廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月線上模擬考試試題文含解析

1、廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月線上模擬考試試題 文（含解析）一、選擇題1. 不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【詳解】對(duì)于不等式的解集為，根據(jù)題意，分析選項(xiàng)可得，a中，為其充要條件，不符合題意；中，當(dāng)成立不等式成立，反之若有成立，未必有成立，所以為充分不必要條件，不合題意；中，當(dāng)不等式不一定成立，如時(shí)，反之若有成立，則必有成立，為必要不充分條件，符合條件；中，當(dāng)不等式不一定成立，如時(shí)，反之若有成立，未必有，如，則為既不充分，又不必要條件，不合題意，故選2. 若、，且，則下列不等式中一定成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】

2、d【解析】【分析】對(duì)，利用分析法證明；對(duì)，不式等兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，乘以0再根據(jù)不等式是否取等進(jìn)行考慮；對(duì)，考慮的情況；對(duì)，利用同向不等式的可乘性.【詳解】對(duì)，因?yàn)榇笮o法確定，故不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)，才能成立，故也不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)不成立，故也不一定成立；對(duì)，故一定成立.故選d.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查不等式在特殊情況下能否成立的問題，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.3. 已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（ ）a. b. c. d. 的虛部為【答案】b【解析】【分析】計(jì)算化簡出復(fù)數(shù)，即可得出虛部，再依次求出模長，共軛復(fù)數(shù)，平方即可選出選項(xiàng).【詳解】由題：，所以：，的虛部為.故選

3、：b【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和基本概念的辨析，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)考查比較全面，易錯(cuò)點(diǎn)在于虛數(shù)單位的平方運(yùn)算和虛部的辨析.4. 已知角的終邊過點(diǎn)，且，則的值為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可得，由此得出的值.【詳解】解：角的終邊過點(diǎn)，即，又，角的終邊在第三象限，則，由，解得故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)定義，屬于基礎(chǔ)題.5. 已知是等差數(shù)列，且a11，a44，則a10（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，結(jié)合題意可得1，計(jì)算可得公差d的值，進(jìn)而由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得的值，求其倒

4、數(shù)可得a10的值【詳解】根據(jù)題意，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，若a11，a44，有1，則3d，即d，則9d，故a10；故選a【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意求出的公差6. 在區(qū)間上機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則的值在區(qū)間上的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)在上的單調(diào)性，求得函數(shù)值為所對(duì)應(yīng)的的值，再根據(jù)幾何概型的求解方法可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)樵谏希瘮?shù) 單調(diào)遞增，且當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， ，所以所求概率為，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的求值和幾何概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.7. 已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則的值等于（ ）a. b. c. 2d. 【

5、答案】b【解析】【分析】由為冪函數(shù)，即可得到的值，計(jì)算出，且經(jīng)過的定點(diǎn)，代入中，即可得到的值【詳解】由于為冪函數(shù)，則，解得：，函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)， ，故 的圖像所經(jīng)過的定點(diǎn)為，所以，即，解得：,故答案選b【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義以及函數(shù)恒過點(diǎn)點(diǎn)的問題，屬于基礎(chǔ)題8. 在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)有( )個(gè)a. 3b. 2c. 1d. 0【答案】b【解析】【分析】根據(jù)傾斜角求出斜率的范圍，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值即該點(diǎn)的斜率，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，即可推出坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】由于切線的傾斜角小于，所以斜率.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則從而故選：b【點(diǎn)睛】本題考查

6、直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是個(gè)基礎(chǔ)題.9. 如圖莖葉圖表示的是甲.乙兩人在5次綜合測評(píng)中的成績，其中乙中的兩個(gè)數(shù)字被污損，且已知甲，乙兩人在次綜合測評(píng)中的成績中位數(shù)相等，則乙的平均成績低于甲的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖分別求出甲、乙的中位數(shù)，平均數(shù)，得到模糊成績的值，利用古典概型求解即可【詳解】由題意可得：甲的成績?yōu)椋?4、86、91、98、98；中位數(shù)為91，平均數(shù)為；乙的成績?yōu)椋?6，88，90+x，90+y，99 （xy）；甲，乙中位數(shù)相同；90+x91x1； 乙的平均數(shù)為；乙的平均成績低于甲；1y3；y1或2乙的平

