高中數(shù)學(xué)解題思想方法大全

1、目 錄前言 2第一章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 3一、 數(shù)形結(jié)合思想 3二、 分類討論思想 9三、 函數(shù)與方程思想 15 四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 22第二章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 23一、 配方法 23 二、 換元法 27三、 待定系數(shù)法 34四、 定義法 39五、 數(shù)學(xué)歸納法 43六、 參數(shù)法 48七、 反證法 52八、 消去法 54九、 分析與綜合法 55十、 特殊與一般法 56十一、 類比與歸納法 57十二、 觀察與實(shí)驗(yàn)法 58第三章 高考熱點(diǎn)問題和解題策略 59一、 應(yīng)用問題 59二、 探索性問題 65三、 選擇題解答策略 71四、 填空題解答策略 77附錄 一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 二、

2、 兩套高考模擬試卷 三、 參考答案 前 言美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查： 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等； 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜

3、合法、反證法、歸納法、演繹法等； 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的

4、行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得?？梢哉f，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)

5、策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。第一章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析

6、幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為

7、易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本

8、身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)命題甲：0x5；命題乙：|x2|3，那么甲是乙的_。 （90年全國文）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2. 若log2log20，則_。(92年全國理)A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba13. 如果|x|,那么函數(shù)f(x)cosxsinx的最小值是_。 (89年全國文)A. B. C. 1 D. 4. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。(9

9、1年全國)A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5 D.減函數(shù)且最大值為5 5. 設(shè)全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，那么等于_。 (90年全國)A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 6. 如果是第二象限的角，且滿足cossin,那么是_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角7. 已知集合E|cossin，02，F(xiàn)|tg乙，選A;2小題：由已知畫出對(duì)數(shù)曲線，選B；3小題：設(shè)sinxt后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)

10、于原點(diǎn)對(duì)稱畫出圖像，選B；5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；6小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B；7小題：利用單位圓，選A；8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問題；選D；10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案?！咀ⅰ?以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸（題）、圖像（、題）、單位圓（、題）、復(fù)平面（、題）、方程曲線（題）。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x、示范性題組：例1. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！痉治?/p>

11、】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決。【解】 原方程變形為 即：設(shè)曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示。由圖可知： 當(dāng)1m0時(shí)，有唯一解，m1; 當(dāng)11m4時(shí)，有唯一解，即3m0, m1或30),橢圓中心D(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離？【分析】 由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題（研究方程組解的情況）。【

12、解】 由已知得：a2，b1, A(,0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：，消y得：x(47p)x(2p)0所以1664p48p0,即6p8p20，解得：p1。結(jié)合范圍(,4+)內(nèi)兩根，設(shè)f(x)x(47p)x(2p)，所以4+即p0、f(4+)0即p43。結(jié)合以上，所以43p?！咀ⅰ?本題利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問題。一般地，當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了“判別式法”，其中特別要注意解的范圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識(shí)都在本題進(jìn)行了綜合運(yùn)用。例4. 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A(x,y)|xn，ynab （nZ

13、），B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，討論是否，使得AB與(a,b)C同時(shí)成立。(85年高考)【分析】集合A、B都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b，使得AB”的含意就是“存在a、b使得nab3n15(nZ)有解（AB時(shí)xnm）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線L的距離12。【解】 由AB得：nab3n15 ;設(shè)動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nxy3n15上，且直線與圓xy144有公共點(diǎn)，所以圓心到直線距離d3()12 n為整數(shù) 上式不能取等號(hào)，故a、b不存在?！咀ⅰ?集合轉(zhuǎn)化為

14、點(diǎn)集（即曲線），而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問題的恰當(dāng)處理方法。本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：由AB得：nab3n15 ,即b3n15an （式）；由(a,b)C得，ab144 （式）；把式代入式，得關(guān)于a的不等式：(1n)a2n(3n15)a(3n15)1440 （式）,它的判別式4n(3n15)4(1n)(3n15)14436(n3)因?yàn)閚是整數(shù)，所以n30,因而0,故式不可能有實(shí)數(shù)解。所以不存在a、b，使得AB與(a,b)C同時(shí)成立、鞏固性題組：1. 已知5x12y60，則的最小值是_。A. B. C.

