性定理,至少存在,使.例8.設在連續(xù),在可導,且,若存在，證明:(1).;(2).存在使.證明:(1).因為存在,故.而在上連續(xù),故.又,故在嚴格單減,于是,.(2).令,則由中值定理,存在,使得.又由中值定理,存在,使得,即.故.例9.證明:.證明:設,則存在,使得,于是,.故 .例10.設在連續(xù),在可導,且.證明:(1).存在,使得;(2).證明:(1).令,則由存在,使得 , 即 .