數(shù)字圖像處理DigitalImageProcessing.ppt

1、a,1,數(shù)字圖像處理(Digital Image Processing,數(shù)字圖像處理與模式識(shí)別研究所,a,2,第二章 圖像處理中的常用數(shù)學(xué)變換,2.1 引言 2.2 空域變換 2.2.1 代數(shù)運(yùn)算 2.2.2 幾何運(yùn)算 2.3 離散傅立葉變換 2.3.1 離散傅立葉變換基本概念 2.3.2 離散傅立葉變換基本性質(zhì) 2.3.3 快速離散傅立葉變換 2.4 離散Gabor變換 2.4.1 加窗傅立葉變換 2.4.2 Gabor變換的基本概念 2.4.3 離散Gabor變換,2.5 小波變換 2.5.1 連續(xù)小波變換 2.5.2 二進(jìn)小波變換 2.5.3 離散小波變換 2.5.4 二維離散小波變換

2、2.5.5 小波變換的應(yīng)用 2.6 PCA變換 2.6.1 PCA的基本概念及問題描述 2.6.2 PCA變換的應(yīng)用 2.7離散余弦變換 2.8其他的正交變換,a,3,2.1 引言,圖像的數(shù)學(xué)變換的特點(diǎn)在于其有精確的數(shù)學(xué)背景，是許多圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)。在這些變換中，一種是在空間域上進(jìn)行的，這些變換根據(jù)處理操作的特點(diǎn)，可以分為圖像的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算，它們都是利用對(duì)輸入圖像進(jìn)行加工而得到輸出圖像。另一種重要的數(shù)學(xué)變換則是將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用輸入圖像在這些空間的特有性質(zhì)有效而快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析。最典型的變換有離散傅立葉變換，它把空域中的圖像信號(hào)看作二

3、維時(shí)間序列，將其變換到頻率域來分析圖像的頻譜特性。 除了傅立葉變換外，常用的非空域的變換還有Gabor變換、小波變換、離散余弦變換、PCA變換等等。無論是在空域中的數(shù)學(xué)變換還是頻域中的數(shù)學(xué)變換，它們?cè)趫D像分析、濾波、增強(qiáng)、壓縮等處理中都有著非常典型而重要的應(yīng)用,a,4,2.2 空域變換,2.2.1 代數(shù)運(yùn)算 圖像的代數(shù)運(yùn)算是指對(duì)兩幅圖像進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的四則運(yùn)算而得到一幅新的輸出圖像。圖像的代數(shù)運(yùn)算在圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用，它除了可以實(shí)現(xiàn)自身所需要的算術(shù)操作，還能為許多復(fù)雜的圖像處理提供準(zhǔn)備。 1. 加法運(yùn)算 2. 減法運(yùn)算（差分,a,5,a,6,a,7,a）原圖 （b）梯度運(yùn)算,a,8,2.2.

4、2 幾何運(yùn)算 幾何運(yùn)算可以改變圖像中物體之間的空間關(guān)系。這種運(yùn)算可以看成是圖像內(nèi)的各物體在圖像內(nèi)移動(dòng)的過程。例如，物體的轉(zhuǎn)動(dòng)、扭曲、傾斜、拉伸等等，都是幾何運(yùn)算的結(jié)果,a,9,旋轉(zhuǎn),a,10,水平鏡像,a,11,垂直鏡像,a,12,平移,放縮,a,13,旋轉(zhuǎn),a,14,復(fù)雜變換 右圖顯示了在失真和相應(yīng)的校正圖像中的四邊形區(qū)域，四邊的頂點(diǎn)是相應(yīng)的“控制點(diǎn)”。假設(shè)四邊形區(qū)域中的幾何形變過程用雙線性方程對(duì)來建模，即,a,15,幾何變換的應(yīng)用舉例 圖像在生成過程中，由于系統(tǒng)本身具有非線性或拍攝角度不同，會(huì)使生成的圖像產(chǎn)生幾何失真。幾何失真一般分為系統(tǒng)失真和非系統(tǒng)失真。系統(tǒng)失真是有規(guī)律的、能預(yù)測(cè)的；非系

5、統(tǒng)失真則是隨機(jī)的。 但對(duì)圖像作定量分析時(shí)，就要對(duì)失真的圖像進(jìn)行幾何校正（即將存在幾何失真的圖像校正成無幾何失真的圖像），以免影響分析精度。基本方法是先建立幾何校正的數(shù)學(xué)模型；其次利用已知條件確定模型參數(shù)；最后根據(jù)模型對(duì)圖像進(jìn)行幾何校正。通常分為兩步： (1)圖像空間的坐標(biāo)變換； (2)確定校正空間各象素的灰度值,a,16,灰度級(jí)插值 輸出象素通常被映射到輸入圖像中的非整數(shù)位置，即位于四個(gè)輸入象素之間。因此，為了決定與該位置相對(duì)應(yīng)的灰度值，必須進(jìn)行插值運(yùn)算。常用的插值方法有3種： 1）最近鄰插值(Nearest Neighbor Interpolation) 2）雙線性插值(Bilinear I