15、 D. 12. 已知集合P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若PQ，則b的取值范圍是_。A. |b|3 B. |b|3 C. 3b3 D. 3b|x1|x1|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_。6. 設(shè)zcos且|z|1,那么argz的取值范圍是_。7. 若方程x3ax2a0的一個(gè)根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。8. sin20cos80sin20cos80_。9. 解不等式： bx10. 設(shè)Ax|1x0、a0、a2時(shí)分a0、a0和a0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使

16、之具有確定性。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。、再現(xiàn)性題組：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范圍是_。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1

17、)，則p、q的大小關(guān)系是_。A. pq B. pq D.當(dāng)a1時(shí)，pq；當(dāng)0a1時(shí)，p0、a0、a1、0a1兩種情況討論，選C；3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0；4小題：分、0、0、x0兩種情況，選B；6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。、示范性題組：例1. 設(shè)0x0且a1，比較|log(1x)|與|log(1x)|的大小?！痉治觥?比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對(duì)底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論?！窘狻?0x1 01x1 當(dāng)0a0，log(1x)0; 當(dāng)a1時(shí)，log

18、(1x)0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)0；由、可知，|log(1x)|log(1x)|?！咀ⅰ勘绢}要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogx的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a1時(shí)其是增函數(shù)，當(dāng)0a1時(shí)其是減函數(shù)。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。例2. 已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，AB含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)： . CAB且C中含有3個(gè)元素； . CA ?！痉治觥?由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于A 元素；不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個(gè)數(shù)1、2、3

19、,而將取法分三種?！窘狻?CCCCCC1084【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即CC1084。例3. 設(shè)a是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項(xiàng)和。 . 證明： 0，使得lg（Sc）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q1和q1兩種情況?！窘狻?設(shè)a的公比q，則a0，q0 當(dāng)q1時(shí)，Sna，從而SSSna(n2)a(n1)a

20、a0； 當(dāng)q1時(shí)，S，從而SSSaq0；由上可得SSS，所以lg(SS)lg(S)，即lgS。. 要使lg（Sc）成立，則必有(Sc)(Sc)(Sc),分兩種情況討論如下：當(dāng)q1時(shí)，Sna，則(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca0當(dāng)q1時(shí)，S，則(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS0, 使得lg（Sc）成立?！咀ⅰ?本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問題為：證明logS ，和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等

21、是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例4. 設(shè)函數(shù)f(x)ax2x2，對(duì)于滿足1x0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 1 4 x 1 4 x【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對(duì)開口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解?！窘狻慨?dāng)a0時(shí)，f(x)a（x）2 或或 a1或a；當(dāng)a ?！咀ⅰ勘绢}分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a0、a0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。例

22、5. 解不等式0 (a為常數(shù)，a)【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號(hào)和兩根4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a0、a0、a0、a0時(shí)，a； 4a0 。 所以分以下四種情況討論：當(dāng)a0時(shí)，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；當(dāng)a0時(shí)，x0，解得：x0；當(dāng)a0，解得: x4a；當(dāng)a時(shí)，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0時(shí)，x6a；當(dāng)a0時(shí)，x0；當(dāng)a0時(shí)，x4a；當(dāng)a時(shí)，6ax0)， y2ya 解得：y1 （0a1）由上可得，z(1)或(1)【注】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法（設(shè)zxy再代入原式得到一個(gè)方程組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對(duì)z分兩類討論則簡化了數(shù)學(xué)問題?！玖?/p>

