初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性探究性試題及解題策略

1、初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性探究性試題及解題策略隨著基礎(chǔ)教育課程改革和素質(zhì)教育的全面推進(jìn)，近幾年在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中和各省、市的中考題中，出現(xiàn)了一批符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平、設(shè)計(jì)優(yōu)美、個(gè)性獨(dú)特的開(kāi)放題。開(kāi)放題打破傳統(tǒng)模式，構(gòu)思新穎，使人耳目一新。數(shù)學(xué)開(kāi)放題被認(rèn)為是當(dāng)前培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造能力的最富有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，加大數(shù)學(xué)開(kāi)放題在中考命題中的力度，是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的重要體現(xiàn)，對(duì)發(fā)揮學(xué)生主體性方面確實(shí)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，是培養(yǎng)學(xué)生主體意識(shí)的極好材料。一、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的概述1、關(guān)于數(shù)學(xué)開(kāi)放題的幾種論述：什么是數(shù)學(xué)開(kāi)放題，現(xiàn)在還沒(méi)有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，主要有如下的論述：（1）答案不固定或者條件不完備的習(xí)題，我們稱(chēng)為開(kāi)放

2、題；（2）開(kāi)放題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的題；（3）有多處正確答案的問(wèn)題是開(kāi)放題。這類(lèi)問(wèn)題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問(wèn)題的機(jī)會(huì)，在解題過(guò)程中，學(xué)生可以把自己的知識(shí)、技能以各種方式結(jié)合，學(xué)生可以把自己的知識(shí)、技能以各種方式結(jié)合，去發(fā)現(xiàn)新的思想方法；（4）答案不唯一的問(wèn)題是開(kāi)放性的問(wèn)題；（5）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問(wèn)題，稱(chēng)之為開(kāi)放題；（6）問(wèn)題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余，稱(chēng)之為開(kāi)放題。數(shù)學(xué)開(kāi)放題，通俗地說(shuō)就是給學(xué)生以較大認(rèn)知空間的題目。2、開(kāi)放性試題特征：（1）數(shù)學(xué)開(kāi)放題內(nèi)容具有新穎性，條件復(fù)雜、結(jié)論不定、解法靈活、無(wú)現(xiàn)成模式可套用。題材廣泛，貼近

3、學(xué)生實(shí)際生活，不像封閉性題型那樣簡(jiǎn)單，靠記憶、套模式來(lái)解題。（2）數(shù)學(xué)開(kāi)放題形式具有多樣性、生動(dòng)性，有的追溯多種條件，有的追溯多種條件，有的探求多種結(jié)論，有的尋找多種解法，有的由變求變，體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)氣息，不像封閉性題型形式單一的呈現(xiàn)和呆板的敘述。（3）數(shù)學(xué)開(kāi)放題解決具有發(fā)散性，由于開(kāi)放題的答案不唯一，解題時(shí)需要運(yùn)用多種思維方法，通過(guò)多角度的觀察、想像、分析、綜合、類(lèi)比、歸納、概括等思維方法，同時(shí)探求多個(gè)解決方向。（4）數(shù)學(xué)開(kāi)放題教育功能具有創(chuàng)新性，正是因?yàn)樗倪@種先進(jìn)而高效的教育功能，適應(yīng)了當(dāng)前各國(guó)人才競(jìng)爭(zhēng)的要求。三、開(kāi)放題的分類(lèi)及解題策略：1條件開(kāi)放型此類(lèi)題型的明顯特征是缺少確定的條件，問(wèn)題

4、所需補(bǔ)充的條件不是得出結(jié)論的必要條件，既所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論推出。一般來(lái)說(shuō)，其答案包括：將所缺的條件補(bǔ)充完整以及根據(jù)自己所補(bǔ)條件形成的封閉題做出完整解答等兩部分。此類(lèi)題目一般采用逆向思維，從結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探尋結(jié)論成立的條件，所以所填條件是開(kāi)放的，答案是不唯一的。例1如圖， D、E分別在AC、AB上，且DE與BC不平行，請(qǐng)?zhí)钌弦粋€(gè)你認(rèn)為合適的條件：_，使得ADEABC.ABCDE分析：這是一道條件開(kāi)放題，只要尋求其成立的一個(gè)充分條件即可.如ADE=B或AED=C或AD：AB=AE：AC等B或AED=C或AD：AB=AE：AC等. 練習(xí)：1、已知：ABC內(nèi)接于O，過(guò)點(diǎn)A作直線EF，如

5、圖，AB為直徑，要使得EF是O的切線，還需添加的條件是：（只須寫(xiě)出三種情況） （1）（2）（3）分析：根據(jù)題目所給條件，要使得EF是O的切線，關(guān)鍵是找到ABEF的條件即可解決問(wèn)題。解：（1）CAE=B （2）ABEF （3）BAC+CAE=90 （4）C=FAB （5）EAB=BAF二、結(jié)論開(kāi)放型此類(lèi)題型給出問(wèn)題的條件，讓考生根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要考生進(jìn)行推斷，甚至要求考生探求條件在變化中的結(jié)論。它要求考生充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。（圖4）例2、如圖AB是O的直徑，BC是O弦ODCB于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D（