7、均成績低于甲的概率p；故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，以及中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)及古典概型，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10. 設(shè)平面向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析】根據(jù)與的夾角為銳角，得到，再由向量的夾角公式將其夾角余弦值表示出來，得到關(guān)于的不等式，解出的范圍，從而得到答案.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，向量，所以，整理得，所以的范圍為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的夾角求參數(shù)的范圍，屬于簡單題.11. 如圖，在中，點(diǎn)d在線段bc上，且，則的面積的最大值為（ ）a. b. 4c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)，則

8、，根據(jù)三角形的面積公式求出ac，ab，然后由，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值【詳解】解：設(shè)，則，同理，其中，當(dāng)時(shí)，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和三角恒等變換，以及三角形的面積公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題12. 已知函數(shù)，若剛好有兩個(gè)正整數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】把剛好有兩個(gè)正整數(shù)使得轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的位置關(guān)系問題，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并畫出簡圖，的圖象過定點(diǎn)的直線，結(jié)合圖象得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令且，因?yàn)閯偤糜袃蓚€(gè)正整數(shù)使得，即作出的圖象，如圖所示，其中過定點(diǎn)，直線斜率為，由圖可知，時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)滿足

9、條件，即有且僅有使得.實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)綜合，考查學(xué)生的綜合分析能力，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.二、填空題13. 我國古代名著九章算術(shù)用“更相減損術(shù)”求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是一個(gè)偉大創(chuàng)舉.這個(gè)偉大創(chuàng)舉與我國古老的算法“輾轉(zhuǎn)相除法”實(shí)質(zhì)一樣.如圖的程序框圖即源于“輾轉(zhuǎn)相除法”，當(dāng)輸入,時(shí)，輸出的_.【答案】18【解析】【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，該程序執(zhí)行的是歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法，求出運(yùn)算結(jié)果即可【詳解】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下：，執(zhí)行循環(huán)體：，不滿足退出循環(huán)的條件，繼續(xù)；執(zhí)行循環(huán)體：，不滿足退出循環(huán)的條件，繼續(xù)；執(zhí)行循環(huán)體：，滿足退出循環(huán)條件，退

10、出循環(huán)，輸出的值為18答案：18【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，注意模擬程序框圖的運(yùn)行過程，屬于基礎(chǔ)題14. 由直線上的任意一個(gè)點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為_.【答案】【解析】【分析】利用切線和點(diǎn)到圓心的距離關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解】圓心坐標(biāo)，半徑 要使切線長最小，則只需要點(diǎn)到圓心的距離最小，此時(shí)最小值為圓心到直線的距離，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.15. 底面為正方形的直四棱柱中，點(diǎn)e是的中點(diǎn)則異面直線與所成角的大小為_【答案】【解析】【分析】取bc中點(diǎn)為f，將直線eb平移至，找到夾角，在三角形中求解即可.【詳解】根據(jù)題意，取

11、bc中點(diǎn)為f，連接，作圖如下：在四邊形中，因?yàn)?，且=bf故該四邊形平行四邊形，則/，故為直線與be所成角或其補(bǔ)角.在中，根據(jù)題意可知由余弦定理可得：又異面直線夾角的范圍為：故即直線與所成角的大小為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線夾角的求解，關(guān)鍵的步驟是平移至直線相交，再在三角形中求解角度.16. 已知直線與雙曲線一條漸近線交于點(diǎn)，雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，若，則雙曲線的離心率為_.【答案】或【解析】【分析】解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求出，化簡整理出的關(guān)系式，從而求得離心率【詳解】若漸近線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，則，所以，從而.若漸近線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得.【

