測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識

1、測量誤差及數(shù)據(jù)處理,工程測量,主講人：項霞 四川大學(xué)水利水電學(xué)院 二零一一年八月,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,第 七 講,本 次 授 課 目的和要求,本次授課的重 點與難點分析,誤差的定義及分類 衡量觀測值精度的指標(biāo)（重點） 誤差傳播定律（難點） 平均值及其中誤差,衡量觀測值精度的指標(biāo) 誤差傳播定律,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,一、 測量誤差的定義及其來源 1、測量誤差的定義 被觀測量客觀上存在一個真實值，簡稱真值。對該量進(jìn)行觀測得到觀測值。觀測值與真值之差為真誤差，即 真誤差=觀測值-真值,在測量工作中，對某量的觀測值與該量的真值間存在著必然的差異，這個差異稱為誤差。但有時由于人為的疏忽或措施不周也會造成觀

2、測值與真值之間的較大差異，這不屬于誤差而是粗差。誤差與粗差的根本區(qū)別在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,2、測量誤差的來源 測量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀測者的技術(shù)水平和儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測量誤差的產(chǎn)生。通常把測量儀器、觀測者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測量誤差的根本原因。通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為同精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不同精度觀測。 誤差通常通過多余觀測產(chǎn)生的差異表現(xiàn)出來,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,具體來說，測量誤差主要來自以下三個方面： (1) 外界條件

3、主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測量結(jié)果中帶有誤差。 (2) 儀器條件 儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差。 (3) 觀測者的自身條件 由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,二、誤差分類 測量誤差按其對測量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為 粗差 系統(tǒng)誤差 偶然誤差,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,1、粗差 粗差也稱錯誤，是由于觀測者使用儀器不正確或疏忽大意、或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動引起的差錯。 粗差數(shù)值偏大，使觀測結(jié)果顯著偏

4、離真值。 嚴(yán)格遵守測量規(guī)范、工作仔細(xì)謹(jǐn)慎并對觀測結(jié)果進(jìn)行必要的檢核可以避免和發(fā)現(xiàn)粗差,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,2、 系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差一般具有累積性。 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一，是由于儀器設(shè)備制造不完善,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,例如： 用一把名義長度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實際長度為50.005 m，則每量一尺，就帶有+0.005 m的誤差(“+”表示在所量距離值中應(yīng)加上)，丈量的尺段越多，所產(chǎn)生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比,再如： 在水準(zhǔn)測量時，當(dāng)視準(zhǔn)軸與水

5、準(zhǔn)管軸不平行而產(chǎn)生夾角時，對水準(zhǔn)尺的讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差為L*i/（=206265，是一弧度對應(yīng)的秒值)，它與水準(zhǔn)儀至水準(zhǔn)尺之間的距離L成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對測量結(jié)果的影響很 大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號有一定的規(guī)律，所以可 以采取措施加以消除或減少其影響： （1）測定其大小，對觀測值加以改正 （2）采用對稱觀測的方法 （3）檢校儀器,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,3、 偶然誤差 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均不一定，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。 例如，用經(jīng)緯儀測角時的照準(zhǔn)誤差，鋼尺量

6、距時的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。 偶然誤差，就其個別值而言，在觀測前我們確實不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號。但若在一定的觀測條件下，對某量進(jìn)行多次觀測，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。而且，隨著觀測次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,例如：某一測區(qū)在相同條件下觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，計算358個三角形內(nèi)角觀測值之和的真誤差，將真誤差取誤差區(qū)間為3”，并按絕對值大小進(jìn)行排列，分別統(tǒng)計在各區(qū)間的正負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率kn，結(jié)果列于下表,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,由上表統(tǒng)計總結(jié)出偶然誤差具有如下四個特征： 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(本例

7、為24)； 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多(或概率大)； 絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機會相等； 在相同條件下，同一量的同精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增大而趨于零,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,第一個特性說明偶然誤差的“有界性”。它說明偶然誤差的絕對值有個限值，若超過這個限值，說明觀測條件不正常或有粗差存在； 第二個特性反映了偶然誤差的“密集性”，即越是靠近0，誤差分布越密集； 第三個特性反映了偶然誤差的“對稱性”，即在各個區(qū)間內(nèi)，正負(fù)誤差個數(shù)相等或極為接近； 第四個特性反映了偶然誤差的“抵償性”，它可由第三特性導(dǎo)出，即在大量的偶然誤差中，正負(fù)誤差有相互抵消的特征。因

8、此，當(dāng)n無限增大時，偶然誤差的算術(shù)平均值應(yīng)趨于零,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,6.2、 衡量觀測值精度的指標(biāo),測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，使用“精度”來判斷觀測成果質(zhì)量的好壞。 所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。 衡量觀測值精度的指標(biāo)主要有： 中誤差 相對誤差 極限誤差,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,一、 中誤差及其計算 1 中誤差的定義 在相同的觀測條件下，對同一未知量進(jìn)行n次觀測，所得各個真誤差平方的平均值，再取其平方根，稱為中誤差，用m表示，即： 式中為真誤差的平方和，n為觀測次數(shù)。此式為定義式,注意： 一

9、組觀測中的每一個觀測值，都具有相同的精度。 也就是說，中誤差僅是一組真誤差的代表值，代表了這一組測量中任一個觀測值的精度。所以，通常把m稱為觀測值中誤差或一次觀測值中誤差,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,2 用真誤差計算中誤差 有時，我們可以知道某些量的真值，這樣，就可很容易地求得觀測值的真誤差。例如，三角形內(nèi)角和的真值為180，通過觀測三角形的三個內(nèi)角，就可以求得三角形內(nèi)角和的真誤差(即三角形的閉合差)，據(jù)此，就可以利用上式計算中誤差,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,3 用改正數(shù)計算中誤差 所謂改正數(shù)，就是最或是值與觀測值之差，用v表示，即： v=L-l 式中v為觀測值的改正數(shù)；l為觀測值；L為觀測值的最或是值。