6、1）請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)不同類(lèi)型的正確結(jié)論：（2）連結(jié)CD，設(shè)CDB=，ABC=，試找出與之間的一種關(guān)系式并給予證明.解：（1）不同類(lèi)型的正確結(jié)論不惟一以下答案供參考： BE = CE； = ； BED = 90； BOD =A； ACOD；ACBC； ； SABC = BCOE； BOD是等腰三角形； BOE BAC；等等（2）與的關(guān)系式主要有如下兩種形式 答；與之間的關(guān)系式為-=90. 練習(xí)：1、在多項(xiàng)式4x2+1中添加一個(gè)條件，使其成為一個(gè)完全平方式，則添加的單項(xiàng)式是 （只寫(xiě)出一個(gè)即可）。分析：要使多項(xiàng)式4x2+1成為一個(gè)完全平方式，可添加一次項(xiàng)，也可添加二次項(xiàng)，還可添加常數(shù)項(xiàng)。解：（1）添加4x

7、可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式122、已知一元二次方程有一個(gè)根為1，那么這個(gè)方程可以是 （只需寫(xiě)出一個(gè)方程）分析：如果一元二次方程有解，則有兩個(gè)解，題目給出方程有一個(gè)根為1，我們可以將此一元二次方程寫(xiě)成（x-1）（x+a）=0的形式，則問(wèn)題可以解決在上述問(wèn)題中，在一定條件下，探求問(wèn)題的結(jié)論，具有開(kāi)放性?？忌鉀Q此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可自主探索，自由發(fā)展，通常采用“執(zhí)因索果”的策略進(jìn)行探求。它主要考查考生發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力。三、條件、結(jié)論雙開(kāi)放型此類(lèi)題型的特點(diǎn)是：只給出若干論

8、斷，題目條件和結(jié)論都不確定，要根據(jù)給出的論斷組合成一個(gè)真命題，不同的組合方式會(huì)產(chǎn)生不同的真命題。根據(jù)給出的論斷組合成一個(gè)真命題，具有條件、結(jié)論雙開(kāi)放性。例3、(安徽省中考)已知等腰三角形的兩邊分別是5和6，求它的周長(zhǎng)。解：當(dāng)5作為底時(shí)，周長(zhǎng)為6+6+5=17；當(dāng)6作為底時(shí)，周長(zhǎng)為5+5+6=16。例4、(江蘇省中考)如圖2，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，連接AE ，BE，給出下列五個(gè)關(guān)系式： ADBC，DE=CE，1=2，3=4，AD+BC=AB，將其中的三個(gè)關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題。（1）用序號(hào)寫(xiě)出一個(gè)真命題（書(shū)寫(xiě)形式如果XXX，那么XXX），并給出證明；（2）用序

9、列號(hào)再至少寫(xiě)出三個(gè)真命題（不要求證明）；4321EDCBAF圖2解（1）如果，那么證明：如圖，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于FADBC，1=F又AED=CEF，DE=EC，ADEFCEAD=CF，AE=EF 1=F，1=22=F 3=4 AD+BC=CF+BC=BF=AB（2）如果，那么 如果，那么如果，那么 如果，那么在上述問(wèn)題中，條件和結(jié)論都具有開(kāi)放性。考生解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可多角度、多策略思考問(wèn)題，嘗試解釋不同答案的合理性。它主要考查考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的整合能力，它一改過(guò)去的傳統(tǒng)模式，鼓勵(lì)探究、關(guān)注過(guò)程。四、策略開(kāi)放型此類(lèi)題型一般指解題方法不唯一或解題途徑不明確的問(wèn)題，這就是我們以往常談的一題多解。這

10、類(lèi)問(wèn)題要求考生不要墨守成規(guī)，善于標(biāo)新立異，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過(guò)程。例5（常州市中考）小明為班級(jí)設(shè)計(jì)了一個(gè)班徽，圖中有一菱形。為了檢驗(yàn)小明畫(huà)的菱形是否準(zhǔn)確，請(qǐng)你用帶有刻度的三角尺為工具，幫小明設(shè)計(jì)一個(gè)檢驗(yàn)方案： 。解：用三角尺測(cè)量四條邊是否相等或測(cè)量對(duì)角線是否平分。例6（湖北黃岡中考）在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料?，F(xiàn)找出其中的一種，測(cè)得C90，ACBC4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在ABC的邊上，且扇形的弧與ABC的其他邊相切。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫(huà)出扇形，并直接寫(xiě)出扇形半徑）。解：根據(jù)題意，可考慮圓心在頂點(diǎn)和直角邊、斜邊上，設(shè)計(jì)出符合題意的方案示意圖?？梢栽O(shè)計(jì)如下圖的四種方案：ACBBCABBCCAA在上述問(wèn)題中，是解答過(guò)程與方法都具有開(kāi)放性?？忌鉀Q此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)一題多解，一題多變，一題多思，優(yōu)化解題方案和過(guò)程。它主要考查考生的發(fā)散性思維和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 開(kāi)放性試題作為考查考生創(chuàng)新意識(shí)的渠道之一，有利于