高一數(shù)學函數(shù)的基本性質(zhì)知識總結(jié)

1、函數(shù)的基本性質(zhì)知識框架高考要求函數(shù)的性質(zhì)要求層次重點難點單調(diào)性C概念和圖象特征熟知函數(shù)的性質(zhì)和圖象函數(shù)單調(diào)性的證明和判斷簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法奇偶性B簡單函數(shù)奇偶性的判斷和證明復合函數(shù)的奇偶性判斷與證明*抽象函數(shù)的奇偶性周期性B簡單函數(shù)周期性的判斷和證明復合函數(shù)的周期性判斷與證明*抽象函數(shù)的周期性例題精講板塊一：函數(shù)的單調(diào)性（一）知識內(nèi)容函數(shù)單調(diào)性的定義：如果函數(shù)對區(qū)間內(nèi)的任意，當時都有，則稱在內(nèi)是增函數(shù)；當時都有，則在內(nèi)時減函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導，若，則為的增函數(shù)；若，則為的減函數(shù)單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)，那么在是增函數(shù)；在是減函數(shù)；在是減函數(shù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷：“同增異減”函數(shù)單調(diào)性

2、的應(yīng)用利用定義都是充要性命題即若在區(qū)間上遞增（遞減）且（）；若在區(qū)間上遞遞減且（）比較函數(shù)值的大小可用來解不等式求函數(shù)的值域或最值等（二）主要方法1討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集； 2判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法有：用定義；用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值：即設(shè)，是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且作差變形：通過因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形定號：確定差（或）的符號，若符號不確定，可以進行分類討論下結(jié)論：即根據(jù)定義得出結(jié)論，注意下結(jié)論時不要忘記說明區(qū)間用已知函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)的導數(shù)；如果在區(qū)間上

3、是增（減）函數(shù)，那么在的任一非空子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；圖象法；復合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：“同增異減” ；復合函數(shù)的概念：如果是的函數(shù)，記作，是的函數(shù)，記為，且的值域與的定義域的交集非空，則通過確定了是的函數(shù)，這時叫做的復合函數(shù)，其中叫做中間變量，叫做外層函數(shù)，叫做內(nèi)層函數(shù)注意：只有當外層函數(shù)的定義域與內(nèi)層函數(shù)的值域的交集非空時才能構(gòu)成復合函數(shù)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減3證明

4、函數(shù)單調(diào)性的方法：利用單調(diào)性定義；利用單調(diào)性定義（三）典例分析【例1】 如圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？【例2】 試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性【例3】 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)【例4】 證明函數(shù)在定義域上是減函數(shù)【例5】 證明函數(shù)在定義域上是增函數(shù)【例6】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： ； （）【例7】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：； 【例8】 作出函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間【例9】 討論函數(shù)的單調(diào)性【例10】 討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性拓展：若在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則=_【例11】 討論函數(shù)的單

5、調(diào)性【例12】 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例13】 設(shè)，是定義在有限集合上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對任何，有那么，（ ）A B C D【例14】 若是上的減函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點和點，則不等式的解集為（ ）ABCD【例15】 函數(shù)（，）的遞增區(qū)間是（ ）AB或 CD或【例16】 已知（且）是上的增函數(shù)則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【例17】 已知是定義在上的增函數(shù)，且當時，則 【例18】 求函數(shù)，的最小值點評 由對函數(shù)的分析，可以很快得到函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)為奇函數(shù)；函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；函數(shù)在上有最小值為，在上有最大值為【例19】 求函數(shù)的最小值【例20】 求函數(shù)的最值【

6、例21】 已知是定義在上的增函數(shù)，且求證：，；若，解不等式【例22】 已知函數(shù)對任意實數(shù)，均有且當0時，試判斷的單調(diào)性，并說明理由【例23】 已知給定函數(shù)對于任意正數(shù)，都有，且0，當時，試判斷在上的單調(diào)性，并說明理由【例24】 設(shè)是實數(shù)，試證明對于任意，為增函數(shù)；試確定值，使為奇函數(shù)板塊二：函數(shù)的奇偶性（一） 主要知識：1奇函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)；2偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)3圖象特征：如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱

