江蘇省南通市啟東中學2019_2020學年高一數(shù)學下學期期初考試試題普通班含解析

1、江蘇省南通市啟東中學2019-2020學年高一數(shù)學下學期期初考試試題（普通班，含解析）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某企業(yè)一種商品的產(chǎn)量與單位成本數(shù)據(jù)如表：產(chǎn)量(萬件)234單位成本(元件)3a7現(xiàn)根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù),求得關(guān)于的線性回歸方程為,則值等于( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由已知表格中的數(shù)據(jù)求得與的值,代入線性回歸方程求解值.【詳解】由所給數(shù)據(jù)可求得 ,代入線性回歸方程為,得,解得故選:b.【點睛】本題考查線性回歸方程的求法,明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關(guān)鍵,是基礎題.2.直

2、線的傾斜角的范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】將直線方程化為斜截式,得到斜率,從而可以求出的取值范圍,進而得到傾斜角的范圍.【詳解】將直線方程化為斜截式:,故直線的斜率,所以直線的傾斜角范圍為,故選:b.【點睛】本題考查直線的傾斜角,由斜率范圍確定傾斜角范圍時容易求反,答題時要仔細.3.擲一枚均勻的硬幣兩次，事件：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件：“至少一次正面朝上”，則下列結(jié)果正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】試題分析：選d.考點：古典概型.4.已知直線y2x是abc中c的平分線所在的直線，若點a，b的坐標分別是(4，2)，(3，1)，則

3、點c的坐標為( )a. (2，4)b. (2，4)c. (2，4)d. (2，4)【答案】c【解析】【分析】求出a(4，2)關(guān)于直線y2x的對稱點為(x，y)，可寫出bc所在直線方程，與直線y2x聯(lián)立，即可求出c點坐標.【詳解】設a(4，2)關(guān)于直線y2x的對稱點為(x，y)，則，解得bc所在直線方程為y1(x3)，即3xy100. 聯(lián)立直線y=2x，解得，則c(2，4)故選c.【點睛】本題主要考查了點關(guān)于直線的對稱點，屬于中檔題.5.在中，則bc邊上的中線ad的長為a. 1b. c. 2d. 【答案】d【解析】【分析】由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，即可【詳解】由余弦定理可得：在中

4、，由余弦定理可得：，故選d【點睛】本題主要考查了余弦定理，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù). 解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說 ,當條件中同時出現(xiàn) 及 、 時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.6.已知圓c：x2(y3)24，過a(1,0)的直線l與圓c相交于p，q兩點，若|pq|2，則直線l的方程為()a. x1或4x3y40b. x1或4x3y40c. x1或4x3y40d. x

5、1或4x3y40【答案】b【解析】當直線l與x軸垂直時，易知x1符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x1)，過圓c作cmpq，垂足為m，由于|pq|2，可求得|cm|1.由|cm|1，解得k，此時直線l的方程為y(x1)故所求直線l的方程為x1或4x3y40.故選b.7.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點a測得水柱頂端的仰角為45，沿點a向北偏東30前進100 m到達點b，在b點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()a. 50 mb. 100 mc. 120 md. 150 m【答案】a【解析】【分析】如圖所

6、示，設水柱cd的高度為h在rtacd中，由dac=45，可得ac=h由bae=30，可得cab=60在rtbcd中，cbd=30，可得bc=在abc中，由余弦定理可得：bc2=ac2+ab22acabcos60代入即可得出【詳解】如圖所示，設水柱cd的高度為h在rtacd中，dac=45，ac=hbae=30，cab=60又b，a，c在同一水平面上，bcd是以c為直角頂點的直角三角形，在rtbcd中，cbd=30，bc=在abc中，由余弦定理可得：bc2=ac2+ab22acabcos60（）2=h2+1002，化為h2+50h5000=0，解得h=50故選a【點睛】解三角形應用題的一般步驟(

7、1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.8.已知直線方程為，和分別為直線上和外的點，則方程表示（ ）a. 過點且與垂直的直線b. 與重合的直線c. 過點且與平行的直線d. 不過點，但與平行的直線【答案】c【解析】【分析】先判斷直線與平行，再判斷直線過點，得到答案.【詳解】由題意直線方程為，則方程兩條直線平行，為直線上的點，化為，顯然滿足方程，所以表示過點且與平行的直線故答案選c【點睛

8、】本題考查了直線的位置關(guān)系，意在考查學生對于直線方程的理解情況.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分9.為了了解參加運動會的名運動員的年齡情況，從中抽取了名運動員的年齡進行統(tǒng)計分析.就這個問題，下列說法中正確的有（ ）a. 名運動員是總體；b. 所抽取的名運動員是一個樣本；c. 樣本容量為；d. 每個運動員被抽到的機會相等.【答案】cd【解析】【分析】根據(jù)總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及在整個抽樣過程中每個個體被抽到的機會均等即可求解.【詳解】由已知可得，名運動員的年齡是總體