12、點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查運(yùn)算求解能力與分類討論的數(shù)學(xué)思想.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 在公差d的等差數(shù)列中，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，或，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得所求；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程即可得到所求，求得，再由裂項(xiàng)相消求和即可得解【詳解】解：（1），且，或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. （2），成等比數(shù)列，即，化為或，由（1

13、）可得，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，以及分類討論思想和方程思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題18. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，（）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（i）見解析；（ii）見解析；（iii）.【解析】【分析】（i）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果；（ii）取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；（iii）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成

14、的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.【詳解】（i）證明：連接，易知，又由，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（ii）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，所以平?（iii）解：連接，由（ii）中平面，可知為直線與平面所成的角.因?yàn)闉榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，所以，又，在中，所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理能力.19. “開門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目，選手面對(duì)1號(hào)8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂（將一首經(jīng)

15、典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢想基金，在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段：；（單位：歲），其猜對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示（）寫出列聯(lián)表；判斷是否有的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱是否與年齡有關(guān)；說明你的理由；（如表的臨界值表供參考）0.100.050.0100.0052.7063.84166357.879（）現(xiàn)計(jì)劃在這次場外調(diào)查中按年齡段用分層抽樣的方法選取6名選手，并抽取3名幸運(yùn)選手，求3名幸運(yùn)選手中恰好有一人在歲之間的概率（參考公式：，其中）【答案】（）見解析;（）【解析】試題分析：（）根據(jù)頻率分布表寫出列聯(lián)表，代入公式計(jì)

16、算即可.（）根據(jù)古典概型計(jì)算公式求解即可.試題解析：（）正誤年齡正確錯(cuò)誤合計(jì)103040107080合計(jì)20100120由上表可知，有的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱與年齡有關(guān)（）設(shè)事件為三名幸運(yùn)選手中恰好有一人在歲之間，由已知得歲之間的人數(shù)為2人，歲之間的人數(shù)為4人，從6人中取3人的結(jié)果有20種，事件的結(jié)果是種，故3名幸運(yùn)選手中恰好一人在歲之間的概率是點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體

17、化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.20. 已知圓，圓，動(dòng)圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切，圓心p的軌跡為曲線c.（1）求曲線c的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與曲線c相交于a，b兩點(diǎn)，直線qa與直線qb的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切，得到，從而得到，得到，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l斜率存在時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得到，表示出直線qa與直線qb的斜率，根據(jù)，得到，的關(guān)系，得到直線所過的定點(diǎn)，再驗(yàn)證直線l斜率不存在時(shí)，也過該定點(diǎn)，從而證明直線過定點(diǎn).【詳解】

18、（1）設(shè)動(dòng)圓p的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓p與圓m外切，所以，因?yàn)閯?dòng)圓p與圓n內(nèi)切，所以，則，由橢圓定義可知，曲線c是以為左、右焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，故，所以曲線c的方程為.（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立，得，設(shè)點(diǎn)，則，所以，即，得.則，因?yàn)椋?即，直線，所以直線l過定點(diǎn).當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，且，則點(diǎn)，解得，所以直線也過定點(diǎn).綜上所述，直線l過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的定義，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.21. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍：若的極大

19、值小于整數(shù)，求的最小值.【答案】（1）在，單調(diào)遞減；（2）；【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）依題意，有兩個(gè)負(fù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可得到，解得即可.由可知：，使得，則，即為的極大值點(diǎn)，求出極大值的取值范圍，即可得解.【詳解】解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)負(fù)根，令，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，有兩個(gè)負(fù)根只需，由可知：，使得，則，即，且在，單增，在，單減，為的極大值點(diǎn)，單增，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)及極值，屬于中檔題.（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角.【答案】（1） ； （2） 或.【解析】【分析】（1）根據(jù)平方關(guān)系消參數(shù)得直線的普通方程，根據(jù)得曲線的直角坐標(biāo)方程（2）利用直線參數(shù)方程幾何意義求解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），當(dāng)時(shí)，直線的直角坐標(biāo)方程為 當(dāng)