6、nterpolation) 3）三次立方插值,a,17,1）最近鄰插值(Nearest Neighbor Interpolation) 最簡(jiǎn)單的插值方法是最近鄰插值，即選擇離它所映射到的位置最近的輸入象素的灰度值為插值結(jié)果。數(shù)學(xué)表示為： 2）雙線性插值(Bilinear Interpolation) 雙線性插值法是對(duì)最近鄰法的一種改進(jìn)，即用線性內(nèi)插方法，根據(jù)點(diǎn)的四個(gè)相鄰點(diǎn)的灰度值，分別在x和y方向上進(jìn)行兩次插值，計(jì)算出的值。最后形成的插值函數(shù)為一雙曲拋物面方程,a,18,a,19,首先，在x方向上作線性插值，對(duì)上端的兩個(gè)頂尖進(jìn)行線性插值得,類似的，對(duì)于底端兩個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行線性插值有,y方向上作線性

7、插值，以確定,最后得到雙線性插值公式為,a,20,3）三次立方插值 該方法利用三次多項(xiàng)式 來逼近理論上的最佳插值函數(shù) ，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 上式中的是周圍象素沿方向離原點(diǎn)的距離。待求象素的灰度值由其周圍16個(gè)點(diǎn)的灰度值加權(quán)內(nèi)插得到。可推導(dǎo)出待求象素的灰度值計(jì)算式為,a,21,a,22,其中,a,23,2.3 離散傅立葉變換,2.3.1 傅立葉定義 理論基礎(chǔ)、連續(xù)與離散的傅立葉變換。 2.3.2 二維傅立葉變換特性 可分離性、周期與共軛對(duì)稱、平移性； 旋轉(zhuǎn)特性、線性與相似性、均值性； 拉普拉斯、卷積與相關(guān)。 2.3.3 快速傅立葉變換 FFT算法、逆向FFT算法、算法實(shí)現(xiàn),a,24,連續(xù)與離散的傅

8、立葉變換 一維連續(xù)傅立葉變換 二維連續(xù)傅立葉變換 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示,3.1 傅立葉變換理論基礎(chǔ),a,25,2.3.1 傅立葉變換導(dǎo)言:傅立葉變換,離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示 離散傅立葉變換的計(jì)算舉例 離散傅立葉變換的顯示,a,26,離散傅立葉變換的計(jì)算舉例,x,f(x0)=f(x0+x,0,1,2,3,1,2,3,4,a,27,2.3.1 傅立葉變換導(dǎo)言:傅立葉變換,F(0) = 1/4f(x)exp0 = 1/4f(0) + f1(1) + f(2) + f(3) = 1/4(2 + 3 + 4 + 4) = 3.25 F(1) = 1/4f(x)exp-j2x/4

9、) = 1/4(2e0 + 3e j21/4 + 4e j22/4 + 4e j23/4) = 1/4(-2 + j) F(2) = -1/4(1 + j0) F(3) = -1/4(2 + j,a,28,離散傅立葉變換的顯示 通過對(duì)傅立葉變換模，來顯示傅立葉變換圖象。由于模的值域大于顯示的值域，因此要進(jìn)行動(dòng)態(tài)值域的壓縮 D(u,v) = c log(1 + |F(u,v)|) 其中： c = 255 / k; k = max(log(1 + |F(u,v)|) 值域0,k的上限（最大值,a,29,離散傅立葉變換的顯示,a,30,a,31,離散傅立葉變換的顯示對(duì)稱平移后,a,32,a,33,2

10、.3.2 二維傅立葉變換特性 可分離性 周期與共軛對(duì)稱 平移性 旋轉(zhuǎn)特性,線性與相似性 均值性 拉普拉斯 卷積與相關(guān),a,34,2.3.2 二維傅立葉變換特性:可分離性,先對(duì)行做變換,然后對(duì)列進(jìn)行變換,f(x,y,0，0,N-1，M-1,x,y,F(x,v,0，0,N-1，M-1,x,v,F(x,v,0，0,N-1，M-1,x,v,F(u,v,0，0,N-1，M-1,u,v,a,35,2.3.3 快速傅立葉變換: FFT算法思想,分析這些表達(dá)式得到如下的特性： （1）一個(gè)N個(gè)點(diǎn)的變換，能夠通過將原始表達(dá) 式分成兩個(gè)部分來計(jì)算 （2）通過計(jì)算兩個(gè)（N/2）個(gè)點(diǎn)的變換。得到 Feven(u)和 F