9、，名運動員的年齡是樣本，總體容量為，樣本容量為，在整個抽樣過程中每個運動員被抽到的機會均為，所以a、 b 錯誤，c、d正確.故選：cd.【點睛】本題主要考查總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及抽樣的公平性問題，屬基礎題.10.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（ ）a. 若，則一定是等邊三角形b. 若，則一定是等腰三角形c. 若，則一定是等腰三角形d. 若，則一定銳角三角形【答案】ac【解析】【分析】利用正弦定理可得，可判斷；由正弦定理可得，可判斷；由正弦定理與誘導公式可得，可判斷；由余弦定理可得角為銳角，角不一定是銳角，可判斷.【詳解】由，利用正弦定理可得，即，是等邊三角

10、形，正確；由正弦定理可得，或，是等腰或直角三角形，不正確；由正弦定理可得，即，則等腰三角形，正確；由正弦定理可得，角為銳角，角不一定是銳角，不正確，故選ac.【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應用，以及三角形形狀的判斷，屬于中檔題. 判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進而知其為鈍角三角形.11.（多選題）下列說法正確的是（ ）a. 直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2b. 點關(guān)于直線的對稱

11、點為c. 過，兩點的直線方程為d. 經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】ab【解析】【分析】根據(jù)直線的方程及性質(zhì)，逐項分析，a中直線在坐標軸上的截距分別為2，所以圍成三角形的面積是2正確，b中在直線上，且連線的斜率為，所以b正確，c選項需要條件，故錯誤，d選項錯誤，還有一條截距都為0的直線.【詳解】a中直線在坐標軸上的截距分別為2，所以圍成三角形的面積是2正確，b中在直線上，且連線的斜率為，所以b正確，c選項需要條件，故錯誤，d選項錯誤，還有一條截距都為0的直線.【點睛】本題主要考查了直線的截距，點關(guān)于直線的對稱點，直線的兩點式方程，屬于中檔題.12.設有一組圓.下列四個命題正確的

12、是（ ）a. 存在，使圓與軸相切b. 存在一條直線與所有的圓均相交c. 存在一條直線與所有的圓均不相交d. 所有的圓均不經(jīng)過原點【答案】abd【解析】【分析】根據(jù)圓的方程寫出圓心坐標，半徑，判斷兩個圓的位置關(guān)系，然后對各選項進行分析檢驗，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意得圓的圓心為（1，k），半徑為，選項a,當k=，即k=1時，圓的方程為，圓與x軸相切，故正確；選項b，直線x=1過圓的圓心（1，k），x1與所有圓都相交，故正確；選項c,圓k：圓心（1，k），半徑為k2，圓k+1：圓心（1，k+1），半徑為（k+1）2，兩圓的圓心距d1，兩圓的半徑之差rr2k+1，（rrd），k含于ck+1之中，

13、 若k取無窮大，則可以認為所有直線都與圓相交，故錯誤；選項d,將（0，0）帶入圓的方程，則有1+k2k4，不存在 kn*使上式成立，即所有圓不過原點，正確故選abd【點睛】本題考查圓的方程，考查兩圓的位置關(guān)系，會利用反證法進行分析證明，會利用數(shù)形結(jié)合解決實際問題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.13.直線關(guān)于點對稱的直線的方程為_.【答案】【解析】【分析】設所求直線上任一點坐標為，點關(guān)于點對稱的點，根據(jù)中點坐標公式，點在直線，可得所求直線方程，即可求得答案.【詳解】設所求直線上任一點坐標為，點關(guān)于點對稱的點為根據(jù)坐標中點公式可得：解得：點在直線

14、將代入可得：整理可得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查直線關(guān)于點對稱的直線方程，設出所求直線上任一點的坐標，求出其關(guān)于定點對稱的點的坐標，代入已知直線即可求出結(jié)果，屬于基礎題型.14.已知圓，圓,定點,動點，分別在圓和圓上，滿足,則線段的取值范圍_.【答案】【解析】【分析】因為，可得，根據(jù)向量和可得，即，由，分別在圓和圓上點設，求得，由，可得，即可得到，設中點為，求得的取值范圍，即可求得答案.【詳解】，分別在圓和圓上點設，則，由，可，即，整理可得：，設中點為，則，即，點的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，的取值范圍是，的范圍為，故：范圍為故答案為：【點睛】本題主要考查了求同心圓上兩點間距離的范圍

15、問題，解題關(guān)鍵是掌握向量加法原理和將兩點間距離問題轉(zhuǎn)化為中點軌跡問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若 ，的面積為，則_ ，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案16.在平面直角坐標系xoy中，已知點a（1，1）

16、，b（1，1），點p為圓（x4）2y24上任意一點，記oap和obp的面積分別為s1和s2，則的最小值是_【答案】【解析】【分析】設aop，利用面積公式得，求出的最小值即可.【詳解】設aop，易知oa，ob，aob，則bop，故，直線，圓（x4）2y24圓心到兩條直線的距離均為，直線與圓相離，由圖易知，圓在內(nèi)部，設，即，解得，所以最大為，即直線op與圓相切時，當切點在第一象限的點的時候，取得最小值.故答案為：【點睛】此題考查三角形面積公式的應用，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系解決問題.四、解答題：本題共6小題，共70分.17.為了了解高中新生的體能情況，某學校抽取部分高一學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將