7、中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則它的的圖象是以軸為對稱軸的軸對稱圖形，反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)4奇偶函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱；是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性為偶函數(shù)若奇函數(shù)的定義域包含，則（二）主要方法：1.判斷函數(shù)的奇偶性的方法：定義法：首先判斷其定義域是否關(guān)于原點中心對稱若不對稱，則為非奇非偶函數(shù)；若對稱，則再判斷或是否定義域上的恒等式；圖象法；性質(zhì)法：設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義

8、域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；若某奇函數(shù)若存在反函數(shù)，則其反函數(shù)必是奇函數(shù)；判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，（三）典例分析： 【例25】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：； ； ； 【例26】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： ； ； ； 【例27】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： ，其中且，為奇函數(shù)【例28】 判斷下列函數(shù)的奇偶性并說明理由： 且； ； 【例29】 已知函數(shù)，當為何值時，是奇函數(shù)？【例30】 若是定義在上的奇函數(shù)，則=_；若是定義在上的奇函數(shù)，且對一切實數(shù)都有，則=_；設(shè)函數(shù)且）對任意非零實數(shù)滿足，則函數(shù)是_（指明函數(shù)的奇偶性）【例31】 設(shè)是上的奇函數(shù)，且當時，那么當時，=

9、_【例32】 已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當時求函數(shù)的解析式【例33】 圖象關(guān)于對稱，當時，求當時的表達式【例34】 設(shè)函數(shù)對于一切實數(shù)都有，如果方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，那么這兩根之和等于_【例35】 已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)，判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的判斷對奇函數(shù)有沒有相應(yīng)的結(jié)論【例36】 已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、【例37】 設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則與滿足（ ）ABCD【例38】 已知（、為實數(shù)），且則的值是（ ）ABC3D隨、而變【例39】 已知，則乘積函數(shù)在公共定義域上的奇偶性為（ ）A是奇函數(shù)而不是偶函數(shù) B是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函

10、數(shù) D既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)【例40】 函數(shù)與有相同的定義域，對定義域中任何，有，則是（ ）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)【例41】 已知函數(shù)，當時恒有 求證：函數(shù)是奇函數(shù)；若，試用表示如果時，且試判斷的單調(diào)性，并求它在區(qū)間上的最大值與最小值【例42】 已知都是奇函數(shù)，的解集是，的解集是，那么求的解集【例43】 已知函數(shù)是奇函數(shù)；（x0）是偶函數(shù)，且不恒為0，判斷的奇偶性【例44】 已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)并且，則求與的表達式【例45】 函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍是（ ）A或 B或C D【例46】 已知函數(shù)若、且，則（ ）A大于零B小于零C等于零D大于零或小于零【例47】

11、 函數(shù)在上有定義，且滿足是偶函數(shù)；是奇函數(shù)；求的值【例48】 已知為上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)求證：在上也是增函數(shù)；若，解不等式，【例49】 設(shè)函數(shù)（且對任意非零實數(shù)，恒有，求證：；求證：是偶函數(shù)；已知為，上的增函數(shù)，求適合的的取值范圍板塊三：函數(shù)的周期性 （一） 主要知識：1周期函數(shù)：對于定義域內(nèi)的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期2幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)（其中為常數(shù)），則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周

12、期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)，則是以為周期的周期函數(shù)，則是以為周期的周期函數(shù)函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為偶函數(shù)，則其周期為函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；（二）主要方法：1判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)要抓住兩點：一是對定義域中任意的恒有；二是能找到適合這一等式的非零常數(shù)，一般來說，周期函數(shù)的定義域均為無限集2解決周期函數(shù)問題時，要注意靈活運用以上結(jié)論，同時要重視數(shù)形結(jié)合思想方法的運用，還要注意根據(jù)所要解決的問題的特征來進行賦值（三）典例分析： 【例50】 已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，且滿足，那么，的值是（ ）A1B2CD【例51】 定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)給出以下3個命題：函數(shù)的周期是6；函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，其中，真命題的個數(shù)是（ ）A3B2C1D0【例52】 已知為定義在區(qū)間，上以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間，已知時，求在上的解析式；對自然數(shù)k，求集合使方