23、解】 設(shè)zxy，代入得 xy22xya； 當(dāng)y0時(shí)，x2|x|a，解得x(1)，所以z(1)；當(dāng)x0時(shí)，y2|y|a，解得y(1)，所以(1)。由上可得，z(1)或(1)【注】此題屬于復(fù)數(shù)問題的標(biāo)準(zhǔn)解法，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy0而分x0和y0兩種情況進(jìn)行討論求解。實(shí)際上，每種情況中絕對(duì)值方程的求解，也滲透了分類討論思想。例7. 在xoy平面上給定曲線y2x，設(shè)點(diǎn)A(a,0)，aR，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。 （本題難度0.40）【分析】 求兩點(diǎn)間距離的最小值問題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x0下的最小值問題，而引起對(duì)參數(shù)a的

24、取值討論?！窘狻?設(shè)M(x,y)為曲線y2x上任意一點(diǎn)，則|MA|(xa)y(xa)2xx2(a1)xax(a1)(2a1)由于y2x限定x0，所以分以下情況討論：當(dāng)a10時(shí)，xa1取最小值，即|MA2a1；當(dāng)a10時(shí)，x0取最小值，即|MAa；綜上所述，有f(a) ?！咀ⅰ勘绢}解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x0的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到df(a)的函數(shù)表達(dá)式。、鞏固性題組：1. 若loglog(xa) (a0且a1)11.設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q (q0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，又設(shè)T，求T 。12.

25、 若復(fù)數(shù)z、z、z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)三點(diǎn)A、B、C組成直角三角形，且|z|2，求z 。13. 有卡片9張，將0、1、2、8這9個(gè)數(shù)字分別寫在每張卡片上?，F(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù)，若6可以當(dāng)作9用，問可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)。14. 函數(shù)f(x)(|m|1)x2(m1)x1的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求參數(shù)m的值及交點(diǎn)坐標(biāo)。三、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互

26、相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)y0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，

27、函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我

28、們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。、再現(xiàn)性題組：1.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函數(shù)f(x)xbxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)f(1)

29、f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0），則，解出x2，再用萬能公式，選A；5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0；6小題：設(shè)cosxt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；7小題：設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；8小題：設(shè)長x，則寬，造價(jià)y41204x80801760，答案：1760。、示范性題組：例1. 設(shè)a0，a1，試求方程log(xak)log(xa)有實(shí)數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)【分析】由換底公式進(jìn)行換底后出現(xiàn)同底

30、，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程組，分離參數(shù)后分析式子特點(diǎn)，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解?！窘狻?將原方程化為：log(xak)log， 等價(jià)于 （a0,a1） k ( |1 ）, 設(shè)csc， (,0)(0, )，則 kf()csc|ctg|當(dāng)(,0)時(shí)，f()cscctgctg1，故k1；當(dāng)(0, )時(shí)，f()cscctgtg(0,1)，故0k1；綜上所述，k的取值范圍是：k1或0k0)，設(shè)曲線C：yxak，曲線C：y (y0)，如圖所示。由圖可知，當(dāng)aka或aak0時(shí)曲線C與C有交點(diǎn)，即方程有實(shí)解。所以k的取值范圍是：k1或0kak，即k0，通分得0，解得k1或0k1。所以k的取值范圍是

31、：k1或0km(x1)對(duì)滿足|m|2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍?！痉治觥?此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個(gè)角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)0在-2,2上恒成立的問題。對(duì)此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件?！窘狻繂栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)m(x1)的解集是-2,2時(shí)求m的值、關(guān)于x的不等式2x1m(x1)在-2,2上恒成立時(shí)求m的范圍。一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從

32、而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化?；蛘吆袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。例3. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)的和為S，已知a12，S0，S0，S13a78d13(122d)78d15652d0。 解得：d3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因?yàn)閐0，故n(5)最小時(shí)，S最大。由d3得6(5)0、a0 ，即：由daa，由S13a0得a0得a0。所以，在S、S、S中，S的值最大。例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離?！痉治觥?異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意