17、所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從 左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？（3）在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由【答案】（1）008，150；（2）88;（3）第四小組，理由見解析【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖中各小矩形面積之和為1結(jié)合面積之比得到第二小組的頻率，從而求得樣本容量；（2）由頻率分布直方圖中各小矩形的面積和為1與面積之比可求出達標的頻率即達標率；（3）求出前四組的頻

18、數(shù)即可得到中位數(shù)所在的區(qū)間試題解析：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：又因為頻率=所以（2）由圖可估計該學校高一學生的達標率約為（3）由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)考點：頻率分布直方圖18.的內(nèi)角，的對邊分別為，已知，.（1）求角；（2）若點滿足，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解法一：對條件中的式子利用正弦定理進行邊化角，得到的值，從而得到角的大小；解法二：對對條件中的式子利用余弦定理進行角化邊，得

19、到的值，從而得到角的大?。唤夥ㄈ豪蒙溆岸ɡ硐嚓P(guān)內(nèi)容進行求解.（2）解法一：在中把邊和角都解出來，然后在中利用余弦定理求解；解法二：在中把邊和角都解出來，然后在中利用余弦定理求解；解法三：將用表示，平方后求出的模長.【詳解】（1）【解法一】由題設及正弦定理得，又，所以.由于，則.又因為，所以【解法二】由題設及余弦定理可得，化簡得.因為，所以.又因，所以.【解法三】由題設，結(jié)合射影定理，化簡可得.因為.所以.又因為，所以.（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.又因為，所以，即.在中，因為，所以，所以在中，由余弦定理得，所以.【解法2】在中，因為，所以，.由余弦定理得.因為，所以.在中，由余弦定

20、理得所以.【解法3】在中，因為，所以，.因為，所以.則所以.【點睛】本題主要考察利用正余弦定理解三角形問題，方法較多，難度不大，屬于簡單題.19.已知直線及點證明直線過某定點，并求該定點的坐標當點到直線的距離最大時，求直線的方程【答案】（1）證明見解析,定點坐標為（2）【解析】【分析】直線方程化成，再聯(lián)解關(guān)于、的方程組，即可得到直線經(jīng)過的定點坐標；設直線經(jīng)過的定點為，由平面幾何知識，得到當時，點到直線的距離最大因此算出直線的斜率，再利用垂直直線斜率的關(guān)系算出直線的斜率，即可求出此時直線的方程【詳解】直線方程可化為：由，解得且，直線恒過定點，其坐標為直線恒過定點當點在直線上的射影點恰好是時，即時

21、，點到直線的距離最大的斜率直線的斜率由此可得點到直線的距離最大時，直線的方程為，即【點睛】本題主要考查直線過定點的問題，以及求直線外一點p到直線的距離最大時直線的方程；熟記兩直線交點的求法、點到直線的距離公式，以及直線的一般式方程即可，屬于基礎題20.樹林的邊界是直線（如圖所在的直線），一只兔子在河邊喝水時發(fā)現(xiàn)了一只狼，兔子和狼分別位于的垂線上的點點和點處，（為正常數(shù)），若兔子沿方向以速度向樹林逃跑，同時狼沿線段方向以速度進行追擊（為正常數(shù)），若狼到達處的時間不多于兔子到達m處的時間，狼就會吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸點（即可能被狼吃掉的點）的區(qū)域面積；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求的取值

22、范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）建立坐標系，設，兔子的所有不幸點滿足：，可得，即可求得，即可求得答案；（2）設，由兔子要想不被狼吃掉：可得，求得的范圍，即可求得的取值范圍，即可求得答案.【詳解】（1）如圖建立坐標系，設由得在以為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部所以（2）設由兔子要想不被狼吃掉：可得解得：可得，【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握圓的基礎知識和點到直線距離公式，及其圓在實際問題的中的應用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.21.在平面直角坐標系中，圓，以為圓心的圓記為圓，已知圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為21.（1）求圓的標準方程；（2）求過點且與圓相切的直線的方程；（

23、3）已知直線與軸不垂直，且與圓，圓都相交，記直線被圓，圓截得的弦長分別為，.若，求證：直線過定點.【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）因為，可得圓為圓心，半徑為，設為圓心的圓記為圓，設半徑為，由圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為，可得，即可求得圓方程，即可求得答案；（2）分別討論切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況，當切線的斜率存在時，設直線方程為，設直線到圓的距離為，由直線和圓相切，可得，求得,即可求得答案；（3）設直線的方程為，求得圓心，圓心到直線的距離分別為，根據(jù)幾何關(guān)系可得：，結(jié)合，即可求得和關(guān)系式，即可求得方程，進而求得直線過定點.【詳解】（1）圓為圓心，半徑為設為圓心的圓記為圓，設半徑為由圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為.可得解得圓的標準方程為