10、設(shè)對某個量進(jìn)行n次觀測，觀測值為li（i=1,2n)，則它的最或是值就是n個觀測值的算術(shù)平均值，即,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,于是改正數(shù)為viLli （i，n） 根據(jù)誤差理論的推導(dǎo)(此處從略)，可得白塞爾公式： 上式求得的為一次觀測值的中誤差。這為中誤差的計算式,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,例1 某段距離用鋼尺進(jìn)行6次等精度丈量，其結(jié)果如下表，試計算該距離觀測值中誤差。 解：部分計算如表中所示，觀測值中誤差為,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,二、 相對誤差 中誤差和真誤差都是絕對誤差，誤差的大小與觀測量的大小無關(guān)。然而，有些量如長度，絕對誤差不能全面反映觀測精度，因為長度丈量的誤差與長度大小有關(guān)。 例如，分別丈量了兩段

11、不同長度的距離，一段為100m，另一段為200m，但中誤差皆為0.02m。顯然不能認(rèn)為這兩段距離觀測成果的精度相同。為此，需要引入“相對誤差”的概念，以便能更客觀地反映實際測量精度,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,相對誤差的定義為：中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比，用 K表示。 相對誤差習(xí)慣于用分子為1的分?jǐn)?shù)形式表示，分母愈大，表 示相對誤差愈小，精度也就愈高。 K1=0.02/100=1/5000 K2=0.02/200=1/10000,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,三、 極限誤差 根據(jù)偶然誤差的第一個特性，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，這個限值就是極限誤差，簡稱限差。 限差是偶然誤差的限

12、制值，用作觀測成果取舍的標(biāo)準(zhǔn)。如果觀測值的偶然誤差超過限差，則認(rèn)為該觀測值不合格，應(yīng)舍去不用。因此，測量上常取三倍中誤差作為極限誤差限，也稱允許誤差，即： 限=3m,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,6.3 誤差傳播定律,對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計算出觀測值的中誤差，作為評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。 但在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計算出來，這些未知量即為觀測值的函數(shù)。 例如，在水準(zhǔn)測量中，兩點間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)； 在三角高程測量的計算公式中，如果覘標(biāo)高v等于儀器

13、高i，則h=ltan，這時，高差h就是觀測值l和的函數(shù)，等等,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。 一、 線性函數(shù) 1 倍數(shù)函數(shù) 設(shè)有函數(shù)Z=Kx 式中x為直接觀測值，其中誤差為mx；為常數(shù)；Z為觀測值x 的函數(shù)。 若對x作n次同精度觀測，則有： m22mx2 或 mmx 上式表明：對于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀測值中誤差的K倍,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,2 和、差函數(shù) 設(shè)有函數(shù)Z=xy 式中，x、y為兩個相互獨立的觀測值，均作了n次觀測，其中誤差分別為mx和my。用同樣的

14、方法可推導(dǎo)出: 或,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,3 一般線性函數(shù) 設(shè)有函數(shù) 式中， 為常數(shù); 為獨立觀測值，其相應(yīng)的中誤差分別為 。根據(jù)倍數(shù)函數(shù)與和差函數(shù)的中誤差公式，可列出求一般線性函數(shù)中誤差的公式為,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,二、 非線性函數(shù) 設(shè)有非線性函數(shù)Z=f（ ） 式中， 為獨立觀測值，其相應(yīng)的中誤差分別為 。 則有 上式是誤差傳播定律的一般形式，其他形式的函數(shù)都是它的特例，所以該式具有普遍意義,例2：P109 例3 例3：P110例5,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,6.4 算術(shù)平均值及其中誤差,在相同的觀測條件下對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，其觀測值分別為 ，觀測值的真值為X，則觀測值的真誤差為： 將等

15、式兩邊取和并除以觀測次數(shù)n,得： /nl/n-X 式中l(wèi)/n稱為算術(shù)平均值，習(xí)慣上以L表示；當(dāng)觀測次數(shù)n無限增大時，根據(jù)偶然誤差的第四特性，式中/n趨于零。于是有：L=X。 上式表明，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，各個觀測值的算術(shù)平均值趨近于未知量的真值。當(dāng)n為有限值時，通常取算術(shù)平均值為最可靠值(最或是值)，并以它作為測量的最后成果,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,算術(shù)平均值的一般表達(dá)式為： 由于觀測值 的真誤差i一般是不知道的，所以實際工作中常采用觀測值的改正數(shù)vi來計算中誤差。 各觀測值的改正數(shù)： ，將上式兩邊求和，有:v=nL-l 因L=l/n，所以v=0。此式可作為改正數(shù)計算正確性的檢查。 算得改正數(shù)后

16、，可計算觀測值的中誤差,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,由于算術(shù)平均值是觀測值的線性函數(shù)，即： 因是同精度觀測，各觀測值的中誤差均為m。設(shè)算術(shù)平均值的中誤差為M，則按線性函數(shù)中誤差傳播定律公式，得： 即 上式表明，算術(shù)平均值的中誤差與觀測次數(shù)的平方根成反比，或者說，算術(shù)平均值的精度比各觀測值的精度提高了 倍,測量誤差及數(shù)據(jù)處理,例4,用DJ6型經(jīng)緯儀觀測某水平角4測回，觀測值為2483218、248 3154 、248 3142 、248 3206 。試求一測回觀測值的中誤差、該角最或是值及其中誤差。 解：最或是值 L= （2483218+ 248 3154 + 248 3142 + 248 3206 ）/4= 2483200 v=0 vv=12 則一測回觀測值中誤差 =2 最或