11、odd(u) （3）奇部與偶部之和得到F(u)的前(N/2)個(gè)值。 （4）奇部與偶部之差得到F(u)的后(N/2)個(gè)值。 且不需要額外的變換計(jì)算,a,36,2.3.3 快速傅立葉變換: FFT算法思想,快速傅立葉變換的思想： 1）通過計(jì)算兩個(gè)單點(diǎn)的DFT，來計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的DFT 2）通過計(jì)算兩個(gè)雙點(diǎn)的DFT，來計(jì)算四個(gè)點(diǎn)的 DFT，以此類推 3）對(duì)于任何N=2m的DFT的計(jì)算，通過計(jì)算兩個(gè)N/2 點(diǎn)的DFT，來計(jì)算N個(gè)點(diǎn)的DFT,a,37,a,38,2.4 離散Gabor變換,2.4.1 加窗傅立葉變換 2.4.2 Gabor變換的基本概念 2.4.3 離散Gabor變換,a,39,引 言 連續(xù)

12、小波變換（CWT） 小波變換的性質(zhì) 離散小波變換（DWT） 二維小波 多分辨率分析 快速小波變換（FWT,2.5 小波變換,a,40,1引言,付利葉等變換的局限 小波的提出、發(fā)展和應(yīng)用 波和小波,a,41,a,42,應(yīng)用：將小波用于地震信號(hào)的分析與處理；將二進(jìn)小波變換用于圖像的邊緣檢測(cè)、圖像壓縮與重構(gòu)；將連續(xù)小波變換用于渦流的研究；將小波變換用于噪聲中的未知瞬態(tài)信號(hào)；將小波變換用于語音信號(hào)的分析、變換和綜合;將正交小波變換用于算子及擬微分算子的化簡(jiǎn)；將小波變換的自適應(yīng)性用于解微分方程；將小波變換用于電磁場(chǎng)領(lǐng)域的若干問題研究等，都取得了初步成果,a,43,波和小波（Wavelet,a,44,a,

13、45,2連續(xù)小波變換（CWT,小波變換的定義 設(shè)函數(shù)f(t)L2(R)，則小波變換的定義如下,其中，積分核為 的函數(shù)族。a0為尺度參數(shù)（伸縮參數(shù)）,b為定位參數(shù)（平移參數(shù)），該函數(shù)稱為小波。若a1函數(shù)(t)具有伸展作用，若a1函數(shù)(t)具有收縮作用。伸縮參數(shù)a對(duì)(t)的影響如下圖,a,46,隨著參數(shù)a的減小，(t)的支撐區(qū)也隨之變窄，反之亦然。(t)隨伸縮參數(shù)a和平移參數(shù)b而變化如下圖,大a,小a,a,47,圖中小波函數(shù)為 。當(dāng)a=2,b=15時(shí)，2,15(t)的波形從原點(diǎn)向右移至t=15，且波形展寬。當(dāng)a=0.5，b=-10時(shí)，1/2,-10(t)的波形從原點(diǎn)向左移至t=-10,且波形收縮,

14、a,48,2）小波函數(shù)要滿足的條件,1) 緊支撐性（Compact support），即在一個(gè)很小 的區(qū)域之外函數(shù)均為零，函數(shù)具有速降特性。 (2) 平均值為零，即,而且其高階矩也為零,a,49,小波應(yīng)是一個(gè)具有振蕩性和迅速衰減的波,因?yàn)?a,50,3）小波反變換,對(duì)于所有f(t),(t)L2(R)，連續(xù)小波逆變換定義為,變換能量守恒,a,b,a,51,4） 幾種小波,1）Haar小波,a,52,2）Mexico Hat 小波 Mexico Hat 小波是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),它是實(shí)值小波，一般形式為,a,53,3）Morlet 小波 Morlet 小波是最常用的復(fù)值小波，它可由下式給出,

15、a,54,3. 小波變換的性質(zhì),1）線性 （2）平移和伸縮的共變性 （3）小波變換還有微分運(yùn)算、局部正則、能量守恒、空間-尺度局部化等特性,a,55,4離散小波變換（DWT,離散小波函數(shù)、離散小波變換、反變換分別定義如下,a,56,5. 二維小波,連續(xù)的二維小波函數(shù)、小波變換和反變換分別如下,a,57,二維離散小波變換和反變換分別為,a,58,6多分辨率分析,金字塔算法 拉普拉斯金字塔編碼 子帶編碼和解碼,a,59,拉普拉斯金字塔編碼,a,60,子帶編碼和解碼,a,61,雙通道子帶編碼,a,62,雙通道子帶解碼,a,63,7快速小波變換（FWT,快速小波變換（FWT,魚骨算法,a,64,快速小波反變換,a,65,a,66,a,67,1PCA(主分量分析/ K-L)變換 2DCT與PCA的關(guān)系,2.6 PCA變換,a,68,1PCA(主分量分析/K-L)變換,均值,偏差,協(xié)方差矩陣,a,69,PCA變換,PCA反變換,變換后均值為0，方差為,a,70,作用：解除相關(guān)性；可以用于降維處理 也稱為主分量分析(K-L)，用于人 臉識(shí)別,如果降到M維的均方誤差為,a,71,2DCT與PCA的關(guān)系,其特征值為,a,72,其特征向量為,其根為,a,73,2.7 離散余弦變換(DCT,a,74,a,75,1Walsh-Hadamard